不动点与数列（解析版）.docx

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1、不动点与数列一、什么是不动点取两根长短不一，有着同样刻度（但长度单位不同）的尺子（比如：一根长5cm,一根长5寸），我们将其中较短的一根无论放在较长尺子的什么地方，只要短尺全部落在长尺内（图2）厕两根尺子总有某刻度,它们的数值是相同的（如图中的这一刻度），这个数值相同的刻度，就是这种移动变换下的一个不动点.一根橡皮绳子上打着许多结，当你均匀拉伸后，对称地放在原来的位置下面，再把绳子相应的结用线连接起来，其中必有一条与橡皮绳垂直（图中A）,则这条垂线的结点，便是橡皮绳在拉伸变换下的不动点.“不动点”是一个重要的又十分有趣的数学概念，斯丕诺（Spemer）定理可以说是不动点在数学上有趣的应用：把A

2、BC任意分割成许多小三角形（如图所示），然后把一ABC的顶点分别涂上三种不同的颜色，再把这些小三角形的顶点也涂上这三色之一.规则是：若小三角形的顶点落在/8C某条边上，则这个顶点，只能涂该边两端之一的颜色，若小三角形顶点落在.ABC内，则可以任意涂三色之一.无论如何分割ABC,最后必有一个三角形（确切些，有奇数个小三角形）使它的三个顶点恰好涂有三种颜色.从不动点观念看，这个小三角形就是在“分割”、“着色”变换下的不动点.历史上证明了SPemer定理后，导出了布劳韦尔(Brouwer)不动点定理：“任意一个把n维球体变为自身的连续变换，至少有一个不动点”.定理的严格证明是艰深的.由于篇幅所限，不

3、可能给出这个证明了，但是，我们可以看看布劳韦尔不动点定理最简单而又特殊的情况：定理：设/(力是连续函数,其定义域为0，值域，则必有不动点(即存在一点3使3)=3).预备知识：定义1对函数f(力，若存在实数X。，满足/(M)=AO,则称为为“X)的不动点.对此定义有两方面的理解：(1)代数意义：若方程力=工有实数根%,则y=f(X)有不动点(2)几何意义：若函数y=()与y=有交点(.%,%),则%为F=()的不动点.利用递推数列/()的不动点，可以将某些由递推关系I)所确定的数列转化为较易求通项的数列(如等差数列或等比数列)，这种方法称为不动点法.下面举例说明两种常见的递推数列如何用不动点法求

4、其通项公式.定义2若数列,J满足3,=f(4),则称/(x)为数列4的特征函数.定义3方程/(x)=称为函数f(X)的不动点方程(特征方程)，其根称为函数/。)的不动点.具体应用：若数列4的递推公式为4=/(。1)把此式中的凡、。“-1均换成、得方程=(),我们把方程X=f(A-)的实数根X称为数列叫的不动点利用数列仆的非零不动点,可以转化求等比、等差数列，继而可求出数列4的通项公式.命题1若/(X)=以+b(0,。l),/是“力的不动点，勺满足递推关系4=%)51),则4F=(%f),即4-不是公比为”的等比数列.证明因为小是/(力的不动点，所以5+b=%,所以-Xo=-x.由4=,+得4f

5、=a%+b-Xo=a(an-xo)所以6一%是公比为。的等比数列.命题2设/(X)=竺学(CWOMd-松工0),且外力只有两个相同的不动点/,如果叫cx+a满足递推关系4,=4.1)(1),初值条件4(q)，则:三=7三+攵.(这里anan-l%证明由/(3)=不得.八%)=瑞G=Xo,整理得*+(d-a)o-b=O.所以-x=c-rfXo=F，所以-AO=詈喑-AOICcan-十Cl二(/Mi+】Todcan-+d(-cxo)(-)2c1=+a+dan_x-x0,2c1I令k=-,则=+ha+dan-xo命题3设/(X)=%(CW(Ud火工0),也满凝推关系=(%)51),初值cx+a条件q

6、),若/(另有两个相异的不动点X-”,贝uFfJ=hMF(这里an20r-l2k=2)a-CX2,证明因为W,占是不动点,ax+bcx2+ d% +b叫+47(%+d) 叫-+bT2(c%+d)(_以)q_+一巾(a-cx2) an_t +b-x2d(一以)*7(45)a-cx2)an,l-x2(a-cx2)”必峭一芭O-CX2 an,l-x2 cx-ax=b-xdcx-ax2=b-x，命题2、命题3的另一种证明方法：(DffiS当数列递归方程满足。用=?苧,十v2若令4向=/(力，an=x,根据不动点定义f(x)=X,即4+1=4=X,可列出方程X二言氏，整理得f+(G-)-G=OB当判别式

7、a=(Gt)*+4g=。时，该数列具有一个不动点与；当判别式A=(G-f+4Go时，该数列具有两个不动点司，两种情况均满足数列特征方程人-x)x(4r)+A(a”+-x)+3(%r)=0e(2)验证将递归方程0产幺当变形为4“。+G+1-C1=O,对比式系数得俨7=-1X2-Ax-Bx=-Cl消去未知量A.B,推出等式f+(C2-l)x-C1=O,即特征方程，证毕.命题4设函数/(力=竺士第(工0,工0)有两个不同的不动点，9,且由CAJ/、24,=41)确定数列叫，那么当且仅当=(),e=为时，上K=%10.此时a11-cIqI-4J/(加第(0)知识延伸：利用函数不动点构造桥函数求数列的通

8、项公式.定义2已知函数“X),记工(力=Fa)(力=ZJT(X),1,则力称为函数f()的次迭代.定义3已知函数/(力和g(x),若存在可逆函数(存在反函数)(x),满足g(x)=，(/(P(X),则函数“力和g(x)互为相似函数，其中。(工)称为桥函数.说明(1)若g(M=(S(X),则/(C=Hg(%)且(%)=*&(X).(2)若的不动点为,则，(AO)为函数g(x)的不动点.对于数列“：已知首项为,及递推公式凡=(4),n2,则数列%的通项公式即为4=薪(4).若能求出，(力，则数列的通项公式即可很容易求出.而求力关键是需要找到合适的桥函数8(汇)，使得与7%)相似的函数g(x)能比较

9、简单(常为一次函数或反比例函数)，从而求g.G),再由。(切=夕卜“(/(力)求(力.而由说明(2)又启发我们可以利用函数/的不动点去构造桥函数。(力.2桥函数的使用：已知数列4满足：i=2,an=-.n2,求数列4的通项公1十an-式.2解令/(X)=沅，则/(x)的不动点为%=-2,2=1,构造桥函数。(x)=,则/(力二户，X+ZI-X令gV(X)言)=J誉察：_2x_3,又g,(x)=(-2)(x+1)-1,则，(X)=O(eT(X)=Og”Fi弁)*卜)+信”.2)侑-1+2(-2)n(2x)-2(l-x)=(-2(2+x)+(l-x),所以数列4的通项公式为勺=A-1(2)=(：?

10、；：；，(T)-I说明goCr)=p+g(P,夕工,Pl4为常数)，贝!UW=p(-)+o,其中一%是心(力的不动点.最后我们来研究关于数列%=署署(c=0.4一加WO吗=P)的周期性问题：n对于方程以2+(一。)一6=0;(1)若=(),则数列4无周期.(2)若A0,则数列“有周期的充要条件是,且周期7=2.(3)若(),则数列4有周期的充要条件是arg(T=网(其中小，攵为方程k-Kcjn0?+(a-。)一力=O的两木艮八wN,，1,rN,显然一1工+f-l,所以勺0.“，故数列凡无周期.(2)若A0,则两根MWR,n+f-1因为贵:既需4,+rtn_Pfn(ck+dant-kp-kcm+

11、d所以数列J有周期的充要条件是，ck + dcm d/1-1ck + dcm + d+f-lI (1N) lck + d cm + d1.所以ck + d cm + dO J所以或+ d = -c7w-d , k + m = c注意至U方程令， = -=-故d = -.a b aan+b -a+-R .七 be-ad、+，（其中R=I-） an 一一R(n l, N) ，a R，得，4一? 二 ,1一，于是为“二41说明数列4的奇数项、偶数项分别相同，故数列/有周期丁 = 2.(3)g0 , Wqk = a-dyTd-a)J4bcijLdyJ由于a - mea-kca + d - J-Aia

12、+ d + *T-Ai=1-c(a-mc2tz,、故可设arg=(r,N,zw).a-c)n则TS为1的一个次方根/伫竿=1a-ca-kc)反之，若叫是周期为的周期数列，则必有(纥产=1.Va-kc)_(a-tnc2t,Z于是arg-=(z,nN,r0,数列.满足，4=力，%=d52),求数列.的通项公式.【强化训练4】4 .已知首项为西的数列玉,满足Xm=F(。为常数)当。确定后，数列乙由其首项内确定，当4=2时,通过对数列玉的探究，写出“玉是有穷数列”的一个真命题.【强化训练5】tz95 .已知4川二广W,4=1,求4的通项公式.【强化训练6】a-86 .已知=M,4=1,求“的通项公式.

13、【强化训练7】7 .已知q+L/M=1，求凡的通项公式.【强化训练8】8 .已知函数/(x)=W-4,设曲线广力在点仁JE)处的切线与K轴的交点为(J,0),N,已知百=4.用x”表示Xe,并求数列%的通项公式.【强化训练9】29 .已知数列叫满足：4=2,%=7(2),求数列g的通项公式.1十fl-l【强化训练104a-210已知数列4中,%=3q=-,求k的通项.4.1十1【强化训练11】2a-4H.在数列4中，4=2,且=昔,求其通项公式【强化训练1212 .已知数列4满足%=尊W(“2),首项4=普,求其通项公式-56【强化训练13z12Ia24zX13 .已知数列叫满足。向=七+7，=4,求数列4的通项公式.【强化训练14(、,2an+214 .已知数列4满足0=IMz=一厂，判断数列的