导数不等式证明18种题型归类.docx

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1、导数不等式证明18种题型归类遇内容速览 一、知识梳理与二级结论二、热考题型归纳【题型一】不等式证明基础令令【题型二】三角函数型不等式证明0【题型三】数列“累加型”不等式证明令【题型四】双变量构造换元型不等式证明令令【题型五】同构型不等式证明O令【题型六】双变量“比值代换”型不等式证明Q【题型七】凸凹反转型不等式证明令令【题型八】极值点偏移型不等式证明令【题型九】“极值型偏移”不等式证明【题型十】三角函数型极值点偏移不等式证明【题型十一】三个零点型不等式证明【题型十二】三个极值点型不等式证明【题型十三】系数不一致型不等式证明【题型十四】极值构造(利用第一问结论)【题型十五】先放缩型不等式证明【题

2、型十六】切线放缩型不等式证明【题型十七】利用韦达定理置换型不等式证明【题型十八】泰勒展开型不等式证明三、高考真题对点练四、最新模考题组练曼知识梳理与二级结论1、应用导数证明不等式基础思维：(1)直接构造函数法:证明不等式/(x)g(x)(或/(x)Vg(X)转化为证明/(x)-g()o(或/(x)-g(x)=x+l,如图所示，易知除切点(/)外，V=e，图象上其余所有的点均在产1的上方,故有ex+l.该结论可构造函数x)=e-l并求其最小值来证明.显然，我们选择的切点不同，所得的不等式也不同.3、泰勒公式形式：泰勒公式是将一个在与处具有阶导数的函数利用关于(X-%)的次多项式来逼近函数的方法.

3、若函数/()在包含方的某个闭区间。,切上具有阶导数，且在开区间(。/)上具有(+1)阶导数，则对闭区间上任意一点4,成立下式：/(*1)=/(o)+*(xo)(v-xo)+2、+：o)(X_*o)+R(X)其中：/()(%)表示/(%)在X=XO处的阶导数，等号后的多项式称为函数/(%)在/处的泰勒展开式,剩余的R(X)是泰勒公式的余项，是(-0r的高阶无穷小量.4.常见函数的泰勒展开式：(1)ev=1+j-6,其中(Oel);I!2!3!！(n+l)v7(2) ln(lx)=x-+(-1)1-,其中凡=(T)”J、jI；v72!3!fnnv,(w+l)!U+0)X(2)、指数型超越放缩：x+

4、lJ一(x2%(X。为函数/(X)的极值点)；(3),若函数/(X)存在两个零点再/2且范工2，令XO=再I求证：/(%)0:(4) .若函数/(X)中存在再,工2且再x2满足/区)=/。2)，令Xo=m，求证：,()A热考题型归纳【题型一】不等式证明基础【典例分析】已知函数/(x)=XlnX.(1)求曲线y=()在点(I,/)处的切线方程；(2)求证：f(x)0.2 .已知函数/(x)=lnx+x2-ax.(1)若函数/U)在定义域内为增函数，求实数的取值范围；(2)若=0且x(0,l),求证：xl+x2-/(x)0.【变式演练】(江苏省连云港市灌南高级中学、灌云高级中学20222023学年

5、高三上学期10月联考数学试题)已知函数.Sinxf(x)=X.(1)当xo时，/()q,求实数。的取值范围；(2)证明：iextInX+sinX.【题型三】数列“累加型”不等式证明【典例分析】(2023四川成都石室中学校考模拟预测)已知函数=若/(x)0,求实数a的值；(2)已知wN,且2,求证：l+-+-1,eN.2232n2+1【题型四】双变量构造换元型不等式证明【典例分析】(2021黑龙江校联考模拟预测)已知/(x)=F.(1)求关于X的函数g(x)=/G)-4(r)-5X的单调区间;(2)已知。方，证明：幺zJ a-b11-ea +eh +4e6I【提分秘籍】海及函函而双零点间瓶不音再

6、加的庭而不委豆而不辱,二-这星号菌薮的面而不辱下一布是把反变隹而辱式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.【变式演练】17(2021广东统考一模)已知/(x)=lnx,g(x)=-x2+wx+-(w0),直线/与函数/、g(x)的图象都相切,且与函数/(x)的图象的切点的横坐标为1.(I)求直线/的方程及加的值；（三）若力()=(+l)-g()(其中g(x)是g(x)的导函数)，求函数M%)的最大值；(In)当OCbCa时，求证：f(a+b)-f(2a)br证明：ab+lba+l.【题型六】双变量“比值代换型”不等式证明【典例分析】(2020黑龙江哈尔滨哈尔滨三中校考三模)函数

7、/(x)=InX-喑D(1)求证：函数/(x)在(0,”)上单调递增；II0(2)若孙为两个不等的正数,试比较型二竺与的大小,并证明.m-nm+n【提分秘籍】rsww;:1.一般当有对数差时，可以运算得到对数真数商，这是常见的比值代换形式i2.两个极值点(或者零点)，可代入得到两个“对称”方程!3.适当的恒等变形，可构造出“比值”型整体变量。【变式演练】(2022湖北黄冈统考一模)己知函数/(x)=InX-?x+m.(1)求函数/(x)的单调区间；(2)若/卜)0在X(O,+)上恒成立，求实数巾的取值范围;【题型七】凸凹反转型不等式证明【典例分析】(宁夏青铜峡市高级中学2022届高三上学期第一

8、次月考数学(理)试题)已知函数/(x)=Tnx,aeR.(1)求函数/(%)的单调区间；(2)当t(0,e时，求g(x)=/X-InX的最小值；(3)当Xe(O,e时，证明：e2x-Inx-.X2【提分秘籍】类型特征：(1)特殊技巧；(2)分开为两个函数，各自研究，甚至用上放缩法。【变式演练】(陕西省西安市高新第一中学2021-2022学年高三上学期第一次月考理科数学试题)已知函数/(x)=InX-X一巴(。=0,4eR)的单调性;X(2)证明：(x)-+l.【题型八】极值点偏移型不等式证明【典例分析】已知函数/(x)=lnx-.X(1)求人。的最小值；(2)若方程/(x)=0有两个根,x2(x1x2)求证t*+x22.【提分秘籍】刷甬耳薮症明示哮天西冗奚顿廨血锭哈；!(1)构造差函数刀(x)=(x)-g(x),根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关