第03讲5.3.1函数的单调性（解析版）.docx

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1、课程标准学习目标理解导数与函数的单调性的关系。掌握利用导数判断函数单调性的方法。能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间。会利用导数证明一些简单的不等式问题。掌握利用导数研窕含参数的单调性的基本方法。通过本节课要求能利用函数的导数判断函数的单调性，会求简单函数的单调区间，能证明简单的不等式，会利用导数解决单调性与含参数相关的问题.知识点OL函数的单调性与导数的关系(导函数看正负，原函数看增减)函数y=/()在区间(出与内可导，若/()o,则/()在区间(出力内是单调递增函数；若,()0,则/()在区间SM内是单调递减函数；若恒有(x)三0,则/(x)在区间(a,b)内是常数函数.注意：讨论函

2、数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则条件恒有结论函数y=()在区间(。,6)上可导()oV=(x)在力)内单调递增roy=f()在S,6)内单调递减,(x)三0y=()在内是常数函数【即学即练1(2023下新疆巴音郭楞高二校考期末)如图所示是函数/(x)的导函数/(x)的图象，则下列判断中正确的是()A.函数/(力在区间(-3,0)上是减函数B.函数/(X)在区间(1,3)上是减函数C.函数/(X)在区间(0,2)上是减函数D.函数/(X)在区间(3,4)上是增函数【答案】A【详解】对于选项A：当-3xv0时，(x)0,则/(x)在(-3,0)上单调递

3、减，故A正确；对于选项B：当lx0；当2x4时，,(x)0:则/(力在(1,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，故B错误；对于选项C当0x2时，/0,则%)在(0,2)上单调递增，故C错误;对于选项D：当3x4时，/(x)o,解不等式，求单调增区间令r)0(或/(X)VO)不跟等号.【即学即练2】(2023下四川资阳高二统考期末)函数/(X)=X-Inx的单调递减区间为()A.(0,1)B.(l,+)C.(0,+)D.(0,1),(0,+oo)【答案】A【详解】因为/(x)=x-lnx,所以函数/(%)的定义域为(0,+),所以/(X)=I-L由r()=jLo有：x已知函数/(X)在区间。

4、上单调已知/(x)在区间O上单调递增=xO,/(x)0恒成立.己知/(x)在区间O上单调递减。xD,/(x)0恒成立.注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.2、已知函数/(X)在区间。上存在单调区间己知/(x)在区间D上存在单调增区间3xD使得f,(x)0有解已知/(x)在区间D上存在单调减区间o3x。使得/(X)0有解3、已知函数/(x)在区间。上不单调o*o使得/(/)=O有变号零点【即学即练3】(2023上新疆高三校联考期中)已知函数/(力=/+如在区间0,+8)上单调递增，则。的取值范围为.【答案】-l,+g)【详解】因为/(x)在区间0,+8)上单调递增，所以当x0,+)时，/(

5、x)=e+O恒成立，即-e*在。,+8)恒成立，又(YX)=-1,所以07./max故答案为：-1,+）【即学即练4】（2023上贵州贵阳高三清华中学校考阶段练习）已知函数/（X）=InX-存在单调递减区间，则实数。的取值范围是.【答案】信，+【详解】函数/。）=】政-3及-工的定义域为（，+功，求导得/（X）-如-1,依题意，不等式/（x）0在（0,+e）上有解，等价于在（0,+e）上有解，而4-L=（1-IT-J当且仅当=2时取等号，则。一，X2XU2；444所以实数a的取值范围是（-：,内）.故答案为：.知识点04：含参问题讨论单调性第一步：求，=（x）的定义域第二步：求/（X）（导函数

6、中有分母通分）第三步：确定导函数有效部分，记为g（）对于y=（）进行求导得到/（X），对/（X）初步处理（如通分），提出/）的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为了（X）的有效部分（如：/0=珑，-广+2）,则记8（不）=/一+2为/口）的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定了（X）的正负.第四步：确定导函数有效部分g（）的类型：g（）为一次型（或可化为一次型）g（）为二次型（或可化为二次型）第五步：通过分析导函数有效部分，讨论歹=（）的单调性题型Ol求函数的单调区间【典例1】（2022下湖北高二统考期末）函数/（x）=；/-Mx的单调递减区间为（）A.（-1,1）B.

7、（0,1）C.（l,+）D.（,+oo）【答案】B【详解】解：因为/（x）=；r-nx,所以/，LG)(+),XX令,()0,得Oxl,所以x)的单调递减区间为(0,1)，故选：B【典例2】(2023下河北沧州高二校考阶段练习)函数/(x)=2x-51nx-4的单调递减区间是()A.(0,3)B.(3,+)UIT0，【答案】D【详解】r()=2-p定义域为(0,+8),令r()o,解得ox0,x-,因此/&)的增区间是(士+，ce因此ABD正确，C错误.故选：ABD.题型02函数与导函数图象间的关系【典例1】(2023高二课时练习)已知函数/(x)的导函数/(X)的图象如图，则下列结论正确的是

8、()A.函数/(x)在区间(-2,1)上单调递增B.函数/O)在区间(L3)上单调递减C.函数/(x)在区间(4,5)上单调递增D.函数/在区间(-3,-2)上单调递增【答案】C【详解】山导数的图象可知，当x(T2)U(4,5)时，/(力0,所以/(x)在区间11,2),(4,5)上单调递增，故C正确；当2x4时，(x)0,所以/(切在区间(2,4)上单调递减，-3x-lW,0,则/(x)在区间(-3,-1)上单调递减，故A、B、D错误；故选：C.【典例2】(2022下广东深圳高二统考期末)设/(X)是函数/(x)的导函数，V=(x)的图象如图所示,则y=()的图象最有可能的是()【答案】C【

9、详解】由导函数的图象可得当x0,函数/(切单调递增；当0vx2时，,(x)2时,/钢0,函数/()单调递增.只有C选项的图象符合.故选：C.【变式1(2023下四川成都高二四川省成都市新都一中校联考期中)已知函数y=()(eR)的导函数/()的图像如图所示，则函数y=()()A.在(Yo,-2)上单调递增B.在(1,+8)上单调递减C.在(3,3)上单调递增D.在(3,+)上单调递减【答案】D【详解】由图可知：当XV-2时，/(x)O,(x)单调递减，当一2x3时，f(x)OJ(x)单调递增；故选：D.【变式2(2022湖南校联考二模)设函数/(x)在定义域内可导，y=(x)的图象如图所示，则

10、其导函数y=)的图象可能是()【详解】由/()的图象可知，/(X)在(y,o)上为单调递减函数，故w(-oo,0)时,Ir(X)0,故排除A,c；%(o,+)时，函数/()的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以f(%)的值是先正,再负，最后是正，因此排除B,故选：D.题型03已知函数/(X)在区间。上单调，求参数【典例1】(2023上广西高三南宁三中校联考阶段练习)若函数/(4)=2t-(x+2)lnx是(0,+功上的减函数，则实数。的最大值为.【答案】1+历&/0+1【详解】由函数/(x)=2x-(x+2)底是(0,+8)上的减函数，则/(x)=2-hu-0在(0,+3)上恒成立，X即2a

11、lav+在(0,+8)上恒成立，X设g(x)=lnx+l+2,则g，(X)=J_=j2,XXxx当x(0,2)时，g(x)0,函数g(x)单调递增，可得g(x)min=g(2)=2+ln2,所以l+ln,即实数的最大值为1+ln.故答案为：l+ln【典例2】(2023海南校联考模拟预测)设01且；，若函数/(x)=bg.X+lx在(0,+功上单调递增，则a的取值范围是.【答案】【详解】由题意知：/(X)= 二+XlnaIn a +ln 2 ax In 2a XInQ In 2a当0。；时，Ina0,In2a0,所以/(x)O,所以/(x)在(0,+。)上单调递减；当;vl时，ln40,要使/(

12、x)0,则ln+ln20,整理得InQ所以0,解得2_也.故答案为：TJ【典例3】(2023上辽宁大连高三大连市金州高级中学校考期中)若函数x)=(x+l)lnx-ax在(0,+功具有单调性，则。的取值范围是()A. (2,+,(x)=lnx+-+l-,当函数/(X)=(+l)lnx-or在(0,+8)单调递增时，x)0恒成立，得aWlnx+l,设g(x)=lnx+2+lng，(X)=I_=!,XXXXX当xl时,g(x)O,g(x)单调递增，当OX1时，g(x)l时,g(x)O,g(x)单调递增，当OX1时，g(x)O,g(H单调递减，所以g(x)mhl=g(l)=2,显然无论。取何实数，不等式r()o不能恒成立，综上所述，的取值范围是(-8,2,故选：C【变式1(2023上江苏苏州高三常熟中学校考阶段练习)己知函数y=lnx+0在2,+)上单调递增，则X实数的取值范围是.【答案】a2