复数运算的综合应用大题专项训练【四大题型】（举一反三）（人教A版2019必修第二册）（解析版）.docx

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1、专题7.4复数运算的综合应用大题专项训练【四大题型】【人教A版(2019)姓名：班级：考号：题型一卜复数的四则运算QI1. (2023下河北邢台高一统考期末)已知复数Z满足IZ+2i=5,z=+(3-)i(0).(1)求Q；(2)若复数Zl满足ZlZ+2)=+2i,求【解题思路】(1)根据复数的模长公式即可求解.(2)根据复数相等的充要条件，即可列方程组求解.【解答过程】(1)由题意得z=+(-3)i,z+2i=+(l)i所以a?+(aI)2=25=Q=4或a=-3(舍去)，故a=4(2)设Zl=%+yi(x,yR),则Z7=X2+y2f%2+y22(x+yi)=4+2i所以望=4,解得浮,或

2、X二所以Zl=1+i或-3+i.2. (2023高一课时练习)计算：(1)(1+2i)+(7-Ili)一(5+6i)；(2)5i-(6+8i)-(-1+3i)；(3)(a+b)(2a-3bi)3i(a,bR).【解题思路】根据复数的加减运算法则即可求解【解答过程】(1)(1+2i)+(7-Hi)-(5+6i)=(1+7-5)+(2-11-6)i=3-151；(2) 5i-(6+8i)-(-13i)=5i-(7+5i)=-7；(3) (Q+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+b-(-3b)-3i=-a+(4b-3)i(a,bR).3. (2023高一课时练习)设f(z)=z-2i,z1

3、=3+4i,Z2=-2i,求：(1)，2)的值；(2)f(Z+Z2)的值.【解题思路】直接利用复数的加法，结合函数的解析式，求解即可.【解答过程】Zi=3+4i,Z2=-2-i,则为-Z2=5+5i,z1+z2=1+3i.fz)=z-Zif(I)/(z1-z2)=-Z2-2i=55i-2i=5+3i,(2)f(z1+z2)=z1+Z22i=1+3i-2i=1i.4. (2023高一课时练习)已知复数的+瓦3a2+b2ifa3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3R),分别记作次,z2z3,即Zl=Ql+bi,Z2=a2+b2iz3=a3+b3i,求证：(I)ZlZ2=Z2Zi:(2)(z

4、1z2)z3=Z1(Z2Z3);(3)z1(z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3.【解题思路】利用复数四则运算规则即可证明(I)(2)(3)【解答过程】(I)Z1Z2=(1+b1)(a2+i)=a1a2b1b2+(a1b2+a2b1)i*Z=(a2+i)(a1+b1)=a1a2-b1b2+(QIb2+劭瓦)则Z/2=Z2zI-(2) (Z1Z2)Z3=(a1+i)(a2+b2i)(a30=%的b2+(a1b2+a2b1)i(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)a3(a1b2+d2b1)b3+b3(a1a2-b1b2)+a3(a2+。2瓦)3z1z2z3)=(a1+b1i)(a2+i)(a3+0=

5、(%+b1)a2a3-b2b3+(a3b2+a2b3)i=a1(a2a3一)-bda3b2+。2左)+%(。3人2+a2b3)+1(a2a3-)i=(QIa2瓦()。3(.a2+a2b1)b3+b3(a1a2b1b2)a3(a1b2+a2b1)i,则(Z1Z2)Z3=Z1(Z2Z3).(3) z1(z2+z3)=(a1+b1i)(a2+a3)+S2+坛川=。式。2+。3)-0(力2+%)+a(+b3)+b1(a2+a3)li*Z/2+Z/3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=-b1b2+(QIb2+%瓦川+如。3-Ihb3+(QIb3+a3h1)i=a1a2b

6、1b2+a1a3b1b3+(a12+a2)+(%3+)i=a1(a2+Q3)-bg+b3)+a1(b2+b3)+b1(a2+a3)li*则Zl(Z2z3)=Z1Z2+Z1Z35. (2023全国高一专题练习)已知复数Zl=cosa+isina,z2=COSB-isin0,a,6均为锐角，且IZl-z2=等.(1)求cos(a+/?)的值；(2)若COSa=求COSP的值.【解题思路】(1)先求出Zl-Z2=(cos-cos/?)+i(sin+sin/?),利用IZlz2=+即可求出cos(+/?)的值；(2)利用平方关系求出sin(+0)=支sin=1,再利用和差角公式即可求得.【解答过程】(

7、1)因为复数Zl=COSa+isin,Z2=cos0-isin0,所以一z2=(coSa-CoS0)+i(sinsin/?).所以ZZ2=y(cosa-cos/?)2+(sin+sin/?)2=22(cosacos?sinasin)=22cos(cr?)因为IZl-z2=等，所以2cos(+.)=等，解得：cos(+?)=|.(2)因为,/?均为锐角，所以OVa+夕V兀，所以Sin(Q+)=yl-cos2(?)=Jl-0=g.因为此为锐角，Ce)Sa=g,所以Sina=Vl-cos2a=J1所以CoSH=CoSKa+。)a=cos(+0)COSa+sin(+0)sin04334=55+5524

8、256. (2023下黑龙江鸡西高一校考期中)已知复数Zl=-2+i,z2=-l+2i.(1)求Zl-Z2*zl+z2(2)比较IZl-z21-z1+Z2的大小.【解题思路】(1)根据给定条件，利用复数加减法计算作答.(2)由(1)的结论，利用复数模的定义计算，再比较大小作答.【解答过程】(1)复数4=-2+i,z2=-l+2i,所以Zl-Z2=(-2+i)-(-1+2i)=-l-i,zl+z2=(-2+i)+(-1+2i)=-3+3i.(2)由(1)知，z1-z2=(-l)2+(-1)2=2,z1+z2=(-3)2+32=32,而V3,所以-Z2V区+Z2.7. (2023全国高一专题练习)

9、计算.(部+鬻+i)4c(l-4i)(l+i)+2+4i(3)-；(4暗+富-23+i旭、2。22(4-8i)2-(-4+8i)2十ki7iJ十-7i-【解题思路】(1)根据复数的四则运算法则，结合(1+i)2=2i,i的乘方的性质运算即可.(2)根据复数的乘方运算法则运算即可.(3)先由复数乘法法则和加法法则化简分子，再利用除法法则求结果即可.(4)根据(1+i)2=2i,(l-i)2=-2i,结合i的乘方的性质运算即可.(5)根据复数四则运算法则，结合(l+i)2=2i,结合i的乘方的性质先计算各部分的值，再相加即可.【解答过程】(1)原式=件当 . TE = (-2仔H)(I-2技)=1

10、3i= . 1V = fl = _1，l+23i(l+23i)(l-23i)13* l+ii，(Sr.阀F=L(4-8i)2-(-4+8i)2 _-7i- - U，原式=i + i 0 = 2i.8. (2023下湖南岳阳高一一校考期末)设复数Zi = q +历，z2 = c +di,其中q、氏c、dR现在复数系 中定义一个新运算8),规定：ZiZ2 = (qc + bd) + (d + bc)i.(1)已知|(2-。(8)(% +力=或，求实数X的值；(2)现给出如下有关复数新运算G)性质的两个命题：Zl 0 Z2 = Z7 0 ;若Zl Z2 = Of 则Zl =。或?2 = 0.请判定以

11、上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由.+当需祖=i6+直管名=-i+i.1.2J(3)+(2)5原式=G+争升=G+Ti-j)2=(-s+i)2=z-z-i=-J-Ti-(3)原式=胃=三i=三S=等=I-Lzjx(l+i)6+(l-i)6_(l+023+(l-02J3_(2i)3+(-2l)3_-8i+8i_W尿八=)(i+i)=2=2=u【解题思路】(1)根据复数新定义的运算及模长运算即可得结论；(2)根据复数新定义设Z=+bi,z2=cdi,根据运算逐个求证即可.【解答过程】(1)由定义，有1(2-i)G)(%+i)=(2x-l)+(2-x)i=2即(2%-l)2+(2-x)2=2,

12、整理得，5x2-8x+3=0,X=1或X=|.(2)设Zl=+bi,z2=cdi,则ZlQz2=(ac+bd)(ad+bc)i=(acbd)(ad+bc)i,五亥=(a-bi)8(c-di)=(ac+bd)-(Qd+bc)i,所以Zlz2=70是真命题.设Zl=Q+bi,z2=cdi,则ZIz2=(ac+bd)+(ad+bc)i=0,所以ac+bd=0tad+be=0,则Q=l,b=1,C=Ld=1是其一组解，故得不到Zl=0或Z2=0.是假命题.复数的四则运算与复数特征的综合应用9. (2023下河南郑州高一校考期中)已知Z为复数，Z-6和亮均为纯虚数，其中i是虚数单位.(1)求复数Z的共聊

13、复数2；(2)若复数-=+三i在复平面内对应的点位于实轴下方.，求实数机的取值范围.zm1m-2【解题思路】(1)设Z=a+bia,be/?),可知Q=6,根据复数的除法运算，化简根据题意，即可得出b=2,根据共挽复数的概念，即可得出答案;(2)代入化简可得复数为3-二二+,根据复数的几何意义，结合已知可得(m 1 0-10求解即可得出答案.【解答过程】(D设z=a+bi(a,bR),则Z-6=(a-6)+bi.因为z-6为纯虚数，所以a=6,且b0,所以Z=6+bi,tt-piz_6i_(6i-b)(3-i)_6-3b18+b川3+-3+(3+i)(3-j)1010因为拼为纯虚数，所以6-3

14、b=0,所以b=2,所以，z=6+2i,所以2=6-2i.(2)由(1)知:Z+Aj=3-i-+-=3-+(-l,2m-1m-2m-1m-2m-1m-2J所以，复数在复平面内对应的点为(3-高,忌-1).(m1Ol-20,解得巾4,且ml,-A-I0m-2所以，实数m的取值范围为(一8,1)U(1,2)U(4,).10. (2023全国高一专题练习)复数Z=(1+i)m2-(8+i)m+15-6i(nR),求实数m的取值范围使得：(I)Z为纯虚数；(2)z在复平面上对应的点在第四象限.【解题思路】(D根据Z为纯虚数，列出方程，即可求解；(2)根据Z在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解；【解答过程】(1)z=(1+i)m2(8+i)m+156i=(m28m+15)+(2m6)i,若Z为纯虚数，则m2-8m+15,解得：7n=5.(.m2-m-60(2)由题意知，T1?-8m+151,解得：一2m