构造向量巧解不等式问题.docx

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1、构造向量巧解有关不等式问题陈静新教材中新增了向量的内容，其中两个向量的数量积有一个性质：ab=abcos(其中。为向量a与b的夹角)，那么40=|加臼CoS又一lcos6l,那么易得到以下推论：(1) abab(2) H;(3)当a与b同向时,ab=ab；当a与b反向时,Z?=TaH加：(4)当a与b共线时，0=狗。下面例析以上推论在解不等式问题中的应用。一、证明不等式例la、b三R+fa+b=f求证：y2a+1+j2b+22o证明：设m=(1,1),.=(j2u+l,2F+T),那么由性质nz?1,得y2a+1+2b+12J例2x+y+z=1,求证：X2+y2+Z2证明：设m=(1,1,1)

2、,n=(xy,z),那么由性质m川2。府|川2,得/+/+Z?3teln+4十a2b2c2a-b+c例3a,b,cR，求证：+b+cc+a+b2证明：设2=(=,一=f,),n(+c,Ja+c,Jc+b),h+cJeJrayja+b那么mn=a+b+c由性质|入川20川”川2,得上一+b+cc+a+b2例4a,b为正数,求证：(04+4)(a2+Z2)(03+Z3)2o证明：设m=(mb),n=(a2,Z?2),则由性质M川2词21川2,得例5设a,b,c,dsR,求证：ad+beya2-blyc2+J2o证明：设m=(a,b)n=(c,d),那么由性质4b3臼，得,那么p, q的大小关系为(

3、)二、比拟大小例6m,n,a,b,c,dA，,fip=4ab+4cd,q=!ma+nc-A.PqB.PqC.pla2+b2CV2D2解：设P=(m,n),q=(x,y),那么由数量积的坐标运算，得pq=nr+y而IPl=Jn2+/2,IgI=JX2+.2从而有tnx+ny府yJx2+y2当P与q同向时，mx+ny取最大值J+川.，夫+）产=J拓，应选（八）。例8求函数y=2-1+5-2x(x!)的最大值。解：设团=(J2/-1,5-2x),=(1,1),那么由性质nzw11,得y2,x1J5-2x时,四、求参数的取值范围例9设x,y为正数，不等式五+J7-jx+y恒成立,求a的取值范围。解：设m=(Lyy),n=(1,1),那么由性质mnn,得又不等式I+yagy恒成立故有黑龙江省大庆市66中学（163000）