梳理抛物线焦点弦的有关结论.docx

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1、梳理抛物线焦点弦的有关结论知识点1：假设48是过抛物线y2=2px（p）的焦点尸的弦。设A（X,y）,8（/，为），那么（1）xx1=-（2）yxy2=-p2证明：如图，片（1）假设的斜率不存在时，y/依题意X1=X2=y,X1X2假设AB的斜率存在时，设为火,那么=与产=2内联立，得：.X1X2综上：X1X2 = 422(2)VX1=-,X2=V-二):尢2=p=%必=2,2p2p但M%0）的焦点尸的弦。设4（匹,），）凤，必），那么（I）IA同=x+%+p;（2）设直线AB的倾斜角为,那么IA同=乌一。sin0,与y2=2ZX联立，得证明：（1）由抛物线的定义知假设 090。,设 AB：)

2、=%（2）假设=90,则阳=K,由（1）知|4q=2=心!“2sin”0x1+x2=PK+2),ab=xi+x2p=2p+l),而=tan,kK知识点3：假设AB是过抛物线V=2pMp0）的焦点尸的弦，那么以AB为直径的圆知识点4：假设AB是过抛物线y2=2px(p0)的焦点尸的弦。过点A、5分别向抛物I抛物线的淮线与X轴相.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。线的准线引垂线，垂足分别为4、用，那么NAM=90.证明借助于平行线和等腰三角形容易证明_知识点5：假设AB是过抛物线y2=2p(p0)的焦点F交于点K,那么NAKE=NBKE,靛=绘书=翁而如K = N叫K=90。证明：过点A、3分别

3、作准线的垂线，垂足分别为A.AA1KSBB1K:.ZA1KA=ZB1KB知识点6：假设AB是过抛物线y2=2px(p0)的焦点尸的弦，。为抛物线的顶点，连接AO并延长交该抛物线的准线于点C,那么BCHOF.年证明：设M阳,),8(当,为)，那么IZ由知识点1知yy2=P),c=T=力BCHOF%扑J逆定理：假设AB是过抛物线)=2px(p0)的焦点厂的弦，过点3作BCOE交抛物线准线于点C,那么A、C、O三点共线。证明略知识点7：假设AB是过抛物线V=2px(p0)的焦点尸的弦，设同=帆,怛月=,那证法：假设A8_Lx轴，那么AB为通径，而|4且=2，/(2)假设AB与X轴不垂直，设4(%,必

4、),员工2，%)，A3的斜率为AI:y=:(，一9与=2px联立,得k?%-=2px=k2x2-(k2+2)px+?=O由抛物线的定义知m=IA耳=F+n=BF=x2+知识点&抛物线V=2px(p0)中，AB为其过焦点尸的弦，A耳=?,忸耳=,那么证明：设NAEr=夕那么而根二,n=I-CoSel+cos6sin V fnnIAM =也忸M = ，且 Smob那么弦A3过焦点。逆定理：抛物线)=2px(p0)中，AB为其弦且与X轴相交于点，假设证明：设A(Xl,yj,5(%2，/2)，ZAMx=,M(r,O),那么sAAOB=Smom+Sgfw=gmsin(万一夕)+gmsin夕=Sine.s

5、i2f), AIIl Cztnnm1 (m + n) p22 yfnui 2而nl,n帆I而Slne=JL,sin。=j-4r,I:x=ay+t,/又可设、y2-2pay-2pt=0:.yly2=-2pty=2px由得yK2.e.AB恒过焦点例1、过抛物线y?=4x的焦点做直线交抛物线于4(,),8(/,%)两点，如果%+%2=6,那么IABl=8变式：过抛物线V=4x的焦点做直线交抛物线于A3两点，如果MW=8,O为坐标原点，那么AOAB的重心的横坐标是2例2、直线/经过抛物线y2=2px(p0)的焦点尸，且与抛物线交于AB两点,由AB分别向准线引垂线AA,M,垂足分别为4,8,如果k3=,。为A启的中点，那么IQ月=(用表示)变式：直线/经过抛物线y2=2px(p0)的焦点八且与抛物线交于A,B两点，由AB分别向准线引垂线AA,88,垂足分别为A,8,如果MM=4,忸日=人。为A方的中点,那么|0日=丁(用表示)例3、设坐标原点为。，过焦点的直线/交抛物线丁=4x于AB两点，OAOB=-3例4、过抛物线y2=ar(a0)的焦点尸作一直线交抛物线于RQ两点，假设线段PR与尸0的长分别是p,q,那么上+=Pqa小结：(1)抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为这个直角梯形中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用；(2)万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义.