椭圆讲义.docx

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1、椭圆讲义1、第一定义：把平面内与两个定点4，鸟的距离之和等于常数（大于比玛I）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）.其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.即当动点设为M时,椭圆即为点集尸=MI+M玛I=2a.2、第二定义：由椭圆的第二定义.U也二e可得：右焦半径公式为IM/石=ed=e五-|=。-0；dc左焦半径公式为%I=ed=ex-（-）=a+exc3、椭圆的标注方程：221）焦点在X轴上，中心在原点的椭圆的标准方程F+2=1（。（）,ab222）焦点在y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程1（。匕0）4、椭圆的简单几何性质v2V2范围：由椭圆的标准方程可得，=l-0,进

2、一步得：一ax,同理可得：ba-byb,即椭圆位于直线X=和y=b所围成的矩形框图里；对称性：由以-X代X,以一y代y和-X代X,且以一y代y这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以X轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；离心率：椭圆的焦距与长轴长的比e=叫做椭圆的离心率（Oevl）,a当e1时，ca,fb0J当e0,c0,ba椭圆图形越扁椭圆越接近于圆X2V2a25、对于椭圆F+4=1，相应于焦点尸（

3、C。）的准线方程是X=.根据对称性,相应于焦点FX-c）ab-c2222的准线方程是X=-.对于椭圆A+j=1的准线方程是y=-.Ca2b2C6、椭圆中焦点三角形的性定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。性质一：椭圆方程为捺+=l（bO）,两焦点分别为设焦点三角形PFE中0XFiPF2=4那么SARP八=。tan万。X2V2性质二：椭圆方程为二+=l（0力0）,左右两焦点分别为,居，设焦点三角形尸耳K，假设abNGPF2最大，那么点P为椭圆短轴的端点。证明：设P（KK）,由焦半径公式可知：IP制=+气，归用=4一%二厄一|PMTGFJ=（归用+俨国）2一2|产甲P国4-、2

4、PFPF2-2P琳P周42-442_4+Ib22归耳归用一=2(a+exo)(a-exo)a2-e2x;性质三：椭圆方程为下方=心）,两焦点分别为环A设焦点三角形Pk2中NKPB=4那么CoSel-2.证明：设尸片=4/尸2=，那么在AaPK中，由余弦定理得:2e.命题得证OIa2-Ic21Ia2-Ic21=2(l)22C2000年高考题幡圆=+与=l（bO）的两焦点分别为6,乙，假设椭圆上存在一点P,使得CrbNEPF2=120,求椭圆的离心率e的取值范围。筒解：由椭圆焦点三角形性质可知CoSl20l-2/.即一二2,反于是得到e的取值范围是.21./22性质四：椭圆方程为=+2=1（。0）

5、,两焦点分别为Fl,F2,设焦点三角形PFE,aZrNPKB=ZPF2F1=6,那么椭圆的离心率e=，（。+,）Sina+sin夕由正弦定理得:IFF2JP图JPKlsin(180r,-a-)Sinasin由等比定理得：储闾.=pj+p用sin(tz+)Sina+sin夕而.归闾_2cPFPF,2_2a.八_c_sin(+/)IIij,QQesin(+)sin(+/)Sina+sin夕sin+sinaSina+sin/(53、1椭圆两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方程.0)的两焦点分别为假设椭圆上存在一点P,使得/石尸尸2=120,ab求椭圆的离心率e的取值范围。9、椭圆的焦点是尸1(1,0)、2(l,0),P为椭圆上一点，且I人尸2I是IPQl和IPF2I的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)假设点P在第三象限，且NPBF2=120,求tanQPB.