《概率论与数理统计》教案第20课总体、随机样本、统计量、样本函数.docx

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1、课题总体、随机样本、统计量、样本函数课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)理解总体、个体、样本、简单随机样本、样本容量等统计概念(2)了解总体分布与样本分布的概念，知道样本与样本观测值的联系与区别(3)理解统计量的概念(4)熟练掌握样本均值、样本方差、样本标准差的计算(5)知道样本(原点)矩、样本中心矩的定义素质目标：(1)帮助学生掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系(2)培养学生的辩证唯物主义观教学重难点教学重点：样本与样本观测值的联系与区别教学难点：样本均值、样本方差、样本标准差的计算教学方法讲练结合法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程

2、主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，搜集并了解数理统计的基本概念【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到互动导入【教师】提出问题：为什么要学习数理统计？数理统计可以解决哪些实际问题？【学生】思考、讨论、回答传授新知【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解数理统计中总体、随机样本、统计量、样本函数的相关知识第一节总体与随机样本前面已经提到，概率论中所研究和讨论的随机变量，它的分布都是已知的，在这一前提下去研究它的性质、特点和规律性；而数理统计中所研究和讨论的随机变量，它的分布是未知的或部

3、分未知的，于是就必须通过对所研究和讨论的随机变量进行重复独立的观察和试验，得到所需的观察值(数据)，对这些数据进行分析后才能对其分布做出种种判断.得到这些数据最常用的方法是随机抽样法，它是一种从局部推断整体的方法.正态总体统计推断统计推断方差的检验均值的检验常用的统计量个态体情形两正总的先个态体情形单正总的光大然计去极似估法点估计四个重要分布矩估计法的与布计体值分统布总均的要分态本差重的正样方最图6-1本书后续几章所讨论的统计问题主要属于下面这种类型：从所研究的随机变量的某个集合中抽取一部分元素，对这部分元素的某些数量指标进行试验和观察，根据试验与观察获得的嵋来推断集合中全体元素数量指标的分布

4、情况或数字特征.一、总体和个体【教师】提出总体和个体的定义定义1研究对象数量指标值的全体称为总体（母体）；总体中的每个元素称为个体.例如，我们要研究某大学学生的身高情况，则该大学全体学生的身高构成问题的总体，而每一个学生的身高即是一个个体；又如，研究某批灯泡的质量，则该批灯泡寿命的全体构成了问题的总体，而每个灯泡的寿命就是个体.如此看来，若不考虑问题的实际背景，总体就是一堆数，这堆数中有大有小，有的出现的机会多，有的出现的机会少.因此用一个概率分布去描述和归纳总体是怡当的.从这个意义上看，总体就是一个概率分布,而其数量指标就是服从这个分布的随机变量.所以今后说从总体中抽样和从某分布中抽样是同一

5、个意思.总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值，因此它是某一随机变量X的值，从而一个整体对应于一个随机变量.由此可见，对总体的研究就是对一个随机变量X的研究，随机变量X的分布函数和数字特征就可作为总体的分布函数和数字特征，所以今后将不再区分总体和相应的随机变量,统称为总体X或总体F（X）.总体依其包含的个体总数可分为有限总体（个体的个数是有限的）和无限总体（个体的个数是无限的）.但当有限总体所含有个体的个数很大时，也可视其为无限总体.【教师】通过例题，介绍总体在实际问题中的应用例1要考察某厂的产品质量，现将该厂的产品只分为合格品和不合格品两类，并以O记为合格品，以1记为不合格品，则总体=该厂

6、生产的全部合格品与不合格品=由O与1组成的一堆数.若以P表示这堆数中的比例（不合格品率），则该总体X可由一个两点分布来表示，如表6-1所示.表6-1X01P1一P不同的P反应了总体间的差异.譬如，两个生产同类产品的工厂的产品总体分布分别如表6-2和表6-3所示.表6-2表6-3X01P0.9830.017X0IP0.9150.085显然，第一个工厂的产品质量优于第二个工厂.实际中，分布中的不合格品率是未知的，如何对它进行估计正是数理统计要研究的问题.二、抽样和样本【教师】提出抽样、样本和样本容量的定义定义2为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行试验观察，以获得有关总体的信

7、息，这一抽取过程称为抽样，所抽取的部分个体称为样本，样本中所包含的个体数目称为样本容量.例2某饮料厂生产的瓶装可乐规定净含量为750g,由于具有随机性，事实上在生产过程中不可能使得所有的瓶装可乐净含量均为750g.现从该厂生产的可乐中随机抽取】0瓶测定其净含量，得到结果如下：751745750747752748756753749750这是一个容量为10的样本的观测值，对应的总体为该厂生产的瓶装可乐的净含量.从总体中抽取样本可以有不同的抽法，为了能由样本对总体做出较可靠的推断，就希望所抽取的样本能很好的代表总体.这就需要对抽取方法提出要求，最常用的是简单随机抽样，它有如下两点要求：第一，样本具有

8、随机性，即要求总体中每一个个体都有同等机会被选入样本，这就意味着每一样品Xi与总体X有相同的分布.第二,样本具有独立性,即要求样本中每一样品的取值不影响其他样品的取值,这就意味着XLX2，Xn相互独立.基于上述简单随机抽样，我们可以知道，从总体中抽取一个个体就是对总体X进行一次观察（试验）并记录其结果.若在相同的条件下对总体X进行n次重复的独立观察，其观察的结果记为XiX2，Xn,则可认为X,X?,X”相互独立，并与总体X具有同的分布.一般称其为来自总体X的一个简单随机样本.对于有限总体和无限总体，都可以通过不放回抽样的方式得到简单随机样本.【教师】提出简单随机样本、样本和样本值的定义定义3设

9、X是具有分布函数F的随机变量，若X，X”是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变量，则称X，XXn为从总体X中得到的容量为n的简单随机样本，简称样本.它们的观察值王，5，玉，%为样本值，又称为X的n个独立观察值.由定义3可得若XrX2,X”是总体X的一个样本,X的分布函数为F(X),概率密度函数为了(X),则随机变量(XLX2，X”)的联合分布函数为F(X1,X2,.,XJ=HF(xz)I(6-1)随机变量(XX)的联合概率密度函数为/Ui，工2，与，)=fl(Xi)F(6-2)以后若没有特殊声明，本书中的样本皆为简单随机样本.第二节统计量与样本函数在上节所介绍内容中已经知道：样本是进行统计推

10、断的依据，它含有总体各方面的信息，但这些信息常常较为分散，通常不能够直接用于解决我们所要研究的问题.所以在实际应用中，人们若需要从样本获得对总体更深入的认识，往往不是直接使用样本本身，而是需要对样本进行加工和计算，把样本中所包含的信息集中起来，针对不同问题构造出样本的适当函数，利用这些样本函数进行统计推断.一、统计量【教师】提出统计量的定义定义1设XlX2，X”是总体X的样本，样本函数g(X，X2，X)是样本的实体函数，且不含有件可未知参数，则称这类样本函数(X1,X2,X.)为统计量.由于样本具有二重性，统计量作为样本的函数也具有二重性，即对一次具体的观测或试验，它们都是具体的数值，但当脱离

11、开具体的某次观测或试验，样本是随机变量,因此统计量也是随机变量.统计量是用来对总体分布参数进行估计或检验的，它包含了样本中有关参数的信息，在数理统计中，根据不同的目的构造了许多不同的统计量.下面介绍几种常见的统计量.设X,Xz，X”是总体X的样本，则可定义以下统计量：(1)样本均值=-i.(6-3)它的观测值记为T=L之七.(2)样本方差S2=XE=(N2iN)(6-4)111111它的观测值记为,/=y(X1.-X)2=(Yxj-Hx2).n-n-m(3)样本标准差(6-5)(6-6)(6-7)它的观测值记为S=W7=Rg(再一E.(4)样本Z阶原点矩A=XX；(2=1,2,3,).它的观测

12、值记为=,d(&=1,2,3,).n*l显然，样本的一阶原点矩就是样本均值.(5)样本Z阶中心矩Bt=-y(X,.-X)A()l=l,2,3,).1Jl它的观测值记为4二WXXj-灭(A=1,2,3,)./-1显然，样本一阶中心矩恒等于O.二、样本分布函数【教师】提出样本分布函数的定义对于任何实数X,Fn(X)等于样本的个观察值中不超过X的个数除以样本容量n.由频率与概率的关系知道，K(X)可作为未知分布函数Pa)的一个近似，越大，K(X)越接近(x),称居Cr)为样本分布函数(或经验分布函数).设X,w,&,Z是总体X的样本观察值，将它们按大小JI期弟例，即4：;,E,令O,XVx；,1.一

13、,X1XX2fn工=；(6-8),X杀kX+,n1,Xx；.Fn(x)的图形就是累积频率曲线，它是弼慨式上升的一条阶梯形曲线.若所有观测值都不相等，则每一跨度为L；若某个观察值有m次相等情形，则在该值处跳跃上升生.nn【教师】通过例题，介绍样本分布函数的求法例1设总体服从泊松分布，容量为10的样本观察值如下：2143564843试构造样本的分布函数6。(*).(解析详见教材)【学生】聆听、思考、理解、记忆拓展训练【教师】给出题目，组织学生以小组为单位进行解题从一批LED灯具中任意抽取10只检测其使用寿命，得到如下观测值(单位：h):1450,1360,1520,1530l1470,1440,1560,1380,1460,1430.试求样本的均值、方差和标准差.【学生】聆听、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，讲解解题步骤【学生】对比答案和解题步骤，提高自身解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点总幅口楙抽步口样本统计量样本分布函数【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业(1)完成教材中的习题&2；(2)登录APP他学习平台查看相关知t三龈。【学生】完成课后任务教学反思