第19讲导数的应用——利用导数研究函数零点问题(教师版).docx
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1、第19讲导数的应用利用导数研究函数零点问题思维导图导数的应用一利用导数研究函数零点问题题型1:讨论函数的零点个数题型2:由函数的零点个数求参数范围题型3:函数零点与极值点的偏移问题知识梳理1.判断、证明或讨论函数零点个数的方法:利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间小川上是连续不断的曲线,且/(G(b)vO.直接法:判断一个零点时,若函数为单调函数,则只需取值证明式。)4加0;分类讨论法:判断几个零点时,需要先结合单调性,确定分类讨论的标准,再利用零点存在性定理,在每个单调区间内取值证明J(a)J(b)1所以/(X)1-sinx.O,所以f,(x)在(O,-)单调递增,所以fx),(0)=0
2、.所以/(%)在(O,+oo)上单调递增,/(x)(0)=0.综上所述:/Cr).O当且仅当X=O时,等号成立.(2)由于/(O)=e-O-l+sinO=O,所以O为函数f(x)的一个零点.f,(x)=ex-a+cosx,f,f(x)=er-sinx,(i)当a=2时,由(1)知函数f(x)仅有一个零点,()当42时,当X(-oo,0)时,f,Wea-a+cosO/(0)=0.所以当xe(-8,0)时,函数F(X)无零点.当x(0,+oo)时,,z(x)e0-sinx.0,所以广(力在(0,zo)单调递增.由于,(0)=2-aO.所以在(O,+oo)上存在唯一的与(0,ln(a+2),使得/(
3、%)=0.当x(0,q)时,,(x)0,/(%)在(0,%)单调递减.有/()(x)0,F(X)在5,+00)单调递增.又f(lna,)=t73-2talna-1+Sinana)ay-3alna-2,设P(a)=ay-3alna-2(a2),所以p(a)=3(2-1-Ina),p,(a)=3(2a-)0,a所以“(a)在(2,K)o)单调递增,有(a)pf(2)0.所以P(a)在(2,+oo)单调递增,有P(a)p(2)0即/(/)o因此函数f(x)在(X,+oo)有一个零点.所以当2时,/(幻有两个零点.(日)当L,eo-sinx.O,所以/。)在(O,x)单调递增.V),(0)=2-0,/
4、(x)在(O,+oo)单调递增,/(x)(0)=0.所以f(x)在(O,+oo)上无零点.当xe(-,一4)时,-ax.f(x).e+sinx-l0.所以/(%)在(-00,-4无零点.当XG(-万,0)时,sinxv,f,(x)O,/(x)在(一万,0)单调递增,X,(0)=2-a0,f,(-)=e-a0.所以存在唯一的/(r,0),使得r(Xo)=O当XW(一肛E)时,f,(x)O,函数/(X)在(为,0)单调递增.又f-)=e+a-0,f(x)/(0)=0,所以函数/(x)在(一肛0)有1个零点.所以当L,2或L,O,函数/(x)单调递增;当xg(-3,-1)时,f,(x)0,函数/)单
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