第54讲圆锥曲线的综合应用-证明、探究性问题（达标检测）（教师版）.docx

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1、圆锥曲线的综合应用证明,探究性问题达标检测A组一应知应会221. (2020沙坪坝区校级模拟)已知双曲线C：三-Xl(a0,b0)的左焦点为Fi,过Fi的直线Ia2b2与y轴相交于点M,与C的右支相交于点P,且M为线段P尸1的中点，若C的渐近线上存在一点N,使得诵=2而，则C的离心率为()A.2B.C.2D.53【分析】由题可知，Fi(-c,0),直线/的斜率一定存在，设其方程为y=&(x+c),则M(0,kc),P(c,2kc)f222将点P的坐标代入双曲线C的方程，有j4kC,由平面向量的线性坐标运算可得点N(22,2i3abc),代入y=且K得上=Sk，联立，消去也并结合离心率e=*即可

2、得解.3aa2a【解答】解：由题可知，Fi(-c,0),直线/的斜率定存在，设其方程为y=A(x+c),则M(0,品)，YM为线段PFI的中点，J点尸(c,2kc),222将其代入双曲线C的方程，有J_4kC,2,2l一ab,；而=2而,点N(2匚kc且点N在渐近线尸巨丫上，33a2联立，消去k得，空,a29，离心率e=q=5,a3故选：B.2. （2020绥化模拟）已知对任意正实数?，p,q,有如下结论成立：若典上,则有典上卫E成立,nqnqn+q现已知椭圆三片=1上存在一点P，尸2为其焦点,在47i尸2中，N尸尸1F2=15,NP产2F=75,则椭圆的离心率为（）A.AB.返C.返D.返2

3、232【分析】结合正弦定理和题中的新定义可知，IPFJ+PF2JFIFml,从而sinl50+sin75sin90j-=_竺一，结合正弦的两角和差公式分别算出sinl5o和sin750,代入上式进行sinl5+sin75sin90化简即可得离心率的值.【解答】解：在4PFF2中，由正弦定理知,IPFll Ipf2I f1f2SinZPF2F1 %inZPF1F2 %inZF1PF2IPFll+PF2FF2Sinl50+sin750sin900所以-2a2c即&=_居幽_sinl5+sin75sin90asinl5+sin75sin 15o +sin75o =sinI5o +cos 150=2s

4、in (45o +15o )=零所以离心率e=q=g=返.a63故选：C.2v23. （2020春杭州期末）以双曲线C-=l（0,b0）的左顶点A为圆心作半径为的圆，此2,2ab圆与渐近线交于坐标原点。及另点8,且存在直线y=h使得8点和右焦点尸关于此直线对称，则双曲线的离心率为（）A.骼B.2C.3D.3【分析】利用已知条件求出8的坐标，结合B与尸关于y=丘对称，得到小。的方程，然后求解离心率即可.【解答】解:由题意可知A（0）,F（c,0）,22以双曲线C2-%=l（0,bO）的左顶点A为圆心作半径为”的圆（x+）2+v2=2,此圆与a2b2_b1y三X渐近线），=-2X交于坐标原点。及另

5、一点8,可得a,消去y,a（x+a）2+y2=a2232可得/+2x+-2=o,所以8=12a,则用=?-b.存在直线y=h使得B点和右焦点尸关于此直线对称，2a?bIC2o3,3132,可得：心=J，可得=2a:C,8尸的中点为：（C二，。），koa3o2,222_za2ab乙CC2cc2333中点在直线y=心;上，可得昌b=2a+。（.二_）,2o2.92c2ab乙C整理可得4%2=（2a3+c3）Cc3-2a3）,把2=c2-W代入上式.化简可得44=c4,e=La解得e=2故选：B.2v24.（2020浙江学业考试）设Fi,尸2分别是双曲线三4=l（,b0）的左、右焦点.若双曲线上存a

6、2b2在一点P,使得IPaI=4P尸2|,且NAPF2=60,则该双曲线的离心率是（）A.逗B.运C.&D.&5353【分析】由双曲线的定义及题意可得仍户,俨心|的值，再由余弦定的可得mc的关系，进而求出双曲线的离心率.【解答】解：由双曲线的定义可得IPFILIP尸2=24,而IPg|=4|尸尺|,所以IPFlI=&，|尸乃|=2小33在APFIF2中/尸PF2=6O,由余弦定理可得IFI尸22=4c2=p产2+pF22-2IPFlIlPF2cosNFPF2=越9/人4/o8a2a1_52293329_整理可得：4c2=四/，即/=23/,所以e=_=Y亘，99a3故选：B.5. （2020南

7、平三模）已知双曲线=r-J=（0,力0）的左、右焦点分别为尸（-c,0）,尸2（c,0）.若2,21ab双曲线上存在点P满足PF=cP尸2|,则该双曲线的离心率的取值范围是（）A.（1,l+2B.（1,l+3）C.（1,l+2）D.（1,l+3【分析】点P（历，W）在右支上并注意到禾IJ用PQ=d?尸2|,进而根据双曲线定义表示出IPFIl和仍尸2|代入EF=c仍户2,求得e的范围.【解答】解：.RP尸Il=CIP尸2,.FFlI3,P在双曲线右支上，Ipf2Ic设P点的横坐标为我，注意到由双曲线第二定义，知I尸尸=+ew,PF2=ex0-a,则FX（Ta=2.*=a（a+c）*,ex+ace

8、c-ea分子分母同时除以“,得手J.，e-e解得IVeW扬1.e-e故选：A.6. （2020闵行区校级三模）已知产为抛物线y2=4的焦点，A、8、C为抛物线上三点，当而+祚+而=五时，则存在横坐标x2的点A、8、C有（）A.0个B.2个C.有限个，但多于2个D.无限多个【分析】设4（XI,y）,B（X2,”），C（X3,”），利用直+而+而二1，说明/为AABC的重心，利用重心坐标公式结合不等式转化求解加W2,讨论推出2W2,32,得到结果.【解答】解：设A(x,j),B(X2,”)，C(x3,y3),先证xW2,由强+而+而=1知，尸为AABC的重心，XF(LO),Biyly2y33i3U

9、x2+a3=3-Xi,y2+y3=-y,工(丫2+丫3)2=年+丫：+2丫2丫30,b0)的右顶点为A,抛物线Cv=I60r(0)azbz的焦点为尸,若在双曲线E的渐近线上存在点P,使得AP_LFP,则双曲线E的离心率的取值范围是()A.(1,-B.(1,2)C.舟,-too)D.(2,+8)【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设P(小，旦团)，利用向量的垂直a的条件得关于用的一元二次方程，再由二次方程的判别式大于等于0,化简整理即可求得离心率的范围.22【解答】解：双曲线E：3r-=l(0,7O)的右顶点为A(4,0),2,2ab抛物线C:j2=160r的焦点为F(4

10、小0),双曲线的渐近线方程为y=土旦r,a可设P(?，tn)a即有AP=(w-a,-m)tFP=(楸-4,/),aa由HAJ_FP,得下_L而，可得获而=0,2即为Cm-a)(m-4a)+-2n2=0,2a化为(l+-)irr-5tw+42=0,2a由题意可得a=254（1+月一）4/20,2a即有9/216户=16（c2-2）,即16c225u2,则e=WwS.a4由el,可得lVe24故选：A.2228. （2020河南二模）已知椭圆。：2L-+-=（abO）与圆C2：x2+y2=-,若在椭圆。上不存2,24ab+在点P，使得由点尸所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆。的离心率的取值范围

11、是（）A.（0,争B.（0,多C,除1）D.除1）【分析】由题意画出图形，把问题转化为SinNA尸Osin45,且返,由此可得椭圆的离心率的取值a3范围.【解答】解：如图，若在椭圆Ci上不存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则两条切线夹角的最大值小于90（由于短轴顶点处的两条切线的夹角最大为120,故这种情况不存在）或两条切线夹角的最小值大于90,如图：由NAPo45,即sin4POsin45,即,2上返,.互近 a 2 a 3又 OVeVL，椭圆G的离心率的取值范围是（0,返）.3故选：A.229.（多选）（2020青岛模拟）已知曲线C的方程为一=（lR）,则下列结论正确的是

12、（）k2-26-kA.当攵=8时，曲线C为椭圆，其焦距为4丁元B.当&=2时，曲线C为双曲线，其离心率为3C.存在实数2使得曲线C为焦点在），轴上的双曲线D.当=-3时，曲线。为双曲线，其渐近线与圆（X-4）2+y2=9相切【分析】求得2=8时，曲线C的方程和焦距，即可判断4求得左=2时，曲线C的方程，可得a,b,c,e,即可判断8；若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，可得女的不等式组，解不等式可得人的范围，即可判断C；求得及=-3时，曲线C的方程和渐近线方程，圆的圆心和半径，结合直线和圆的位置关系，即可判断D.22【解答】解：当2=8时，曲线C的方程为+2一=1,曲线C表示焦点在X轴上的椭圆，c

13、=622=622215,焦距为2c=47,故4正确；当A=2时，曲线C的方程为普-I=1,曲线C为焦点在X轴上的双曲线，且=,Z?=2,c=2+4=6可得e=，故8正确：a6-k6若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，可得Io,BpJ/一，k无实数解，故C错误；k2-20-2k0,b0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P,满足IP户2=FI尸21，且尸2到直线P乃的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（）A.渐近线方程为4x3y=0B.渐近线方程为3x4y=0C.离心率为互D.离心率为互34【分析】设IP尸2=BP2=2c,运用双曲线的定义和等腰三角形的性质可得关于小C的方程，得到双曲线的离心率，再由隐含条件即可得到与人的关系，求出双曲线的渐近线方程.【解答】