2024几何问题之中点问题.docx

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1、瓜何问您之中点问题令*孽6铲1、驾驭三角形的内角和定理；2、了解三角形三边的关系，并且能进行简洁的应用；3、学习用三角形边、角的关系进行简洁的计算和证明；4、学习分析问题、解决问题的实力。q和挈俐构一、中点有关联想归类：1、等腰三角形中遇究竟边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等供应条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7

2、、倍长中线。二、与中点问题有关的四大协助线：1、出现三角形的中线时，可以延长（简称“倍长中线”）；2、出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线：3、出现三角形边上的中点，作中位线；4、出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一”。三、几何证明之协助线构造技巧：1、假如作一条协助线，能起到什么作用；2、常作那些协助线能与已知条件联系更紧密，且不破坏已知条件。一、基础回顾1、线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。2、若点C是线段AB的中点，则：从线段来看：AC=BC=-AB,2从点与点的相对位置来看：点C在点A、8之间，且点A、B关于点C对称。3、三角形的中线：连接三角形的一

3、个顶点和它所对的边的中点所得的线段叫做三角形的中线。一个三角形有三条中线；每条中线平分三角形的面积；三角形的三条中线交于一点，每条中线被该点（重心）分成1:2的两段；三角形的三条中线把三角形分成六个面积相等的小三角形。二、如何延长三角形的中线1、延长1倍的中线：如图，线段Ao是AABC的中线，延长线段至E,使OE=Ao（即延长1倍的中线），再连接3、CEo总的来说，就可以得到一个平行四边形ABCD和两对（中心选转型）全等三角形/ABD=AECD.ACD=AED,且每对全等三角形都关于点。中心对称；具体地说，就是可以转移角：ZBAD=ZCEd,ZCad=ZBED,ZABD=ZECDfZACD=N

4、EBD,ZADB=/ECD,ZADC=/EDB；可以移边:AB=EC,AC=EB;可以构造平行线：AB/EC,AC/EB；可以构造边长与A5、AC.Ao有关的三角形：ABE.ACEo（1）延2长倍的中线：（0且AWl）如左（右）下图，点E为AABC中线A。（DA延长线）上的点，延长AD至尸，使ED=FD,连接BE、CE.BF、b.在平行四边形3R”中就可以得到类似（1）中的结论。留意：通常在已知条件或结论中测及到与BE、CE有关的边与角时，会用这种协助线.整体做题思路：中线倍长=华等二角形黑四器n利用性质解决问题碑例二例1、如图，A3C中，ABAC,AD是中线.求证：ADACAC,E为BC边的

5、中点,AO为NAAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于尸，交CA的延长线于G。求证：BF=CG.4、如图所示，已知。为BC中点，点4在OE上，且AB=CE求证：Nl=/2。一、出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线1、如图，在MA5C中，ZACB=90,直角NACB所对的边48称为RA3C的斜边,由NAc6N8C4,过点。作CZ）交45于点。，且NQAC=NAC。ZDAC=ZACDtAD=CD.ZACB=90,ZBC+ZBC=90,又.ZACD+ZBCD=90,ZBCD=ZABCt:.BD=CD,.BD=CD=AD,2、发觉线段CO为斜边43上的中线，且等于斜边的一半。3、作斜边中线，可以构

6、造出等腰三角形，从而得到相等的边、相等的角。4、通常在知道直角三角形斜边的中点的状况下，想到作斜边中线这条协助线。二、出现三角形边上的中点，作中位线1、中位线：连接三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线；也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线；以上是中位线的两种作法，第一种可以干脆用中位线的性质，其次种须要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质.2、中位线的性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；3、中位线协助线能起到的作用：在线段大小关系上，三角形的中位线是三角形第三边的一半，起着传递线段长度的功能。在位置上，三角形的中位线

7、平行三角形的第三边，起着角的位置转移和计算角的的功能。4、通常在以下两种状况下，会作中位线协助线：有两个（或两个以上）的中点时；有一边中点，并且已知或求证中涉及到线段的倍分关系时。熟识以下两个图形：例4、如图，在四边形A5CD中，AB=C。，点、尸分别是8C、的中点，84、CO的延长线分别交所的延长线G、求证：BGE=NCHE,例题5例5、已知：如图，A8C中，AB=AC,在AB上取点。，在AC延长线上取点E,连结DE交BC于点、F,若尸是DE中点，求证：BD=CE.A例6、如图，A8C中，。是BC边的中点，E是AQ边的中点，连结BE并延长交AC于点、F。求证：FC=2AF.DC成j例题7例7

8、、如图IT,已知放AABC中，AB=AC,在mAAOE中，AD=DE,连结EC,取EC中点M,连结OM和8W,(1)若点拉在边AC上，点E在边AB上且与点8不重合，如图1T,求证：BM=DM且_Lz)M;将图IT中的AOE绕点A逆时针转小于45的角，如图1-2,那么(1)中的结论是否仍成立？假如不成立，请举出反例；假如成立，请赐予证明。图1-15、如图，A8C中，。是BC边的中点，BE工AC于点E,若NDAC=30,求证:AB=DEoAB6、如图，已知正方形A8C中，点、尸分别是8C、AB的中点。求证：AG=AD.【横向拓展】7、如图，正方形CGE/的边CG与正方形ABCD的边BC在同始终线上(CGBC),连结AE,取线段AE的中点M。探究：线段M。、M”的关系，并加以证明。