一元二次函数的图像和性质.docx
高二暑假VIP第二讲一元二次函数的图象和性质复习目标1 .掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征2 .掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题3 .会求二次函数在指定区间上的最大（小）值4 .掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。知识回顾1 .函数y=r?+bx+c（w）叫做一元二次函数。2 .一元二次函数的图象是一条抛物线。3 .任何一个二次函数y=r2+zr+c（w）都可把它的解析式配方为顶点式:,b、24ac-b2y=a(x+-y+-2a4。性质如下:（1）图象的顶点坐标为（-二,细二也），对称轴是直线1=-2。2a42a（2）最大（小）值44cb 当>0,函数图象开口向上，y有最小值，ymin=-,无最大值。4a无最小值。4cb 当>0,函数图象开口向下，y有最大值，max=-4。（3）当。>o,函数在区间（一8,2）上是减函数，在（一2,+8）上是增函数。2a2a当。<0,函数在区间上（-2,+8）是减函数，在（-8,-2）上是增函数。2a2a【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。2.无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。例题精解一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数y=g+4x+6的图象【解】y=g/+4x+6=g(/+8x+12)=(x2+4)2-4=1(x2+4)2-2以x=-4为中间值，取X的一些值，列表如下:X-7-6-5-4-3-2-1y2O_32-2_32O2j2求作函数)，二一/-4+3的图象。【解】y=-X2-4x+3=-(x2+4x-3)=4(x+2)2-7J=4(x+2)2+7先画出图角在对称轴X=-2的右边部分，列表X一2-1O12y76543【点评】画二次函数图象步骤：(1)配方；(2)列表；(3)描点成图；也可利用图象的对称性，先画出函数的左(右)边部分图象，再利用对称性描出右(左)部分就可。二、一元二次函数性质【例3】求函数y=+6+9的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。【解】y=X1+6x+2=X2+6x+9-7=(x+3)2-7由配方结果可知：顶点坐标为(-3,-7),对称轴为=3；vl>O当X=-3时，ymin=-7函数在区间(-,-3上是减函数，在区间-3,+co)上是增函数。【例4】求函数y=-5+3x+l图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。2_3_3_4x(-5)xl-32_292a-2x(-5)-10'-4a一4×(-5)-2032929函数图象的顶点坐标为(3,二)，对称轴为X=N102020329v-5<0当x=77时，函数取得最大值=3函数在区间(-8,伍上是增函数，在区间一3,+00)上是减函数。【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：(1)配方法；如例3(2)公式法:适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4,可避免出错。任何一个函数都可配方成如下形式：y=a(x+-)2+4acb"(a0)2a4a练习：画出下列函数的图像：(1) =x-l+x+3(2) y=l-2+2-4(3) =x2+8x+12+x2-4(4) y=+8x÷12+x-2三、二次函数性质的应用【例5】如果f(x)=x2+bx+c对于任意实数t都有/(3+r)=/(3),那么()（八）/(3)<(1)<(4)(B)/<"3)<f(4)(C)/V/(4)</(1)(D)/(4)</</(1)解】Y/(3+/)=/(3-0对于一切的TR均成立/(x)的图像关于%=3对称又a=l>0抛物线开口向上。/(3)是/(X)的最小值。.7>”3,”3)<f(4)Vf如果.”幻=一一+云+。对于任意实数/都有/(-2+r)=/(-2-0,则/(T)/(l)o(用“>”或“<”填空)解】Y/(-2+/)=/(-2-t)对于一切的rR均成立/(x)的图像关于X=-2对称又a=-l>O,抛物线开口向下。v-l-(-2)<l-(-2),/(-1)>/(1)【点评】1.当白>O时，对称轴通过它的最低点(此时函数有最小值)，如果这时有一个点离图象对称轴越远，则对应的函数值就越大。如例5(1)中当X=I所对应的点比当x=4所对应的点离对称轴远，所以x=l时对应的函数值也比较大。2. 1.当时，对称轴通过它的最高点(此时函数有最大值)，如果这时有一个点离图象对称轴越远，则对应的函数值就越小。如例5(2)中当x=l所对应的点比当X=-I所对应的点离对称轴远，所以X=I对应的函数值也比较小。例6求函数y=x2-2x-5在给定区间-1,5上的最值。【解】(1)原函数化为y=2-2x-5=(x-1)2-6.a=1>0：当X=1时，Xnin二一6又|-1+1|<|5+1|当/=5时，ax=(5-l)2-6=10(2)原函数可化为：y=-(+l)2+-,图象的对称轴是直线冗=一1393注意到当lx2时，函数为减函数JXnin=/(2)=-22×2+l=-4-l="y【例7】已知函数旷=5-2)/十九¥-1是偶函数，试比较/(2),/(2),/(一正)的大小。【解】解法一：y=5-2)/+依-1是偶函数，：=0,.*.y=-2x21 可知函数的对称轴为直线X=O又=-2v,卜有-0|>|2_0|:>2_0| /(2)>/(2)>/(-5)解法二：Yy=(加一I)X2+2nr+3是偶函数，n-0,y22可知y=-Ix2-1在(0,+)上单调递减又y=(-2)/+公一1是偶函数, /(5)=/(5)而后2行/(2)>(2)>(5)(2)>(2)>(-5)三、一元二次函数、一元二次方程的关系。【例8】求当女为何值时，函数y=-2+4x+Z的图象与X轴(1)只有一个公共点；(2)有两个公共点；(3)没有公共点.【解】令一22+4x+欠=0,则一22+2=o的判别式A=2-4c=i6+8Z(1)当=(),即16+8Z=0,Z=2时，方程有两个相等的实根，这时图象与X轴只有一个公共点；(2)当A0,即16+8左0,左2时，方程有两个不相等的实根，这时图象与X轴有两个公共点；(3)当(),即16+8kv0,&2时，方程有两个不相等的实根，这时图象与X轴无公共点；课后练习一.选择题1 .二次函数y=/-2%+5的值域是()A.4,+oo)B.(4,+)C.(-,4D.(-co,4)2 .如果二次函数y=5一+7nr+4在区间(一00,-1)上是减函数，在区间一1,+8)上是增函数，则加二()A.2B.-2C.10D.-103 .如果二次函数丁=32+3+。+3)有两个不相等的实数根，则加的聚值范围是().(-,-2)u(6,+)B.(-2,6)C.-2,6)0D.-2,6)4 .函数y=；/+-3的最小值是()A.3.B.3.C.3D.3.5 .函数y=-2一4%-2具有性质(A.开口方向向上，对称轴为工=一1,顶点坐标为(-1,0)B.开口方向向上，对称轴为x=l,顶点坐标为(1,0)C.开口方向向下，对称轴为=-1,顶点坐标为(T,0)D.开口方向向下，对称轴为x=l,顶点坐标为(1.0)6 .下列命题正确的是()A.函数丁=2，一6%-3的最小值是彳B.函数丁=一2一一6%-3的最小值是亍C.函数y=-4%+3的最小值为7D.函数y=-4%+3的最大值为77 .函数(1)y=2x2+4x-3：(2)y=2x2+4x+3;(3)y-3x2-6x-3；(4)y=-3+6x-3中，对称轴是直线X=I的是()A.(1)与(2)B.(2)与(3)C.(1)与(3)D.(2)与(4)8 .对于二次函数y=-2f+8x,下列结论正确的是()A.当x=2时，y有最大值8B.当=-2时，y有最大值8C.当x=2时，y有最小值8D.当x=-2时，y有最小值89 .如果函数y=4+b%+c(w),对于任意实数，都有f(2+r)=2-，)，那么下列选项中正确的是()A./(2)<(-l)<(4)B./(-1)<(2)<(4)C./(2)</(4)</(-1)D,/(4)</(2)</(-1)10 .若二次函数丁=。2/-4%+1有最小值，则实数=()A.2B.-2C.±2D.±2二.填空1.若函数/(x)=22+-l,则F(X)的对称轴是直线2,若函数y=2+法+3在区间(8,2上是减函数，在区间(2,+8是增函数，则b=_3 .函数丁=2/一3工一9的图象与轴的交点坐标是,与X轴的交点坐标是一4 .已知y=9x2-6x+6,则y有最值为5 .已知y=-4x2+28X+1,则y有最值为.解答题1 .已知二次函数y=-/+4无一3,(1)指出函数图象的开口方向；(2)当X为何值时y=0；(3)求函数图象的顶点坐标、对称轴和最值。2 .如果二次函数/(x)=X2+h一(A:-8)与X轴至多有一个交点，求Z的值。3 .已知二次函数f(x)=+2(m-l)+2m-阳2,(1)如果它的图象经过原点，求加的值。(2)如果它的图象关于y轴对称，写出函数的关系式。(3)如果它的图象关于y轴对称，试比较/(一2)、/(-3)>/(2)o
