特色题型专练01 尺规作图（解析版）（江苏专用）.docx

中考特色题型专练之尺规作图几何篇题型一、与三角形结合1 .在学习等边三角形的过程中，小睿同学发现一个规律：在等边.A8C中，点。是AB边上任意一点，连接C。，过点A的射线AE交BC于点E,交CD于点F,当N8S=NACD时，则必有BD=CE.为验证此规律的正确性，小睿的思路是：先利用图，作/BAE=NACZ),再通过证全等得出结论.请根据小睿的思路完成以下作图与填空：D(1)用直尺和圆规在图的基础上作NBAE=NA8,AE交BC于点E,交8于点F.(不写作法，不下结论，只保留作图痕迹)(2)证明：qABC为等边三角形，AC=AB=SC,在Aa)和AE中，NCAB=NB,()，ZACo=NBAEACCBAE(ASA),/.®,又,：AB=BC工AB-AD=，/.BD=CE.【答案】(1)见解析；(2)等边三角形的性质，AC=AB,AD=BE,BC-BE.【分析】本题考查了作图一基本作图，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.(1)根据题意作出图形即可；(2)根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.【详解】(1解：如图所示，-BAE即为所作的角；(2)证明：/8C为等边三角形，AC=AB=BC(等边三角形的性质)，在AAef)和AE中，NCAB=NBAC=AB,ZACd=ZBAE：.ACEBAE(ASA),：AD=BE,又,AB=BC,JAB-AD=BC-BE,：,BD=CEf故答案为：等边三角形的性质，AC=BfAD=BE,BC-BE.2 .如图，在RtZABC中，ZC=90o,ZA=30°,.(1)用尺规作图作AB边上的中垂线DE,交AC于点Q,交A8于点E再连接8。(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)在(1)题的基础上，求证：CD=DE【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键.(I)直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；(2)直接利用中垂线的性质结合角平分线的性质得出CD=D从ZCTA=90°-30°=60°又OE垂直平分48：AD=DB：.No班=ZA=30。：ZCBD=ZDBA=30qVZC=90o,DE±AB：CD=DE3.如图，在二ABC中，AB=AC,点。在BC的延长线上，连接AO.(1)在线段40上确定点尸，使得NaT)=N8；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)的条件下，如果AB=5,AD=8,求FA的长.【答案】(1)见解析25(2)AP=-O【分析】本题考查了作图一复杂作图，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.(1)在AC右侧作NAcT=ND,CT交Ao于点尸，点P即为所求；(2)利用相似三角形的性质求解即可.【详解】(1)解：如图，点P即为所求：由作图可得：ZACT=ZD,ZD+ZCPD÷ZPCD=180o,ZACP+ZACB+ZPCD=180°,.ZACB=ZCFfD,AB=AC,.ZACB=ZB,:.NC尸D=NB;(2)解：CAP=CAD,NACP=ND,.CAPDACf.ac.p''ADAC,AB=AC=5f4)=8,二Y4.(1)如图，已知RtZVlBC中，NAC8=90。,O是AB上一点.求作一。，使得OO过点A,且与BC相切.要求：用直尺和圆规作图；保留作图痕迹，写出必要的文字说明.（2）如图，在RtZA8C中，NAeB=90。,NCBA=30。,AC=1,。是边AB上一点（点0与点A不重合）.若在RtAABC的直角边上存在不同的点分别和点A、。构成直角三角形，直接写出不同的点的个数及对应的40的长的取值范围.【答案】（1）图见解析（2）见解析【分析】（1）根据题意，确定圆心。的位置，再以OA为半径画圆即可；（2）当以Ao为直径的圆与5C相切时，求出此时圆的半径，分四种情况进行讨论求解即可.【详解】解：（I）作/B4C的角平分线，交BC于点M,过点M作OMJ.BC,交AB于点0,以。为圆心，以。4为半径画圆，。即为所求，如图：（2）当以AO为直径的圆与BC相切时：如图VZACB=90。,NcBA=30o,AC=I,：,AB=2,设。的半径为，则：OA=OD=OM=r,：Of±BC,ZB=30o,：,OBOM=2r,.*.2r+r=2>否，4AD=2r=-34当存在1个点时，此时BC与。O相离，0<AOV或以。两点重合，AD=2,4当存在3个点时，此时BC与。相交，-<AD<2,【点睛】本题考查复杂作图一作圆，含30度角的直角三角形的性质，切线的判定和性质，直线与圆的位置关系，掌握尺规作角平分线，作垂线的方法，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键.题型二、与四边形结合1 .已知，矩形A3CZ).图1图2若点E为边AD上一点,且/BEC=NDEC,请在图1中用尺规作图确定点E的位置，并将图形补充完整;（不写作法，保留作图痕迹，并将痕迹描粗加黑）（2）在（1）的条件下，已知线段OE=2,线段AB=6,求BC的长.（请用图2进行探究）【答案】（1）见解析2 2）BC=10【分析】本题考查了作图-复杂作图，矩形的性质，勾股定理：（D以点8为圆心，BC长为半径画弧交A。于点E即可；（2）根据矩形的性质可得NA=90°,8=AB=6,BC=AD,由（1）可得BE=BC,根据勾股定理可得结论.【详解】（1）解：如图，以点B为圆心，BC长为半径画弧交AO于点E,/.ZBCE=ZBEc,.四边形ABCD是矩扬AD/BC,：.ABCe=ZDEC, NBEc=NOEC: 点E即为所求；(2)解：Y四边形48C。是矩形，ZA=9()°,CD=AB=6,BC=AD, ：DE=2,：,AE=AD-DE=BC-Z,由（1）可知：BE=BC,在RlABE中，根据勾股定理得：AE2+AB2=BE2/.(BC-2)2+62=BC2 BC=IO.(I)按下列要求作图(不写作法，保留作图痕迹).作线段AB的垂直平分线，交线段BC于点。，连接AO.以点B为圆心，8。长为半径画弧，交线段4B的垂直平分线于另一点£连接AE,BE.请作出四边形A3(2)在(1)的条件下，若AE=5,sinZEAB=,求CB的长.【答案】(1)见解析【分析】(1)根据题意用尺规作图即可；(2)由作图可知AE=HE=AO=80=5,则四边形AOBE是菱形，设ABUoE的交点为R布RSAE尸中，3求出所=WAE=3,求出8b=AF=4,DF=EF=3,即可得到AB=A尸+8产=8,在RtABC和RtAACD中，由勾股定理得到AC2=AB2-BC2=4)2->2,则82(8+5)2=5282,解得。=巳即可得到答案.【详解】(1如图所示即为所求,：,AE=BE,AD=BD,'：BD=BE,.,.AE=BE=AD=BD=5,四边形4)8E是菱形，设A8与DE的交点为F,.*.ABJ_DE,DF=EF,AF=BF,3在R1.A£F中，AE=5»sinZEAB=-,3EF=-AE=3,*BF=AF=VAJE2EF2=5232=4»DF=EF=3»：AB=AF+BF=S,在RtZABC和Rt2ACQ中，由勾股定理得到，AC2=AB2-BC2=AD2-CD2,：.82-(CD+5)2=52-CD2,解得CO=1,732/.CB=CD+BD=-+5=-f55即C8的长为弓.【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、线段垂直平分线的作图、勾股定理、解直角三角形等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键.3.如图，已知tiABC.(I)请用无刻度的直尺和圆规在边8C、。Um上分别确定点D瓦/，使四边形8DE尸是菱形，并画出菱形BDEF(要求：不写作法，保留作图痕迹)(2)若AB=IO,8C=15,求(1)中所作菱形8。灯的边长.【答案】见解析(2)边长为6【分析】本题考查作图复杂作图，菱形的性质与判定，角平分线，线段的垂直平分线以及相似三角形的判定与性质等知识.(1)作/48C的角平分线交AC于点E,作线段BE的垂直平分线交ABF点F,交BC于点D,连接EF,ED,四边形BDM即为所求.(2)根据菱形性质可得NA庄=NA8C,进一步证明ZXAFEsa8C得二=0，代入相关数据可得结论.AdBC【详解】(I)解：如图所示，菱形BDE厂为所求.(2)解：:四边形BDE尸是菱形，BF=EF,EF/BD,：AFEABC,.AFEF*ABBC,设在=X,则AF=Io-X,.10-x_%fei,zfeiA-j-，解彳J=6，J(1)中所作菱形5。EF的边长为6.4.如图1,在矩形A8C。中，A8=3,BC=5,点P是边BC上的一个动点，连接AP,点。是CO边上的图1番用图(1)在图I中作出点Q(要求：尺规作图，保留作图痕迹并用黑笔描黑加粗，不写作法)当BP=I时，则CQ=(3)随着点尸的运动，。是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)详见解析呜25(3)CQ存在最大值为1【分析】(1)过点P作PQ1.AP,交CO于点Q,即点。为所求;(2)通过证明可得益=答，即可求解；(3)由相似三角形的性质可得花=晋，由二次函数的性质可求解.【详解】(1)如图，点。为所求点;(2) Y四边形ABC。是矩形,/.=NC=90o,/AP±PQt：.ZAPQ=ZB=ZC=90°,.ZAPB+ZCPQ=90°=ZAPB+/BAP,：.NBAP=NCPQ,：.ZXABPs尸CQ,.BPAB"'CQ=CP,VAB=3,BC=5,BP=I,：.CP=4,13ce=4,4C=-,(3) CQ存在最大值;BPAB理III：.CQCPB尸（58尸）_If5Y25332）12525.当BP-时，c。存在最大值为立【点睛】本题考查了复杂作图作垂线，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键.题型三、与圆结合1.在OO中，AB=AC,连接BC.(1)尺规作图：过点A作交80的延长线于点O(不写作法，保留作图痕迹)；(2)求证：AO为0。的切线；(3)若A。=2,ZDBC=IZABD,则的半径为.【答案】(1)图见解析(2)证明见解析(3)2【分析】本题考查了圆的综合，熟悉相关的知识点是解题的关键，(1)以A为圆心，BC长为半径画弧，以C为圆心AB长为半径画弧交于点P,连接AP,延长8。交AP于点。即可；