特色题型专练06 最值问题-四边形（解析版）（江苏专用）.docx

中考特色题型专练之最值问题四边形I一四边形I1.将军饮马（最小值）2.中位线最值三=3.两动一定I4.两定一定长1卜.两点最值I题型一、将军饮马（最小值）1 .如图，菱形ABCQ中，NBAZ）=60。,M是A8的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是1.则AB长为（）A.2B.1C.23D.3【答案】A【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，连接BD,PD,MD,由菱形的性质得到AB=Ar>,AC垂直平分8。，PD=PB,故当P、。、M三点共线时，PM+PD最小，即此时PM+PB最小,则DM=B证明&ZHD是等边三角形,得到DMJ.AB,NAC）M=30。,求出AM=立。M=I,则AB=2A=2.3【详解】解：如图所示，连接BDPD,MD,由菱形的性质可得AB=Ar>AC垂直平分80,：.PD=PB'PM+PB=PM+PD,工当P、D、M三点共线时，PM+ED最小,即此时HW+依最小，DM=6YNBW=60。，二84。是等边三角形，TM是AB的中点，：DMJ.AB,ZAzW=30。，/7AM=XoM=1,3：,AB=IAM=2,故选；A.2.如图，在边长为2的正方形ABC。中，点。是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，连接/%,PQ,则-PBQ周长的最小值是（）A.5B.6+1C.8D.5+l【答案】D【分析】本题考查了正方形的对称性，线段和最小，勾股定理，根据正方形性质，得到点B与点Z）是对称点，连接。Q，交ACr点P,此时，尸8。周长最小，结合边长为2的止方形ABC。中，点。是BC的中点，得到BQ=QC=g8C=l,BC=CO=2,/88=90。，根据勾股定理计算即可.【详解】.I边长为2的正方形48CD中，点。是BC的中点，BQ=QC=gBC=l,BC=8=2,8Co=90。，点B与点。是对称点，连接DQ,交ACf点P,此时8Q周长最小，：,DQ=yCQ2+CD2=5JJBQ周长的最小值是尸B+PQ+BQ=QQ+BQ=4+1,故选D.3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=r2+2x+3的图象与X轴交于点A,B,与），轴交于点C,点P在线段BC上，则尸A+尸。的最小值是一.AqBX【答案】5【分析】先求出C(0,3),8(3,0),A(TO),过点B、C分别作X轴、y轴的垂线，两线交于点7,连接尸丁，证明四边形是正方形，旦7(3,3),即有点。与点T关于直线BC对称，则有R4+PO=¾+PT,当A、P、T三点共线时¼+P最小，即E4+尸O最小，最小值为AT,问题随之得解.【详解】解：在y=-+2x+3中，当X=O时，y=3, C(0,3), OC=3；当，=0时，一f+2x+3=0,解得：再=T,占=3, 6(3,0),A(-l,0),O8=3,OA=I;过点8、C分别作X轴、y轴的垂线，两线交于点丁，连接尸丁，如图，.,.CTA-OC.BT1.OB, OB1.OC,OB=OC=3, 四边形087C是正方形，且T(3,3), 点。与点厂关于在线BC对称，PO=PT,.,.PA+PO=PA+PT,当A、尸、T三点共线时¼+P最小，即尸A+PO最小，最小值为AT,VA(-1,O),7(3,3),<4+PO的最小值AT=J(3+l)-+(3-0)2=5,故答案为：5.【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，考查了二次函数与坐标轴交点的问题，轴对称的性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，证明四边形OBTC是正方形，且7(3,3),得出点O与点T关于直线BC对称，是解题的关键.4.如图，在正方形ABa)中，E是AS上一点，BE=2,AE=3BE,则AO=,若是AC上一动点,则PB+PE的最小值是.【答案】810【分析】忏先根据题意就得AE、A5的值，再根据正方形的性质求得AD的值；连接OE,交AC于尸，连接BP,则此时P8+PE的值最小，由题意易知8、。关于AC对称，进而可得依=),所以PB+PE=PD+PE=DE,利用勾股定理解得OE的值，即可获得答案.【详解】解：.BE=2,AE=3BE,：AE=3BE=3x2=6,AB=AE+BE=6+2=St.四边形ABCO为正方形，：.AD=AB=8：如下图，连接OE,交AC于尸，连接BP,则此时P4+PE的值最小,四边形48Co是正方形，A。关于AC对称，：,PB=PD,：,PB+PE=PD+PE=DE,VAE=6,D=8,:DE=AD2÷AE2=82÷62=10*故依+P石的最小值是10.故答案为：8,10.【点睛】本题主要考查正方形的性质、最短路径问题、轴对称对称的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键.题型二、中位线最值1 .如图，在菱形ABC。中，E,尸分别是边C。，BC上的动点，连结AE,EF,G,“分别为AE,叱的中点，连结GH.若N460。，Bc=4,则GH的最小值为（）【答案】C【分析】连接AF,利用三角形中位浅定理，可知G"二gA尸，求*AF的最小值即可解决问题.【详解】解：连接AF,如图所示:四边形ABCZ)是菱形，.AB=BC=4,G,，分别为AE,E尸的中点，.GH是钻尸的中位线，.GH=-AF,2当A尸IBC时，AF最小，G”得到最小值,则ZAF8=90。，,ZB=60oZAF=90o-Z=30o,.BF=-AB=2iAF=yAB2-BF2=23,2.Gh=1.af=B2即G的最小值为1.故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线.2 .如图，在菱形ABCO中，E,尸分别是边CD,BC上的动点，连接AE,EF,G,”分别为AE,石F的C.y【答案】D则;的最小值为（【分析】连接AF,利用三角形中位线定理，可知GH尸，求出AF的最小值即可解决问题.【详解】解：连接AF,如图所示:四边形ABCO是菱形，.AB=BC=2BG,分别为AE,叱的中点，.G”是AAE尸的中位线，.GH=-AF,2当从产J1.BC时，AF最小，的得到最小值，则ZAfB=90。，,4=45°,.j5尸是等腰直角三角形，.AF=-A=-×23=6,22-Oo=,2即用的最小值为巫，2故选：D.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.3.如图，在YABCD中，ZC=120,AD=2AB=S,点H,G分别是边C。，BC上的动点，连接A”,HG,点E为A的中点，点尸为G”的中点，连接E厂，则痔的最大值与最小值的差为.【答案】3【分析】连接AG,AC,过A作AM_1.BC于M；由题意得/3=60。，则可求得AW,的长，从而由勾股定理求得AC；山三角形中位线定理得M=7AG,当G与。重合时，AG最长；当G与M重合时，AG最2短，从而可求得E户的最大值与最小值的差.【详解】解：如图，连接AG,AC,过4作AM_1.8C于M：则ZAMfi=ZAMC=90。；四边形ABCD是平行四边形，且NC=120,AB/CDtBC=AD=S：./3=180。-NC=60。；ZBAA/=90°-60°=30°：VAD=2AB=St：.A8=4,/.BM=-AB=2,2由勾股定理得：AM=JA-BM?=2J,MC=Be-BM=8-2=6,由勾股定理得AC=JAM2+mc?=J12+36=4>:；点E为A”的中点，点F为G的中点，：.EF=-AG;2当G与。重合时，AG最长且为4J,此时M=2J:当G与M重合时，AG最短且为2J,此时EF=6：JE/的最大值与最小值的差为2J-6=6故答案为：75.【点出】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形中位线定理.连接AG利用三角形中位线定理是关键.4.如图，在菱形ABCO中，AB=8,/8=45。，E,尸分别是过CO,BC上的动点，连接AE,EF,G,”分别为AE,石尸的中点，连接G”，则GH的最小值为【答案】22【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知G"=A/，求出A尸的最小值，当AF_1.BC时，根报闻线段最短，即可解决问题.【详解】解：连接AF,如图所示：四边形ABCO是菱形，：AB=BC=8>VG,分别为AE,E尸的中点，JGH是AAEF的中位线，：.GH=-AF,2当APJ1.BC时，AF最小，G”得到最小值,则ZAF=90°,VZB=45°,ZA8尸是等腰直角三角形，：,AF=A=-×8=42.22：GH=2&，即G的最小值为2五，【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.题型三、两动一定1 .已知矩形ABCQ中A6=6,NABO=60o,M,N分别是BDAo上的动点，则A+MV的最小值为（A.6B.6+65C.9D.12【答案】C【分析】作点A关于80的对称点4,交80卜点。，连接AM,AN,A。，先根据轴对称的性质可行AM=AM,从而可得A"+MN=AM+MN,再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当AN_1.AD时,AW取得最小值,AM+MV取得最小值，然后根据含30。角的直角三角形的性质、矩形的性质求解即可得.【详解】解：如图，作点A关于8。的对称点4,交80于点0,连接AM,AMAD,由轴对称的性质得：AM=AM,A,O=AO,AA±BD,.AM+MN=A,M+MN,由两点之间线段最短得：当点A,M,N共线时，AM+MN取最小值，最小值为AN,由垂线段最短得：当AN_1.AD时，4N取得最小值，在矩形ABa）中，AB=6,NABO=60。，：ZADB=30°,BD=2,AB=12»AZ)=>JbD2-AB2=6>3»在RtAOz)中，AO=-AD=33,DO=yAD2-AO2=9,2.AA'=AO+A,O=2AO=6/又Sa.ad=-ADAfN=-AA,DO,22arAAQO6尺9qAD63故AM+MN的最小值为9.故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质、含30。角的直角三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质等知识点，利用两点之间线段最短和乖线段最短得出当ANJ_A。时，4N取得最小值是解题关I.2.如上图所示，矩形A8CO,A8=6,BC=6出,点E是边A。上的一个动点，点尸是对角