2023-2024学年人教A版必修第二册 6-4-3 第三课时 用余弦定理、正弦定理解三角形 学案.docx
6.4.3第三课时用余弦定理、正弦定理解三角形技法归纳活学活用题型突破析典例题型一有关三角形面积的计算例I(1)在ZiABC中，已知。=5"=7,3=120°,则MBC的面积为；(2)在AzWC中，内角A,B,C的对边分别是,b,ct若SinB=2sinA,且"BC的面积为MsinBf则cosB=.解析(1)由余弦定理，得层=4+24CCoS3,即d+5c24=0,解得c=3或C=-8(舍去).所以SAASC=1.CSin8=1X5X3sin120°=强.224(2)由sin8=2sinA,得b=2a,由的面积为02sinB,acsinB=a2sinBt由sinB0,知c=2m所以cosB=Q字二="2ac4a24答案(1)(2)i44通性通法求三角形面积的解题思路在应用三角形面积公式S=absnC=bcs'n=acsinB求解时，一般是已知哪个角就使用哪一个公式.口跟踪训练1 .ftAC,己知=l,。=2且AABC的面积为今贝18=()A.30oB.60oC30°或150oD.60°或120°解析：D由面积公式S/=2in8=*X2Xsin8=*解得sin8=当所以B=60。或120°.故选D.2 .在AABC中，Chb,C分别是角A,B,C的对边，若a=2,6=3,sinA=2sincosC,则的面积为解析：依题意SinA=2sin8CoSc由正弦定理得=2AosC,2=2×3×cosGCoSC=1>0,所以OVC¢,所以SinC=JI-CoS2。=誉，所以AABC的面积为以SinC=-×2×3×-=22.23答案：2夜题型二求解平面几何问题【例2】如图所示，在平面四边形ABCQ中，AB=,BC=3,AB1.AD,AC1.CD.(1)若sinzAC=",求SinNBCA；4(2)若Ao=3AC,求Ac解(1)在AABC中，由正弦定理得7,即T7=W,解得SEnBCASInZBCAsnBACSlnKBCA±4=匹-12,(2)设AC=X,则A0=3x,在Rt2kACO中，CD=AD2-AC2=Iyflx,sinCAD=-=AD22在AABC中，由余弦定理的推论得COSNBAC=吟痣=抹.2ABAC22x又n8AC+/CAO*,2所以CoSNBAC=SinNCw,即第=苧，整理得3f8x3=0,解得x=3或X=1(舍去)，即AC=3.通性通法正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.Cf跟踪训练如图，ABC,B=E,AB=Sf点。在BC边上，且8=2,COSNAoC=±JBDC(1)求sinzBAD求罪的值解：(1)在AAOC中，因为cosOC=M所以SinNAOC=竽，所以sin®。=Sin(zADC-B)=sinAOCCoSB-COSzAOCSinB=-X尹之X六等3I(2)在相。中，由正弦定理得皿=端署=圭=3.7在ABC中，由余弦定理得2A68CcosB=82+522X8X5X1=49,所以AC=7,所以*题型三正、余弦定理的综合问题【例3】设4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且加inA=JcosR(1)求3的大小；(2)若2=3,sinC=2sin,求,C的值.解(1)VbsinA=3cosB,；由正弦定理,得SinBSinA=JSsinAcos3.在aA8C中，sin4W0,即得tan5=V,5=.(2)VsinC=2sinA,由正弦定理,得c=2,由余弦定理Z?2=2÷c22rzccosB,即9=+42-242cos3解得q=5,c=20=23.通性通法利用正、余弦定理解三角形的注意点正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键.口跟踪训练ABC的内角A,B,C的对边分别为,b,cfasinA÷csinC-V2asinC=bsinB.(1)求8的大小；(2)若A=75。，b=2,求小。的值.解：(1)由正弦定理，得/+c2c=尻由余弦定理，得b?=/+c2加CCoS8.故cos5=q,又OYBV180。,因此8=45。.(2)sinA=sin(30o÷45o)=sin30ocos45o÷cos30osin45o=i!.4故由正弦定理，得当=1+ISinB由已知得，C=180o-45o-75=60o,1.1.SinCCVSin600/7SinBsn45一随堂检测.1 .AA8C的内角A,B,C的对边分别是小b,ct若=5,b=4,C=-,则的6面积为()A.23B.3C.13D.39解析：B由题意可知，=3,b=4,C=7»所以SAABC=absinC=；xV5X4X；=V5.6ZZ22 .在"BC中，sin2A=sinBsinC,若A=g,则B=()A.-B.-C.-D.6433解析：C因为SidA=SinBsinC,所以=be,由余弦定理可知=Z?+d2bccosm=b1+d-bc=bc,即(bc)2=0,得b=c,所以AABC是等边三角形，B=.故选C.3.如图，在AABC中，点D在BC边上,zADC=60ofCD=AD=2,BD=4,RJsinB=()A,B.叱26C立D.K1414解析：D由题意，得AAOC为等边三角形，则AQ3=12(,AC=2t由余弦定理，得AB2=BD2+AD1-2BDADcoszADBi即A5=27,由正弦定理，得但=.,则SinSlnBsnADBrtADsinADB21AB144.在"BC中，内角A,B,C所对的边分别为,b,c,若2cosA(bcosC+CCoSB)=13,AABC的面积为35,则A=,b+c=.解析：由已知及正弦定理可得，2cosA(sinBcosC÷sinCcosB)=SinA,可得2cosAsin(B+C)=SinA,即2cosAsinA=sin4,又SinAW0,.*.cosA=,VA(0,11),，A=J.由面积公式可得，33=csinA=¾c,即6c=12.由余弦定理a?="+/一3242反CoSA,得13=(b+c)2-3bc=(匕+c)2-36,解得8+c=7.答案：g7
