2023-2024学年人教A版必修第二册 6-4-3 第四课时 余弦定理、正弦定理应用举例 学案.docx

6.4.3第四课时余弦定理、正弦定理应用举例G知识梳理.读教材A基础落实高效学习.一Ib情境导入.在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形.例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量.问题假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由.融新知初探。知识点实际应用问题中的有关名词、术语1 .基线的概念与选取原则（1）基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线;（2）选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.2 .方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90。的水平角.如图，北偏东30。，南偏东45。.3 .仰角和俯角（1）前提：在视线所在的垂直平面内;(2)仰角：视线在水平线以上时,视线与水平线所成的角；(3)俯角：视线在水平线以下时,视线与水平线所成的角.您想一想李尧从学校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？提示：东南方向.日做一做1.若尸在Q的北偏东44。50方向上，则Q在尸的()A.东偏北45°1(T方向上B冻偏北44。50方向上C.南偏西44。50方向上D.西偏南44°5(方向上解析：C如图所示.2 .两灯塔A,8与海洋观察站C的距离都等于km,灯塔A在C北偏东30。，8在。南偏东60。，则A,B之间距离为()A.V2akmB.V5。kmC.akmD.2akm解析：A在A4BC中，AC=BC=a,NAC5=90°,所以AB=0故选A.3 .如图，为测塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得NAC5=45。，再沿AC方向前行20(3-l)米到达。点，测得NADB=30°,则塔高为米.解析：在RSABC中，设A8=x,则由ZAC8=45°可知AC=X,在RI中，AD=X÷20(3-l),NAo5=30°,所以彳=tan30o,x+20=3,解得Xx+20(3-l)X=20.则塔高为20米.技法归纳活学活用答案：20题型突破析典例题型一测量距离问题【例1】(1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A,B,望对岸的标记物C,测得NCA5=30°,CBA=75o,AB=120m,则河的宽度是m；(2)如图，为测量河对岸A,8两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C,O两点，测得C8=60°,n8CO=45°,ADB=60o,dOC=30°,则A,8两点的距离是解析(1)tan30°=a,tan75°=,又AO+08=120,ADtan30°=(120-D)tanADDB75°,AD=603,故C0=6O.故河的宽度为60m.(2)在48Co中，BDC=60o÷30o=90o,NBCD=45°,CBD=90o-45o=CD,.BD=CD=40,BC=JbD2+c)2=401在ACO中，ZAoC=30°,ZACz)=60°+45°=105o,CAD=180o-(30°+105°)=45°.由正弦定理，得AC=C=20在sm450ABC中，由余弦定理，得A82=AC2+8C2-2ACX8CXcosn8C4=(20)2+(40夜)2-2×2()2×402cos600=2400,AB=2()6,故A,8两点之间的距离为20m.答案(1)6()(2)206通性通法测量距离的基本类型及方案类型A,8两点间不可达或A,8两点间可视，但有一点不可达A,3两点都不可达图形不可视V类型计算方法A,8两点间不可A,8两点间可视，但有达或不可视一点不可达先测角C,AC=以点A不可达为例，先测b，BC=af再用角8,C,BC=af再用余弦定理求AB正弦定理求A5A,6两点都不可达测得CD=at,BCD,NBDC,zACDtzADC,在AACO中用正弦定理求AC;在RBCD中用正弦定理求BC;在AABC中用余弦定理求AB口跟踪训练一个骑行爱好者从A地出发向西骑行了2km到达B地，然后再由6地向北偏西6()。骑行2Ikm到达C地，再从C地向南偏西30。骑行了5km到达。地，则A地到。地的宜线距离是()A.8kmB.3V7kmC.33kmD.5km解析：B如图，在zA8C中，ABC=150o,AB=2,BC=23,依题意，zBCD=9(t在中，由余弦定理得，AC=JaB2-FBC2-2ABBCcosABC=4+12+83×y=27,由正弦定理得，SinzACB=丝生吆"=C=,在ZkACO中，COSzACD=CoS(90°AC27+nAC8)=SinzACB=一2，由余弦定理得，AO=AC2-CD2-2ACCDcosACD=27y所以A地到D地的直线距离是37km.故选B.28+25+2×27×5×-=37,27跃型二测量高度问题【例2】彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度A8,选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与。，现测得BCO=15°,n8QC=135°,CD=20m,在点。测得塔顶4的仰角为60。，则塔高AB=()A.30mB.2V2mC.2V3mD.2V6m解析由题设知，AB1.BCf又NoBC=I80°-/BOC-/BCD=30°,在£?CD中，.BCSinzBDCSinzJJBC'丁BC20jZm'在RAABC中tan/ACBBC206m.故选D.答案D通性通法测量高度的基本类型及方案类型简图计算方法底测得BC部一a,可达Czd-4zBC=CfAB=6ztanC类型简图计算方法氐部不可迅点B与C,。共线上测得CD=a及C与NAo8的度数.先由正弦定理求出AC或AO,再解直角三角形得AB的值点、B与C,。不共线A测得Cz)=。及,BCD,D,ACB的度数.在ABCQ中，由正弦定理求得BC,再解直角三角形得AB的值一'/Y奇7*"CaD口跟踪训练珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的.这种挤压一直在进行,珠穆朗玛峰的高度也一直在变化.由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作.在测量过程中，已知竖立在8点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70。，80°,则A,8的高度差约为(sin70o0.94)(A.10米B972米C.9.40米D.8.62米解析：C根据题意画出如图的模型，则CB=1(),NoA6=70。，NoAC=80。，所以NCAB=10o,ACB=10°,所以AB=IO,所以在RSAoB中，BO=IOsin70o9.4(米).题型三测量角度问题【例3】某海上养殖基地A,接到气象部门预报，位于基地南偏东60。相距20(5+l)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且5+l小时后开始持续影响基地2小时.求台风移动的方向.解如图所示，设预报时台风中心为6,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为O,则8,C,0在同一直线上，且A0=2(),AC=20.由题意A8=20(3+l),DC=202,BC=(3+l)X10在44DC中,因为OC2=aq2+ac2,所以NOAC=90°,NAOC=45°.在AABC中，由余弦定理的推论得COSNBAC=2ACAB所以NBAC=30°,又因为B位于A南偏东60°,60o÷30°+90°=180°,所以。位于4的正北方向,又因为nAOC=45°,所以台风移动的方向为北偏西45。.通性通法测量角度问题画示意图的基本步骤团跟踪训练如图，在海岸A处发现北偏东45。方向距A点（百一1）nmile的8处有一艘走私船，在4处北偏西75。方向，与A距离2nmile的我方缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船，此时走私船正以H）nmile/h的速度，从B处向北偏东30。方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？解：设缉私船应沿。方向行驶fh,才能最快截获（在。点）走私船，则CD=IOBfnmile,BD=IOfnmile.e：BC2=AB2+C22ABAGcoszCAB=(3-l)2÷22-2(3-l)×2cos120o=6,：.BC=瓜BCACAACsnCABsinNABC-BC2sinl20o-26.nA8C=45°,.B点在C点的正东方向上,：NCBD=90o÷30o=l20°.BD_CO,SinzBCDSinzCBD,AsinzBCD=BDsinz.CBDIOtsinlZOozBCD=30o.故缉私船沿北偏东60。的方向行驶，才能最快截获走私船.但随堂检测,1 .如图所示，两座灯塔4和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40。方向上，灯塔8在观察站南偏东60。方向上，则灯塔A在灯塔8的()A.北偏东10°方向上B.北偏西10°方向上C.南偏东80°方向上D.南偏西80°方向上解析：D由条件及题图可知，NBAC=NABC=40°.又/58=60°,所以nC8O=30°,所以n。BA=I0°,因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.故选D.2 .如图所示，设A,3两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C,测出4,C的距离为5()m,ZAC8=45。，NcA8=105。后，可以计算出A,8两点间的距离为()A.50>2inB.508mC.252mD.-m2解析：AAC=180o-45o-105o=30o,在"8C中，由'=*,得AB=I(X)Xtsm45sn302=502(m).3 .滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作滕王阁序中的“落霞与孤鹫齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为30。，此人往滕王阁方向走了42米到达点8,测得滕王阁顶端的仰角为45°,则滕王阁的高度最接近于（忽略人的身高）（参考数据：31.732）（）A.49米B.51米C54米D.57米解析：D设滕王阁的高度为，由题设知，NCBD=45。,NCAo=30°,所以80=CO=/?,则Ao=AB+BD=z+42,又tan/CAD=器=二=噂，可得=-57米.故选AD+4233-1D.4 .如图，两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为