2023-2024学年人教A版必修第二册 8-5-1 直线与直线平行 学案.docx

8.5空间直线、平面的平行8.5.1 宜线与宜线平行新课程标准解读核心素养1 .借助长方体，通过直观感知、了解空间中直线与直线平行的关系逻辑推理2 .了解基本事实4及等角定理直观想象*知识梳理读教材时基础落实高效学习1.勒情境导入.把一张长方形的纸对折两次，打开以后如图所示.问题（1）为什么这些折痕互相平行？（2）初中所学的结论“在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，如果去掉条件“在同一平面内”，结论是否仍成立？/新知初探,知识点一基本事实4平行于同一条直线的两条直线上一.知识点二等角定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补图形语言判断或证明两个角相等或互补作用提醒对等角定理的两点认识：等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用；当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补.因此等角定理用来证明两个角相等或互补.回做一做1 .已知,。是异面直线，直线C直线m那么C与力（）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线解析：C假设C与平行，由于cm根据基本事实4可知。儿与a,力是异面直线矛盾，故C与b不可能是平行直线.故选C.2 .已知n8AC=30°,ABA,BACA,C,f则n8AC'=（）A.30oB.150oC.30。或150oD.大小无法确定解析：C当/82X7与NBAC的两边方向相同或相反时，B,AV=30o,否则，zB,A,C,=150。.故选C3 .如图所示，在长方体AG中，AIG与5。1相交于点O,E,尸分别是B。，Go的中点，则长方体的各棱中与E/平行的有（）A.3条B.4条C.5条D.6条解析：B由于E,F分别是5。，G。的中点，故EFBC,因为和棱BlG平行的棱有40,BC,AiDh所以符合题意的棱共有4条.4 .已知在棱长为。的正方体A5CQ-ABCTT中，M,N分别为CD,A。的中点，则MN与4C的位置关系是.解析：如图所示，:例，/V分别为CZ?,4?的中点，.仞V口C,由正方体的性质可得AC11A,C,tMN11A,C即MN与4C平行.答案：平行题型突破析典例技法归纳活学活用题型一证明直线与直线平行【例1】如图所示，在空间四边形A8CO(不共面的四边形称为空间四边形)中，E,尸，G,”分别为AB,BC,CD,OA的中点.(1)求证：四边形EFG是平行四边形；(2)如果AC=BO,求证：四边形EFG是菱形.证明(1)因为空间四边形ABCO中，E,F,G,"分别为AB,BC,CD,OA的中点,所以EFAC,HGACfEF=HG=AC1所以EFV/HG,EF=HG,所以四边形EFGH是平行四边形.(2)因为空间四边形ABC。中，E,F,G,分别为AB,BC,CD,OA的中点，所以EH/BDiEH=BD.因为EF=ICAC=BD,所以EH=EF.又因为四边形EFG”是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形.通性通法证明空间两条直线平行的方法(1)平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等；(2)定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面，一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点；(3)基本事实4:用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线仇使得Cib,同时bcf即可得到c.Gr跟踪训练己知棱长为。的正方体ABCD-AEC。中，M,N分别为CD,AZ）的中点.求证：四边形证明：如图所示，连接AC,由正方体的性质可知AV=Cv,AA7CC,f四边形A4X7C为平行四边形，：.A,C,=AC1A,C,ACt又TM,N分别是CD,AO的中点，.MNC,且MN=Ie.MNA,C,t且MNA'C'.四边形MNAC是梯形.跋型二等角定理及应用j【例2】如图，在正方体ABCQ-A向GDl中，E,F,G分别为棱CG，BB,。的中点，试证明：,BGC=nFDiE.证明因为尸为65的中点，所以"=抑?1,因为G为的中点，所以AG=出）.又BBiDDi,BBI=DDI,所以BF“DG,BF=DG所以四边形。G8尸为平行四边形.所以。尸G8,同理A七GC.又/3GC与IE的对应边平行且方向相同,通性通法关于等角定理的应用(1)根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行，即先证明线线平行:(2)根据角的两边的方向判定两角相等或互补.口跟踪训练如图，在长方体ABCD-ABG。中，E,F分别为棱A,CG的中点.求证：(1)D1E/BF；(2)zBBF=zAED.证明：(1)如图，取88的中点例，连接EM,CiM.在矩形ABSAl中，易得EMA/i,EAZ=A1Bi,因为ABiG。，AlBl=GOi,所以EMGOi,EM=CQi,所以四边形EMGol为平行四边形，所以。忍MG.在矩形3CG8中，易得M8GF,MB=ClF.所以四边形MBFG为平行四边形，所以8/McI,所以OIE8F.(2)因为OIE8F,BBiEAf又NBIBF与/AiEDi的对应边方向相同，所以n8RF=AED.题型三利用线线平行判断共面【例3】如图，四边形ABM与四边形ABCO都是直角梯形，zBAD=zFAB=90°,BCAD,BE11AF,G,H分别是FA,的中点.(1)证明：四边形是平行四边形；(2)C,D,E,尸四点是否共面？为什么？解(1)证明：由题意知，FG=GA,FH=HDi所以GH11AD,又BC111AD,故GHnBC,所以四边形8C”G是平行四边形.(2)C,D,F,E四点共面.理由如下：由8£口“1尸，G是£4的中点知，有8EG尸,所以四边形BEFG是平行四边形，所以E尸3G,由(1)知BG”CH,所以EFCH,故EF,C”共面.又点。在直线尸上，所以C,D,E,f四点共面.通性通法根据两平行直线确定一个平面，可以证明共面问题，其实质是证明直线平行.Z跟踪训练如图，在空间四边形ABCO中，E,尸分别是AB,BC的中点，H,G分别是AO,CD上的点，满喘谭.A(1)求证：E,F,G,"四点共面；(2)设瓦/与FG交于点尸，求证：B,。，P三点共线.证明：(1)如图，连接AC,V£,F分别是AB,BC的中点，/.EF/AC.在aAOC中，V=,GHACf：EFGH,：E,F,G,四点共面.（2） ,：EHHFG=P,：.PGEH,又YNU平面ABO,P平面A8O,同理P平面BCD,P为平面ABD与平面BCQ的一个公共点.又平面A8O平面3CD=BO,；PeBD,即尸，B,。三点共线.因随堂检测.1 .己知直线直线从直线6直线c,直线C直线d,则。与d的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.不确定解析：AYaHb,bc9：.alIC.又CHd、：ad.故选A.2 .若ZAo8=z。出,且OA。4,OA与OA方向相同，则下列结论正确的有（）A.05。由I且方向相同B.08O小|,方向可能不同CQB与08不平行D.08与0出|不一定平行解析：D当ZAOB=NA。闰，且O40|小，OA与OlAl的方向相同时，OB与OlBl不一定平行.故选D.3 .如图，在三棱柱ABC-AiSG中，E,尸分别是A8,AC上的点，KAE：EB=AF：FC,则EF与B1C1的位置关系是.解析：在中，VAE：EB=AF：FC,:EF"B3:在三棱柱ABC-A/IG中，有BC/BCt:EFBC.答案：平行4 .空间中有两个角,且角,B的两边分别平行.若a=60。，则=.解析：因为角与P两边对应平行，但方向不确定，所以与相等或互补，故p=60°或120°.答案：60°或120°