专题04导数及其应用.docx
1.【2021天津高考真题】己知>0,函数f(x)=XeX.(I)求曲线>=/(X)在点(0,7(0)处的切线方程：(II)证明/S)存在唯一的极值点(III)若存在。，使得/(x)a+8对任意XR成立，求实数b的取值范围.【答案】(I)y=(a-V)x,(a>O)；(11)证明见解析；(川)-e,+)【分析】(I)求出/(x)在JV=O处的导数，即切线斜率，求出/(0),即可求出切线方程；(Il)令r(%)=0,可得=(x+l)e",则可化为证明y=与y=g(x)仅有一个交点，利用导数求出g()的变化情况，数形结合即可求解；(川)令。)=(%2一-l),(>-l),题目等价于存在X£(-1,+8),使得/Z(x)b,即b(x)min,利用导数即可求出MX)的最小值.【详解】(I)/'(X)=Q-(X+l)e"则f'(O)=-l,又/(0)=0,则切线方程为y=(-l)x,(>O);(Il)令/'*)=4一(x+l)=0,则4=(x+l)/,令g(x)=*+l)e',则g<x)=(x+2)/,当x(o,-2)时，g'(x)v,g(x)单调递减；当x(-2,+8)时，g,(x)>0,g(x)单调递增，当XfYO时，g()<O,g()=0,当X+)时，g(x)>O,画出g(x)大致图像如下:所以当>0时，y=与y=g(x)仅有一个交点，令g(m)=,则m>一1,且f,(ni)=a-g(ni)=Ot当x(y>,m)时，a>g(x),则/'(x)>0,/(%)单调递增，当X£(，%,+8)时，a<g(x),贝J'(x)<O,/(x)单调递减，X=m为/(%)的极大值点，故fM存在唯一的极值点；(IH)由(Il)知F(X)max=/(，此时=(l+6)d",m>1,所以7(%)-ama=/(m)-a=(n2-m-1)em,(m>-1),令力(工)=(A：2-1),若存在。，使得/(x)+对任意xR成立，等价于存在xe(T,+),使得(x)b,gpZ.(x)nin,hx)=(V+%_2)ex=(x-l)(x+2)ex,x>-,当x(-1,1)时，hf(x)<0,%(五)单调递减，当x(l,+8)时，/(x)>0,MX)单调递增，所以6(x)min=一6，故b-e,所以实数b的取值范围-e,÷).【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y=与y=g()仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在X£(-1,内)，使得MX)力，即b<r)mE2.12021全国高考真题】己知函数/(X)=(X-1)，一G2+6.(1)讨论/S)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(X)有一个零点1 /®<a,b>2a;2 2®0<a<-,b2a.2【答案】答案见解析；(2)证明见解析.【分析】首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；由题意结合中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【详解】由函数的解析式可得：fx)=x(ex-2a)t当a0时，若x(-8,0),则尸(x)vj(x)单调递减，若x(0,÷),则/'(x)>0J(%)单调递增；当O<<g时，若x(-,ln(2),则/'(x)>0J(x)单调递增，若x(ln(24),),则尸(X)VOj单调递减,若(0,+),则/(x)>0J(力单调递增;当=g时，/(x)N0"(x)在R上单调递增；当>g时，若x(yo,0),则尸(x)>0J(x)单调递增，若x(0,ln(攵)，则尸(x)<0,(同单调递减，若x(ln(2),+),则/'(x)>0J(x)单调递增；(2)若选择条件:Ie/由于5<q,5,故lv2,则/?>勿1,/(0)=一1>0,而/(-)=-h)e-b-ah2-h<O,而函数在区间(YQ,0)上单调递增，故函数在区间(-8,0)上有一个零点./(in(2«)=2«in(2tz)-1-in(2tz)+/?>24ln(2)-l-4ln(2)+2a=2ln(2)-aln(2)=ln(2)2-ln(2),由于匕，lv2,故Mn(2)2-ln(2)0,结合函数的单调性可知函数在区间(0,+8)上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件：由于O<vg,故24<l,则/()=b-l21<0,当Z>0时，e2>4,4fl<2,f(2)=e2-4a+h>0,而函数在区间(0,+8)上单调递增，故函数在区间(0,+8)上有一个零点.当bv时，构造函数H(X)=eA-X1,贝J(X)=，-1,当x(-,0)时，H'(x)<0,H(x)单调递减，当X£(0,+8)时，”'(x)>0,"(x)单调递增，注意到H(O)=0,故"(x)0恒成立，从而有：x+l,此时:fx)=x-)ex-ax1-fe(x-l)(x+l)-ox2+b=(l-6f)x2+(-l),(1-)x2+(-1)>0,当居时，取Xo=J+1，则/(与)>0，即：/(o)-÷1>0,而函数在区间(O,+8)上单调递增，故函数在区间(O,+8)上有一个零点.f(in(2t)=2ain(2d)ain(2)J'+b2ln(20)-l-ln(2叫+2a=21n(2A)-6rln(26z)=ln(24)2一ln(2),由于O<<g,0<24<l,故ln(2)2-ln(2q)<0,结合函数的单调性可知函数在区间(-oo,0)上没有零点.综上可得，题中的结论成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.3-9r3.12021北京高考真题】己知函数/(x)=F.(I)若=0,求y=(%)在(I1(l)处切线方程；(2)若函数/(x)在X=T处取得极值，求/(x)的单调区间，以及最大值和最小值.【答案】(1)4x+y-5=0;(2)函数/(x)的增区间为(-8,-1)、(4,丘)，单调递减区间为(1,4),最大值为1,最小值为-w【分析】(1)求出/(1)、/'(1)的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；(2)由r(-)=o可求得实数。的值，然后利用导数分析函数/(%)的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】(1)当=0时，=则=1,r(l)=T,XX此时，曲线y=()在点(1,7(1)处的切线方程为yT=-4(-1),即4x+y-5=0；,、-2(x2+a-2x(3-2x)2(x2-3x-a因为“同一，则/(同一/，2一/22，X+Cl(x2÷)x2+a)z、2(4tz)由题意可得/(1)=/=。，解得0=4,(。+1)故/()=J，/(X)=)，列表如下：X÷4(x+4)X(FT)-1(T4)4(÷4)广+OO+增极大值减极小值增所以，函数f(x)的增区间为(YO,1)、(4,+00),单调递减区间为(一1,4).33当x<5时，/(x)>0;当A：时，/(x)<0.所以，X1.X=/(T)=1，1.=(4)=4.12021全国高考真题】已知函数/(x)=x(l-Inx).(1)讨论“力的单调性：(2)设。，为两个不相等的正数，且力Ina-Hnb=-b,证明：2<-+-<e.ab【答案】(I)/()的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+8)；(2)证明见解析.【分析】(1)求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；(2)设工二苔'=，原不等式等价于2(玉+W<e,前者可构建新函数，利用极值点ab偏移可证，后者可设Z=/，从而把E+W<e转化为（，T）In（T+l）-flnz<O在（l,+）上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为（0,+8）,又F（X）=I-In五一I=-InX,当X£（0,1）时，z（x）>0,当x（l,+8）时，z（x）<0,Ina+1InZ?+1故/（X）的递增区间为（0），递减区间为（1,+8）.(2)因为引n-4ln力=a-Z?,故Z?(Ina+1)="(lnh+l),即设一=%，7=工2，由（1）可知不妨设0<%<1,%2>1.因为x(0,l)时，/(x)=x(l-lnx)>0,X£(e,+oo)时，/(x)=x(l-lnx)<0,故1<Z<e.先证：x+X2>2,若x22,xl+X2>2必成立.若毛<2,要证：xl+X2>2,即证>2-12，而0<2-工2<1,故即证/()>(2-w),即证：/()>(2-2),其中1v2v2.设g(x)=f(x)一/(2一元)，1<%<2,则g'(v)=/'(x)+'(2-X)=-InX一ln(2x)=-lnx(2-x),因为l<x<2,故0<无(2-x)<l,故一InX(2-x)>0,所以g'(x)>O,故g(x)在(1,2)为增函数，所以g(x)>g(l)=O,故/(x)>(2一%)，即/()>f(2-W)成立，所以玉+/>2成立，综上，玉+%>2成立.设=历，贝h>1,马可得：x1(1-In)=2(I-Inx2),人Ina+1nh+结合=ab11r,1.l.Z-I-HnZ即：l-lnx,=r(l-1n-lnx1),故Inxi=,t要证：xl+x2<e,即证(r+l)<e,即证ln(f+l)+ln芭Vl,即证：ln(f+l)11<1,即证：(，l)ln(r+1)Hn/<0,令S(r)=(f-I)In+ZlnZJ>1,则SYr)=ln(r+1)+-l-lnr=In1+-|,/+1It)/+1先证明一个不等式：In(X+l)x.设“(X)=In(X+l)-x,贝J(x)=-!-j1=,当一IVXVo时，(x)>0;当x0时，(x)<0,故“(X)在(To)上为增函数，在(0,+8)上为减函数，11(x)re=w(0)=0,故In(X+l)x成立由上述不等式可得当f>l时，+故S'()<0恒成立，故S(f)在(1,+8)上为减函数，故S(f)<S(l)=O,故(，-I)InQ+l)-Hnr<O成立，即玉+%Ve成立.综上所述，2<-+-<e.ab【点睛】方法点晴：极值点偏移问题，一般利用通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转
