专题22 双变量含参不等式证明方法之消参减元法（解析版).docx

专题22双变量含参不等式证明方法之消参减元法【例题选讲】例11已知函数兀t)="2-X层.若加)的图象在点(1,川)处的切线与直线y=2x+l平行，求危)的图象在点(1,川)处的切线方程;(2)若函数应¥)在定义域内有两个极值点即，42,求证：-Vi)+)<21112-3.解析(l):y(x)=r2-xIn；=OX2-x+lnx,x(0,÷),f(x)=2ax1÷,.k=f()=2a.I段)的图象在点(1,/U)处的切线与直线y=2x+l平行，.2=2,即=1.JU)=O,故切点坐标为(Io).切线方程为y=2r-2.,120x2-x÷1(2) ,f(x)=2a-1÷=,O<a<.O；由题意知方程20r2-x+l=O在(0,+上有两个不等实根x”J=I-8a>0,Xl+©=工>0,XIX2=五>0,(x)÷(x2)=rf÷-(x÷x2)÷lnx÷lnX2="(R+(x1÷x2)÷In(XIX2)=a(x+及)2-2TIX2S+x2)+ln(xi2)=ln-1,令r=古，g(f)=l11Tf则f三(4,+8),(O=7-=<O."在(4,+8)上单调递减.g(0<ln4-3=21n2-3,即加r)+(2)V21n23.例2(2018全国I)已知函数,")=:一x+Hnx.讨论AX)的单调性；(2)若兀O存在两个极值点即，也，证明：於匚Zfe)Va_2.入142解析(19V)的定义域为(O,+),/W=-2-1+=詈U.3)若好2,则/(x)0,当且仅当a=2,X=I时/(x)=0,所以於:)在(O,+s)上单调递减.(ii)A>2,令/(x)=0得,a-a2-4+d°2-4X=2或X=2当X40,Wm)U0三，+)时，小)<。；当如曰三，生哗习时，>o.所以兀V)在(0,睡三)，g±*三，+j上单调递减，在1.F,哼可上单调递增.(2)由(1)知，风r)存在两个极值点时，当且仅当>2.由于AX)的两个极值点M，X2满足X20r+l=0,所以XlX2=,不妨设X1<r2,则M>l.,j(xi)-2)11,Inx-nx2由=7-1+aXX2XlX2XX2C.lnx-lnx22÷tzXl-X22+不吧X2X2所以Ks_4")<q2等价于,一也+2Injq<O.X-XlX2设函数gCr)=：x+21nx,由(1)知，g(x)在(0,+a)上单调递减，又g(l)=0,从而当Xe(1,+8)时，g(x)v.所以JX2+21n%2<0,艮修二va2.X2XjX2例3已知函数/(x)=dj+lnx.(1)若函数y在(e,+8)内有极值，求实数。的取值范围；(2)在(1)的条件下，对任意，£(1,÷),5(0,1),求证：刖一/(三)>e+2-解析(1)由定义域为(0,i)u,+),r=7-7-2Xt112+1»人(人1J1)设力(X)=f(+2)x+1,要使y=7(x)在(e,+«>)上有极值，则X2(+2)x+l=0有两个不同的实根Xi,2,zJ=(÷2)2-4>0,.>0或4,且至少有一根在区间(e,+)±,又,孙及=1,，只有一根在区间(e,+)±,不妨设12>e,*0<x<j<e<X2,又A(O)=I,，只需<0,即4一(。+2)；+1<0,；a>e+；-2,VfcvCeC联立可得>e+!-2.即实数4的取值范围是(e+5-2,+).(2)由(1)知，当x(l,M)时，/(x)v,<x)单调递减，当x(x2,+s)时，/(x)>0,段)单调递增，加)在(1,+8)上有最小值/2),即ME(1,+),都有犬，闫3),又当K£(0,即)时，/(x)>0,«r)单调递增，当XW(Xl,1)时，/(x)<0,TW单调递减，U)在(0,1)上有最大值加I),即对Vs(O,1),都有"s)qx),又."+x2=2+,XlX2=l,XlE(0,及仁仁，÷),W一心闫S)-Xl)=Inx2+-j-Inx7=ln÷2-2>e),X211XlX2IXll121191设KI)=InX2+-q=21nx+-JvX),则Va)=嚏+1+7>O(4>e),，依0在(e,+s)上单调递增,.(x)>A(e)=2+e3,财As)>e+2.例4己知函数/(x)=3+1)InX+x2+1.(1)讨论«r)的单调性；(2)若-2,证明：对任意加，X2(O,÷oo),A)2)4xX2I.思维引导(2)所证不等式)-te)斗氏一刈含绝对值，所以考虑能否去掉绝对值，由(1)问可知兀0单调递减，故只需知道X,12的大小即可，观察所证不等式为轮换对称式，且X,K2任取，进而可定序为2,所证不等式/2)-)4xl4%2,即/2)+4x23)+4xi,发现不等式两侧为关于Xl,及的同构式，故可以将同构式构造一个函数，从而证明新函数的单调性即可.a-j.“，乙4”I上、J,a+1I2av2+l(2x2+l)+l解析(IV(X)的定乂域为(O,+oo),=-+2r=FJ-.当白0时，八外0,故兀0在(0,+oo)上单调递增.当-l时，W<0,故Ar)在(0,+8)上单调递减.当一IVaVo时，令/(x)=0,解得1.=I一吟1.因为了(X)在(0,+8)上单调递减,所以当x(,J-W)时,>0*在(0,一唉)上单调递增;当XWW-噂,+)时，/(x)V0,人处在卜一耳+j上单调递减.(2)不妨假设XT2,由于把一2,故在(0,+8)上单调递减.所以l(xi)一m)4X1-X2等价于J(x2)-J(x)4x4X2，即贝刈)+4X2/Xl)+4x.令g(x)=y(x)+4x,m1aI1则g(x)=2a+4x+l卜2+4=÷).1.单调递减，故g(Xl)g(X2),_PJ-4x2÷4-1-2-1)2,_,于是g'(x)-0.从而g(x)在(0,即於2)+4X2孝(XI)+4即，故当好一2时，对任意Xi,X2e(0,÷),Wl)-2)>4XX2.总结提升同构式以看作是将不同的变量放入了同一个表达式，从而可将这个表达式视为一个函数，表达式的大小与变量大小之间的关系靠函数的单调性进行联结.将不等式转化为函数单调性的问题.最后根据函数的单调性证明不等式.双变量的同构式在不等式中并不常遇到，且遇且珍惜.【对点训练】1.已知函数y()=2-x+lnx(a>0).若=l,求兀0的图象在(1,U)处的切线方程;讨论7U)的单调性；321n2(3)若贝X)存在两个极值点X,及，求证：人内)+於2)>-F1 .解析(l)=l时，x)=2.x2-x+lnx,/(x)=-1+p/(1)=1,川)=一(x)的图象在(1,7U)处的切线方程为y-(3=x1,即2x2y3=0.(2)f(x)=-1+j='_：+%>0).若,则fx+O恒成立，/(x)0,J(X)在(O,+8)上单调递增.若由fx+)得。4<匕参9或Q比尹；由-+o<0得1.尸4<l±.”)在RW巨，1±*三可上单调递减，在(0,匕亨可和"产，+J上单调递增.综上，当时，兀r)在(0,+刃)上单调递增；当(X舄时，加)在R三MW三)上单调递减，在(0,上二用豆)和"用逅，+J上单调递增.(3)由(2)知0<<(时，<处存在两个极值点Xi,Xii且M,M是方程f工+。=0的两个根，x÷x2=1>xM=0.fi,x)÷2)=2xf-+HnXi+某一x2+ln,V2=2(xi÷X2)2-X2-(x+x2)+Hn(XI=2a1+Hna=anaa.令g(x)=xlnX-X一关0<¥<；),则g，(x)=lna<0.,/i1M、e*4rn32i112l3-2in2ga)在0,或上单调递减，.g)>g(w尸一4.如)+.”2)>4.2 .已知函数/a)=；-2x+lnx,其中>0.(1)讨论/(幻的单调性；(2)若/(%)有两个极值点*,x2,证明：-3<)+(2)<-2.3 .解析(1)由题得r(X)=X-2+J=2"+",其中>0,XX考察g(x)=f-2x+,x>0,其中对称轴为X=1,=4-4.若则A0,此时g(x)O,则/(x)>0,所以/O)在(0,+8)上单调递增；若0<vl,则/>0,此时f-2+=o在R上有两个根X=I-FZ,2=1+FZ,且0<%<1Z，所以当Xe(OT)时，g3>0,则r(X)>0,/O)单调递增；当xw(不,巧)时,g(x)<O,则f'(x)<O,f(x)单调递减；当Xe(X2,+8)时，g(x)>O,则/(X)>0,/(%)单调递增，综上，当时，/(x)在(0,+8)上单调递增；当0v<l时，/Cr)在(0,1-J匚G)上单调递增，在(I-JnI+三7)上单调递减，在(1+J匚£,+8)上单调递增.(2)由(1)知，当OVaVI时，/(X)有两个极值点X,JC2,且X+2=2,xx2=a,所以/(x1)+(x2)=-vz+aln+g4-29+nx2=g(H+)-2(x1+x2)+a(lnx1+Inx2)g(x+x2)2-2x1x2+)+6zln(x1xi)=-(22-2aj-4+ana=ana-a-2.令(X)=XInX-x-2,Ovxvl,则只需证明一3vz(x)<-2,由于Ya)=InXV0,故(%)在(0,1)上单调递减，所以Kr)>M)=-3.又当OVXVl时，lnx-l<-l,x(ln-l)<0,故(X)=XInX-x-2=MlnX-1)-2<-2,所以，对任意的°vxvl,-3<i(x)<-2综上，可得一3</(占)+/。2)一2.3.已知函数f(x)=(2-a)/,qr.(1)若在区间(1,2)上存在不相等的实数?，使=/()成立，求。的取值范围；(2)若函数/(x)有两个不同的极值点%,王，求证：)(w)<4e-2.3.解析依题意即求使函数)="(x2-a)在(1,2)上不为单调函数的4的取值范围，而/'(H=*/+2x-),设g(x)=1+2犬-，则g=3-,g(2)=8-,因为g(x)在(1,2)上为增函数.当卜,)=3-<0,即当3v<8时，函数g(x)在(1,2)上有且只有一个零点，设为内,g(2)=8->0当Xe(I,瓦)时,g()<O,即r(x)<0,/(x)为减函数；当XeaO,2)时，g(x)>0,即/(力>0,”力为增函数，满足在(1,2)上不为单调函数.当3时,g0,