专题7.5 正态分布【原卷版】.docx

考点01正态密度曲线由数<一/J知灰概要/I1识点V随机变量X的概率分布密度函数(1.)21hAX)=褊寸，xe”其中"eR,Ao为参数Il知识点二正态曲线及其性质1.正态曲线：(-)21 22函数%,Kx)=司京e,x(-8,÷),其中实数4,(o>0)为参数，我们称外,Kx)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.2 .正态曲线的性质：曲线是单峰的，它关于直线立区对称；曲线在X=处到达峰值勿落；当国无限增大时，曲线无限接近X轴.3 曲线与X轴之间的面积为1；当)一定时，曲线的位置由确定，曲线随着"的变化而沿X轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定,。越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散;。越小.曲线越“瘦高”.总体分布越集中，如图乙所示：知识点三正态分布1¾h1.定义：若随机变量X的概率分布密度函数为TW=京e,xR,其中"R,。>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X¾u,)，"=0,=l时，称之为标准正态分布.2.3。原则P(一。<X<4+o)s5=s0.6827；Pa2oWXW"+2o)-0.9545；PQl3oWXWju+3。户0.9973.3.正态分布的均值与方差若XN（,M）,则E（X）=，D（X）=2.<；考点精折，考点01正态密度曲线函数【典例01（22-23高二下江苏课后作业）已知正态分布密度函数/（力二（）A.0和4B.0和2C.0和8D.02【典例02（22-23高二下湖北武汉期末）设随机变量XN（0,l）,则X的密度函数为（）A-zw=e41(I)?B.小)=而e2考点02正态曲线【典例03（22-23高二下江苏课后作业）（其中<0）的图象可能为1"V函数/(x)=-2,211【典例04(17-18高三北京强基计划),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是()OA.P(Y1)>P(Y)W勺正态分布密度曲线X的正态分布密度曲线B.P(X2)P(X1)C.对任意正数，P(Xt)P(Yt)D.对任意正数，P(Xr)P(yO【规律方法】求正态曲线的两个方法(1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值"，纵坐标为此;(2)待定系数法：求出4,。便可.考点03正态曲线的性质及应用(典例051(22-23高二下陕西宝鸡期末)已知三个正态分布密度函数fi()=1(K-M)2(XeR,i=l,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是()斗y=f()y=f2()B.从<2=外，l=2<3C. x<2=y,i=2>yD. /1=2>y1=2<3【典例06(23-24高二下河北保定期中)下列说法正确的是()A.若随机变量XN(12,),y=3X+l,则E(y)=36B.若随机变量XN(0,l)j(x)=P(Xx),其中x>O,则P(Xx)=l-2(x)C.若随机变量XN(5q2),则。越小，P(4.5vX<5.5)越大D.若随机变量XNR,。)，且P(X>6)=0.4,则P(2vX<2)=0.2【总结提升】利用正态曲线解题的关键是，利用对称性把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用.考点04标准正态分布的应用【典例071【多选题】(2024江苏宿迁一模)设随机变量XN(O,1),/(x)=P(X:),其中>O,下列说法正确的是()A.变量X的方差为1,均值为0B.P(Xx)=l-2(x)C.函数/(x)在(0,+8)上是单调增函数D.f(-x)=l-f(x)【典例081【多选题】(23-24高三上山东日照期末)数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布8(,p),那么当比较大时，X近似服从正态分布N%q2),其密度函数为。()=言eF,xw任意正态分布XN(q2),可通过变换Z=三幺转化为标准正态分布ZN(0,1).当ZN(U)时，对任意实数”,记(X)=P(Z幻，则()A.(x)+(-x)=B.当x>0时，P(-xZ<x)=2(x)-lC.随机变量XNM蜡,当减小，。增大时，概率P(X-"<b)保持不变D.随机变量XN(,2),当Q都增大时，概率P(IX-”Vb)增大考点05区间上的概率计算【典例09(22-23高二全国课堂例题)某批待出口的水果罐头，每罐净重X(单位：g)服从正态分布7V(184,2.52),求：(参考数据：ZN(0,l),P(Z0.2)0.5793,P(Z2)0.9772)随机抽取1罐，其净重超过184.5g的概率；随机抽取1罐，其净重在179g与189g之间的概率.【典例10(22-23高二全国课堂例题)假设某个地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170(单位:cm,下同)，标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：不高于170的概率；在区间160,180内的概率；不高于180的概率.【规律方法】正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线对称性和曲线与X轴之间面积为1.熟记尸(一。0+。)，尸(一2。Cr"+2),尸(一3。启+3。)的值.(3)注意概率值的求解转化：0(/a)=I-P(Qa);尸(/-a)=POu+a)；,r,I1-P(h<X<÷h)若伙:，则P(XV3=上一"2t特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称.考点06正态分布的期望、方差问题【典例11】【多选题】(2023山东泰安二模)随机变量XN(4q2)且P(X<2)=0.5,随机变量y8(3,),若E(Y)=E(X),则()A.=2B.D(X)=22C.P=XD.O(3Y)=2【典例12X2023下,江苏苏州高三统考开学考试)如图，若一个随机变量X服从某正态分布XNJ。?)，且已知函数/(X)=T=e1.的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望211E(X)=，方差O(X)=考点07正态分布中求参数问题【典例13(23-24高三下江西鹰潭阶段练习)己知XN(4q2),若>(<o)=>(2),则=.【典例14】(2024上海青浦二模)设随机变量服从正态分布M2,1),若P(J<-3)=尸e>l-2),则实数=.考点083。原则【典例15(2024广东佛山二模)统计学中通常认为服从于正态分布N(,/)的随机变量X只取-3cr,+3b中的值，简称为3。原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布N(400q2)(单位：g),某天生产线上的检测员随机抽取了一包食盐，称得其质量大于415g,他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得出，。的最大值是.【典例16(23-24高二下福建福州期中)为评估设备M生产某种零件的性能，从设备"生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值=65,标准差。=2.2,以频率值作为概率的估计值.为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X,并根据以下不等式进行评判(尸表示相应事件的频率)；P(-X÷)0.6827;0P(-2X+2)O.9545;(3)P(-3X+3)0.9973.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级.将直径小于或等于-2或直径大于+2的零件认为是次品.从设备M的生产流水线上随意抽取2个零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；从样本中随意抽取2个零件，计算其中次品个数Z的分布列.（答案用分数表示，要画表格）考点09正态分布的实际应用【典例17（2024江西南昌二模）一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值X（单位:C）服从正态分布N（100OK?）.生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这两只电阻的阻值在区间（995,1000和（1005,1010内各一只的概率；（精确到0.001）根据统计学的知识，从服从正态分布N%q2）的总体中抽取容量为的样本，则这个样本的平均数服从正态分布N"S某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分别为：1000,1007,1012,1013,1013（单位：Q）.你认为这时生产线生产正常吗？说明理由.（参考数据：若XN（m02）,则P（-<X+y）0.6826,P（-2<X+2）0.9544,P（-3<Xjw+3）0.9974.）【典例18（23-24高三下山东开学考试）某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了100O位居民.联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且XN（45,225）.请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%,摸到二等奖的概率为60%,每个人摸奖相互独立，设恰好有（0"20）个人摸到一等奖的概率为尸（），求当Pe）取得最大值时的值.附：若XN（4，/），则PX-4l<b=06827,RlX-4<2c=0.9545.【规律方法】解决正态分布问题有三个关键点：（1）对称轴X=B;（2）标准差。；（3）分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由U,。，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3。特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.考点10概率分布的综合问题【典例19（23-24高二下河北邯郸期中）某工厂引进新的生产设备M,为对其进行评估，从设备“生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径mm5859616263646566676869707173合计件数