专题7.5 正态分布【解析版】.docx

考点01正态密度曲线由数<一/J知灰概要/I1识点V随机变量X的概率分布密度函数(1.)21hAX)=褊寸，xe”其中"eR,Ao为参数Il知识点二正态曲线及其性质1.正态曲线：(-)21 22函数%,Kx)=司京e,x(-8,÷),其中实数4,(o>0)为参数，我们称外,Kx)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.2 .正态曲线的性质：曲线是单峰的，它关于直线立区对称；曲线在X=处到达峰值勿落；当国无限增大时，曲线无限接近X轴.3 曲线与X轴之间的面积为1；当)一定时，曲线的位置由确定，曲线随着"的变化而沿X轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定,。越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散;。越小.曲线越“瘦高”.总体分布越集中，如图乙所示：知识点三正态分布1¾h1.定义：若随机变量X的概率分布密度函数为TW=京e,xR,其中"R,。>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X¾u,)，"=0,=l时，称之为标准正态分布.2.3。原则P(一。<X<4+o)s5=s0.6827；Pa2oWXW"+2o)-0.9545；PQl3oWXWju+3。户0.9973.3.正态分布的均值与方差若XN(,M),则E(X)=，D(X)=2.<；考点精折，考点01正态密度曲线函数【典例01(22-23高二下江苏课后作业)已知正态分布密度函数/(力二()D.02A. 0和4B.0和2C.0和8【答案】B【分析】化为正态密度函数的定义形式,1(X-O)2【详解】f(x)=-=e8=e2<2：>')屈27×2.4=0,=2,故选：B.【典例02(22-23高二下湖北武汉期末)设随机变量XN(0,l),则X的密度函数为().11-I）?azw=27e-b1,£1C"力"2dx211e2【答案】A【分析】根据正态分布的定义"J求得=0,。=1,从而可求X的密度函数.【详解】因为XN（O,1）,所以=OQ2=,即=,所以X的密度函数为A.故选：A考点02正态曲线1（X-W【典例03（22-23高二下江苏课后作业）函数/（"=占_一百供中211A.j、BJXX【答案】A【分析】函数/（%）图象的对称轴为直线X=",由Vo判断各选项.【详解】函数/（x）图象的对称轴为直线X=",因为4（），所以排除B,D；又正态曲线位于X轴上方，因此排除C,所以AIE确.故选：A.【典例04（171.8高三北京强基计划）设XN（,H）,YN他）,（）的图象可能为（）这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）C.对任意正数，P(X<t)>P(Yt)【典例05(22-23高二下陕西宝鸡期末)已知三个正态分布密度函数f,(x)=(x-)21er而6(xR,i=l,2,3)B.P(X2)P(X.)D.对任意正数，P(Xt)P(Yt)【答案】C【分析】由正态密度曲线的性心吉台图像可得必<外，0<5<%可判断AB,由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可判断CD.【详解】A选项：yN(%a)的密度曲线分别关于X=必、x=2对称，因此结合所给图像可得自<外，所以p(y22)p(y2“)，故A错误;B选项：又XNaH)的密度曲线较YNW后)的密度曲线"瘦高”,所以0<5<，所以P(XW)>P(XW5),故B错误；CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知:对任意正数f,P(Xt)P(Yt).P(X)<P(Y)故C正确，D错误.故选：C.【规律方法】求正态曲线的两个方法(1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值/，纵坐标为志.(2)待定系数法：求出，。便可.考点03正态曲线的性质及应用的图象如图所示，则下列结论正确的是()A.M=2>以3，B. A1<A2=A3,1=2<3C.4<42=3，=2>yD.H=M>%,1=2<3【答案】B【分析】结合正态分布密度函数中参数表小其均值大小，。表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论.【详解】根据正态分布密度函数中参数，。的意义，结合图象可知人(工)，A(X)对称轴位置相同，所以可得外=必；且都在工U)的右侧，即从<2=3，比较工(X)和力(力图像可得，其形状相同，即9二/,又f3(X)的离散程度比工(力和人(力大，所以可得5=%V/；故选：B【典例06(23-24高二下河北保定期中)下列说法正确的是()A.若随机变量XN(12，/),y=3X+l,则E*)=36B.若随机变量XN(0,l)j(x)=P(Xx),其中>0,则P(IXlx)=J2(x)C.若随机变量XN(5,)，则越小，P(45<X<5.5)越大D.若随机变量XNQ,吟,且P(X>6)=0.4,则P(2vX<2)=0.2【答案】C【分析】对于A,由均值的性质即可判断；对于BD,由正态分布曲线的对称性即可判断；对于C,。越小,X的概率曲线在对称轴X=5处的集中程度越大，由此即可判断.【详解】因为y=3X+l,则E(y)=3E(X)+l=37,故A错误：P(Xx)=P(-xXx)=l-2l-(x)=2(x)-l,故B错误;因为XN(5q2),所以。越小，X的概率曲线越集中于对称轴X=5处，P(4,5<X<5.5)=P(5-0.5<X<5+0.5),所以P(4.5<X<5.5)越大，故C正确；根据正态分布的对称性可知-2<X<2)=l-P(X>6)=0.1,故D错误.2故选：C.【总结提升】利用正态曲线解题的关键是，利用对称性把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用.考点04标准正态分布的应用【典例071【多选题】(2024江苏宿迁一模)设随机变量XN(O,1),"x)=P(Xx),其中x>O,下列说法正确的是()A.变量X的方差为1,均值为OB.P(Xx)=l-2(x)C.函数f(x)在(0,+8)上是单调增函数D./(-x)=l-(x)【答案】ACD【分析】由正态分布的表示可判断A；山正态曲线及/(x)=P(Xx)可判断B,根据正态曲线的性质可判断C,根据正态曲线的对称性可判断D.【详解】随机变量XN(0,l)=b2=l,"=0,则AiE确；P(Xx)=P(-xXx)=l-2l-(x)=2(x)-l,则B错误；随机变量XN(O,1),结合正态曲线易得函数/(x)在(0,+8)上是单调增函数，则C正确；正态分布的曲线关于X=O对称，/(-x)=P(X-x)=P(Xx)=l-(x),则D正确,故选：ACD.【典例08】【多选题】(23-24高三上山东日照期末)数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布Bgp),那么当比较大时，X近似服从正态分布Njd),其密度函数为3=71.-eF,xR.任意正态分布XN("bi),可通过变换Z=与幺转化为标准正态分布ZN(U).当ZN(U)时，对任意实数”，记(X)=P(ZVX),则()A.(x)+(-x)=B.当x>0时，P(-xZ<x)=2(x)-lC.随机变量XN5,/),当减小，。增大时，概率P(IX保持不变D.随机变量XNM吟,当。都增大时，概率P(IX增大【答案】BC【分析】根据6(X)=P(Z<幻结合正态曲线的对称性，可判断A;由定义即可判断B;根据正态分布的3b准则可判断QD.【详解】对于A,根据正态曲线的对称性可得：(-x)=P(Z<-x)=P(Zx)=l-P(Z<x)=l-(x),即(x)+(-x)=1,故A不正确：对于B,当x>O时，P(-xZ<x)=l-P(Z-x)-P(Zx)=l-2P(Zx)=l-2l-P(Z<x)=2(x)-l,故B正确；对于C,D,根据正态分布的3b准则，在正态分布中。代表标准差，代表均值，X="即为图象的对称轴，根据3b原则可知X数值分布在(-G4+b)的概率是常数，故由尸(X-"<b)=P(一b<X<b+M可知，C正确,D错误,故选：BC考点05区间上的概率计算【典例09(2223高二全国课堂例题)某批待出口的水果罐头，每罐净重X(单位：g)服从正态分布7V(184,2.52),求：(参考数据：ZN(O,1),P(Z0.2)0.579P(Z2)0.9772)随机抽取1罐，其净重超过184.5g的概率；随机抽取1罐，其净重在179g与189g之间的概率.【答案】0.4207：(2)0.9544.【分析】(1)(2)将正态分布转化为标准正态分布形式，结合正态分布的对称性求概率即可.【详解】(1)P(x>184.5)=P；X-1842.5184.5-18415J=P(Z>O.2)=1-P(Z0.2)=1-0.5793=0.4207.故随机抽取1罐，其净重超过184.5g的概率是0.4207,P(79<X189)<3qf=pe2<Z2)1252.52.5j=P(Z2)-P(Z-2)=P(Z2)-P(Z2)=P(Z2)-1-P(Z2)=2P(Z2)-1=2×0.9772-1=0.9544.故随机抽取1罐，其净重在119g与189g之间的概率为0.9544.【典例10(22-23高二全国课堂例题)假设某个地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为00(单位:cm,下同)，标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高：不高于170的概率；在区间160,180内的概率；不高于180的概率.【答案】(1)50%68.3%84.15%【分析】利用正态分布将指定区间上的概率转化为特殊区间上的概率求解.【详解】(1)设该学生的身高为X,由题意可知XN(17O,K)2)易知尸(X170)=50%.(2)因为均值为170,标准差为10,而160=17010,180=170+10,所以P(160X180)=P(X-170110)68.3%.(3)由概率的加法公式可知P(X180)=P(X<170)+P(170X180).又由(2)以及正态曲线的对称性可知P(170X180)=-P(l60X180)-×68.3%=34.15%，22因此P(