大学科目《线性代数》复习要点.docx
线性代数知识点总结第一章行列式1 .N阶行歹!式：行列式中所有不同行、不同列的个元素的乘积的和1%1.=Z（-1严MgSjJ2jt,2 .行列式的性质：行列式与它的转置行列式相等对换行列式的两行（列），行列式变号行列式两行（列）完全相同，此行列式等于零行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数h等于用数2乘此行列式 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零 行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则它等于两个行列式之和 把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去,行列式不变3 .行列式按行（列）展开行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和X4由行列式的定义，F（X）=31X133x2-1,中V的系数为2%151X33.设D=T2.求行列式“-113O1-53D的（/,J）元的代数余子式记作人,求A2I+34,-2A,3+2A,40第二章矩阵及其运算1 .矩阵的运算加法，数乘，相乘，转置(")'=A6+=+(AB)r=B,Aryf方阵的行列式(IzIAl=A;IABl=IAll8|.)2 .特殊矩阵对称矩阵(A，=A)伴随矩阵(A4*=4*A=|AIE)正交矩阵(AA=Azf=E)相似矩阵(尸一么P=8)合同矩阵(P'AP=B)3 .矩阵可逆的充要条件 A() AB=E(BA=E)A-E存在有限个初等矩阵匕鸟,匕,使得A=<V/A的特征值全是非零的4 .逆矩阵的计算二;A3=E;(A,E)(瓦A-1).IAl逆矩阵满足的运算规律：(A½-1=(2A)-1=1=B,A-,i(Ar,=(A,)r;IA'=-IAl如果O（八）=%E+4A+altlAm,A=PNP)则（八）=P奴A)PT。5 .分块矩阵的运算规律6 .克拉默法则7 .设A是3阶矩阵，A=g,则|34-4Aq=OO、8 .已知A=Ocos-sin,则AT=OSineCOSe9 .设工=£且A-E可逆.求(A+2E)TrI23、10.已知A=032,AX=2X+A,求X.J)0"fa00、Il.设A=1a0.求A”,(3).1第三章矩阵的初等变换与线性方程组1 .行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形矩阵2 .(i)A与B行等价的充要条件是存在可逆矩阵P,使R4=B(ii) 4与B列等价的充要条件是存在可逆矩阵Q,使AQ=5(iii) A与B等价的充要条件是存在可逆矩阵P以及可逆阵。，使PAQ=33.矩阵秩的性质 0R(411Qminm R(Ar)=R（八） A-B9R（八）=R(B)若P、。可逆，则R(PAQ)=R（八）maxR（八）,R(B)R(A,B)R（八）+R(B)R(A+B)R（八）+R(B) R(AB)minR（八）iR(B) =0,R（八）+R(B)“4 .元非齐次线性方程组AXS(i)无解的充要条件是H（八）VR(A/)(ii)有惟一解的充要条件是R（八）=R(Am=(iii)有无限多解的充要条件是H（八）=R(A1)V5 .元齐次线性方程组At=O(i)只有零解的充要条件是R（八）=(ii)有非零解的充要条件是R（八）V6 .矩阵方程AX=3有解的充要条件是R（八）=R(A,B)(2+2)x1+x2+x3=17 .几取何值时，非齐次线性方程组,玉+(2+4)%+马=3x1+x2÷(2+)x3=(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解。rI2-31、8 .设A=232-5.已知A的秩为2,求4和/的值心5-4,9 .设a”出,可(，)是一组维向量，G,4是维单位坐标向量组,满足(。1，62产.，力)=31，。2/一，叫)。.证明矩阵C可逆且向量组，可线性无关。第四章向量组的线性相关性1.向量匕能由向量组A:q,念线性表示的充要条件是矩阵A=(,4，%)的秩等于矩阵3=(4,q,。)的秩。2,向量组长配扇2能由向量组A：4M，线性表示的充要条件是矩阵A=(d1,d2,atn)的秩等于矩阵(AB)=(d1,d2,dm,bvb2,伪)的秩，即R（八）=R(A,8).3 .向量组4:吗,册与向量组Bbvb2,bl等价的充要条件是R（八）=R(B)=R(A,8).4 .设向量组8:4也,伪能由向量组A:q,&,念线性表示，则R(B)H（八）.5 .判断向量组线性相关与线性无关的方法：(i) 定义法：设"2K,求"2K(适合维数低的)(ii) 向量间关系法4：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关(Hi)向量组A:%,4,4”线性相关的充要条件是R(4)vm,线性无关的充要条件是R（八）=m.(iv)向量的个数大于维数，则此向量组线性相关6 .设向量组A:4,小“线性无关，而向量组8：4,&,%,Z?线性相关，则向量必能由向量组A线性表示，且表示式惟一。7 .最大无关组的定义：设有向量组A,如果在A中能选出r个向量4,4,cr,满足(i) 向量组4：44，4线性无关(ii) 向量组A中任意r÷l个向量都线性相关，那么称向量组&是向量组A的一个最大线性无关向量组。等价定义：(i) 向量组为线性无关(ii) 向量组A的任一向量都能由向量组A)线性表示，那么向量组为是向量组的一个最大无关组。8 .矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。9 .齐次线性方程组AX=O解的结构：若E=盘；C?=虞为方程的解，(i) 元=£+虞也是方程的解；(ii) 元=%4也是方程(1)的解(iii) H=KA+M2也是方程的解(iv) 设m矩阵A的秩R（八）=二则元齐次线性方程组的解集S的秩RS=n-r.齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。10 .非齐次线性方程组(2)Ax=b解的结构：若X=Z7pX2=z2为方程的解，贝!1(i) X=72是方程的解(ii) £="是方程(2)的解，是方程(1)的解,则X=J+行是方程(2)的解(iii)凰名是方程的基础解系,是方程的一个特解,则x=1+2+幺4+f是方程的通解。11 .向量空间：非空，对加法和数乘封闭，基、维数、过渡矩阵的概念。'112-22、2_j_3一212 .设矩阵A=一，/一，求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把4-6-106-4、367-83;不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。13 .向量空间V=兀=（中工2，,atw）,x1,x2,xnRf玉=Z=%的维数。第五章相似矩阵及二次型1 .向量的内积内积的定义，性质（非负性、对称性、线性性），向量的长度，两向量正交，正交矩阵的定义。定理1.若维向量4,2，可，是一组两两正交的非零向量，则4,&，线性无关。2 .方阵的特征值与特征向量A是阶方阵，若数/1和维非零列向量工，使Ae二九e成立（A->IE）R=O有非零解），则称义为A的一个特征值，此时，非零解称为A的属于特征值4的特征向量。4+4+=fln+fl22÷+。，4,=a.若/1工0）是A的特征值，则?是AT的特征值，心是A”的特征值，奴团是例A）的特征值。定理2：设4,4,4是方阵A的6个特征向量，P2犷P,依次是与之对应的特征向量，如果4,4,4各不相等，则四,P2,P,线性无关。推论：设4和是方阵A的两个不同特征值，器晟1和7,小,7分别是对应于4和4的线性无关的特征向量，则统虞,£，力,必，7线性无关。3 .相似矩阵A、B是N阶矩阵，若存在可逆矩阵P,满足P-4P=8,则矩阵A与B相似。定理3：若阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与8的特征值亦相同。定理4：阶矩阵4与对角矩阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有个线性无关的特征向量。推论：如果阶矩阵A的个特征值互不相等，则A与对角阵相似。4 .对称矩阵的对角化性质：设4和4是对称矩阵A的两个不同特征值，a，%是对应的特征向量，则A，小正交。定理5：设A是阶对称矩阵，则必有正交矩阵尸，使尸7AP=P/AP=A,其中A是以4的个特征值为对角元的对角矩阵。推论：设A是阶对称矩阵，是A的特征方程的左重根，则矩阵A-4E的秩R(A-E)=n-ky从而对应特征值4恰有k个线性无关的特征向量。5 .二次型及其标准形6 .正定二次型定理8n元二次型f=XrAx为正定的充要条件是：它的标准形的n个系数全为正,即它的规范形的个系数全为1,亦即它的正惯性指数等于。推论对称矩阵A为正定的充要条件是：A的特征值全为正定理9对称矩阵A为正定的充要条件是：A的各阶主子式都为正，A为负定的充要条件是：奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。7 .若A的特征值为1,2,4,求A3-6A2+3A卜.234、8 .设矩阵A=O1O可相似对角化，求y=?Jy"9 .用一个正交变换尢=尸兀将二次型/(x1,x2,x3)=4x12+考+x；-4xlx2+4xix3+Sx2X3化为标准形，并求出正交变换的矩阵.
