大题03 立体几何中的向量方法（解析版）.docx

大题03立体几何中的向量方法1 .以空间几何体为载体考查空间角（以线面角为主）是高考命题的重点，常与空间线面位置关系的证明相结合，热点为空间角的求解，常以解答题的形式进行考查.高考注重利用向量方法解决空间角问题，但也可利用几何法来求解；2.空间距离（特别是点到面的距离）也是高考题中的常见题型，多以解答题的形式出现，难度中等.2 .立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点，主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题，多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题，主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等；2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线面关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般以解答题的形式考查，难度中等偏上.大题典例1直线与平面所成的角（2023北京房山二模）如图，已知直三棱柱ABC-AMG中，AB=AC=I9D为BC中点,AA=2,再从条件，条件这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题:（1）证明：AS11BC15（2）求直线BCi与平面AD所成角的正弦值.条件：iD!BCl.条件：BC=22.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【解】（1）若选择条件:修Q1.BG,连接AD,在直三棱柱ABC-A4G中，CGJ平面ABC,Az）U平面ABC,所以CG_1.4Q.在三角形ABC中，AB=ACf。为8C的中点，所以8C_1.A。，由于BCcCG=C,BC,CGu平面BBGC,所以4）_1.平面88CC,由于8Cu平面88C°,所以AO_1.3G，由于BQ1.BCi,ADCBID=D,A。/。U平面44£>,所以BG，平面ABQ,由于AB】u平面A片。，所以A8J.BG.若选择条件：BC=2屈，连接A。，由于AB=Ae,7）是8C中点，所以AO/8C,根据直三棱柱的性质可知BB1AD,由于5CBBl=B,BC,BBiu平面BCClC,所以AO_1.平面BCGC,由于AC】u平面BCCC,所以AO_1.BC-由于8C=2,所以/?£>=&,tanZBtDB=2,tanZC1BB1二手=应所以NBIDB=NGBBI,则NBQ+yBD4,则由于AOCBQ=。，ARBQu平面ABQ,所以8£_1.平面A8Q,由于A4u平面A片。，所以A4_1.8G.(2)先得到8C:若选，则在RtBBQ中,由8Q_1.8G，得BF=Bo8C,又BO=；BC"所以8q=21.BC=B£=2立若选，则8C=21.在三角形ABC中，AB=AC=2,BC=2y29BC2=AB2+AC2,所以48/AC,根据直三棱柱的性质可知AA±AB,M-1.ACt以点A为原点，分别以AC,AB,AAI为NKz轴建立空间直角坐标系，则B(0,2,0),G(2,0,2),4(0,2,2),A(°，°，2),51.1,O),8(0,2,0),/.1=(0,2,0),AO=(1.1.-2),B=(2,-2,2),nA,B,=2y=0设平面A6Q的法向量为=(,y,Z),则一,nAiD=x+y-2z=0令z=l,得=(2,0,1),设直线Bc与平面AyBlD所成角为,则SiEg(BcM卜耦=总斤半.Z小>»»解注旄导1.如图所示，设/为平面的斜线，=4,为/的方向向量，为平面的法向量，O为/与“所成的角，则SinO=ICOSVcr,n>|=.a'n2.向量法求直线与平面所成角的主要方法是：分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.»>»44变式（2023北京西城二模）如图，在直三棱柱ABe-AqG中，M,N90分别为A8,BC9A4的中点.求证：BP平面CIMN；（2）若AI3±AC,AAi=AB=AC=29求直线BC与平面C1MN所成角的正弦值.【解】（1）连接AM,因为M,N分别为A8,BC的中点，所以MN”AC.在三棱柱ABC-A4G中，ACAiCi,所以/AG,M.MC,A四点共面.因为AWAA14，AB=AiBlfM、P分别为AB、Aq的中点,所以8MM,P,BM=AtP,所以四边形8M4,P为平行四边形.所以3P/MA，因为HPa平面ClMN,MAU平面ClMN,(2)由题设AA，平面ABC,AB,ACu平面ABC,所以1.AB,AAi1AC9因为所以Ab,AC,M两两垂直，如图建立空间直角坐标系A-型,所以(0.0,0),8(2,0,0),C(0,2,0),f(1,0,0),N(l,1,0),B1(2,0,2),C1(0,2,2),UUulIlUUtl则MN=(0,1,0),VC1=(-1,1,2),BlCi=(-2,2,0).tnMN=0Fy=O设平面MNG的法向量为机=*,y,z),则，即/C八，wJVC1=0-x+y+2z=0令户2,则丫=0,Z=I9于是m=(2,0,l),设直线BC与平面CMN所成角为。，故直线BG与平面CiMN所成角的正弦值为萼.>»»后”模拟1.(2023北京模拟)如图，在四棱锥P-ABe。中，PD=24)=4,尸。，平面ABCQ,底面ABCQ为正方形，M9N分别为AO,PQ的中点.求直线相与平面MNC所成角的正弦值.【解】(1)证明：因为M,N分别为AO,P。的中点，所以PA/MN,又因为PAa平面MNC,MNU¥面MNC,所以2V/平面MNC.(2)由题意知，以点O为坐标原点，分别以OA、DC、OP所在直线为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系，如图所示，贝U40,0.4),E(220),M(1.o,0),N(0,0,2),C(0,2,0),所以PH=(2,2,-4),/VC=(0,2,-2),MN=(TO,2),设平面MNC的法向量为"=(x,y,z),2y-2z=0-x+2z=0取z=l,则x=2,y=lf所以=(2,1,1),设直线PB与平面MNC所成角为,PBn2×2+2×1-4×1PBn22+22+M)2×22+l2+l226×66故直线PB与平面MNC所成角的正弦值为g.62(2024安徽省舒城中学一模)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且ZABC=60。，AB=PC=2,PA=PA=0,M是棱尸。上的点，且尸8与平面MAC平行.DC求证：PM=MDx(2)若。为棱PC上的动点，求,以。与平面尸5。所成角的余弦值的最小值.【解】(1)如图，连接AC与SO交于点£,连接ME.因为尸8平面MAC,PBU平面/»30,平面P8。平面MAC=ME.所以ME/PB.又因为四边形48CD为菱形，所以DE=EB.所以PM=MD.(2)如图，取43的中点为。，连接PO,CO.因为PA=PB=垃,AB=2,所以尸01.A8,PO=I,BO=Y.又因为/15C。是菱形，ZABC=60。，所以Co1.AB,Co=B因为PC=2,所以尸C?=PO?+所以Po_1.CO.又因为AAu平面45C。，CoU平面ABeD,ABCO=Ot所以Po上平面4BC2.因为BO1.CO,PO1.BO,PO1.CO,所以以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(OTO),B(OJO),C(3,),D(3,-2,),P(O,O,1),所以M冬一1；,C=(-3,l,),BP=(O-IJ),PC=(G/、nCB=0设平面PHC的一个法向量是i=(%y,z),贝J即WBP=O不妨令x=l,则y=6，Z=币,所以=(1.G,6)设PQ=4PC,0,l,则OQ=OP+PQ=(四,04,MQ=设的。与平面PBC所成角为e,e0个则Sin啊8SMQq”串£入川.当/=；时,sin,的最大值为理'所以cos'的最小值为平.所以与平面PBC所成角的余弦值的最小值为乎.>»»Vq真题(2022北京卷)如图，在三棱柱ABC-ASG中，侧面KCC4为正方形，平面BCGBi平面AB四4,AB=BC=I9M9N分别为人蜴，4C的中点.求证：MN/平面BCCIBll(2)再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面3MN所成角的正弦值.条件：AB1.MNl条件：BM=MN.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【解】(I)取AB的中点为K,连接MKNK,由三棱柱ABC-A4G可得四边形A8MA为平行四边形，而片M=MAl,BK=必，则MKBB,而MKa平面BCC再，BBlU平面BCC国,故MK平面BCCIB,而CN=NA,BK=KA,则NK/BC,同理可得NK平面BCClBi,而NKMK=K,NK,MKU平面MKN,故平面MMV平面BCG4,而MNU平面MKN,故MN平面BCC枢,(2)因为侧面BCG居为正方形，故CBlBB而CBU平面BCaB,平面CBBG_1.平面A叫A,平面C43Gc平面ABgA=34,故C8J_平面因为NK"BC,故NK上平面ABBlAi,因为4?U平面ABBiA,故NK1.AB,若选，则ABJ.MN,而NK1.AB,NKCMN=N,故AB上平面MNK,而MKU平面MNK,故AB工MK,所以AB工BB,而CB1.BBI,CBcAB=B,故34_1_平面ABC,故可建立如所示的空间直角坐标系，则8(0,0,0),A(0,2,0),N(l,l,(),M(0J2),故前=(020),丽=(U,0),由?=(Oj2),设平面BNM的法向量为"=(x,y,Z),则Y从而取z=T'JH/i=(-2,2-1),“BM=0y+2z=0'设直线A8与平面BMW所成的角为。，则sin=cos(,48=若选，因为NK/BC,故NK_1.平面A84A，而KWU平面A网A,故NKIKM,而BM=BK=1,NK=故BM=NK,而BIB=MK=2,MB=MN,故三,MKN,所以BB1M=NMKN=9。,故入乩工叫,而C8"1.B%CBcAB=B,故四"1.平面A8C,故可建立如所示的空间直角坐标系，则8(0,0,0),A(0,2,0),N(IJO),M(0J2),故以=(0,2,0),5N=(1,1,0),BM=(0,1,2),设平面BNM的法向量为"=(x,y,Z),BN=O小BM=0从而+y=0y+2z=0取z=-l则=(-2,2,T),设直线AB与平面BN所成的角为。，则sin=卜OS8A)|=g-大期蕤莉平面与平面的夹角(2023北京海淀三模)如图，在四棱锥P-ABCo中，底面ABCQ是边长为2的正方形，侧面PAO为等腰直角三角形，且/抬。=5，点F为梭PC上的点,平面AD尸与棱/火交于点E.求证：EF/ADi(2)从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCO与