2导数的概念经典例题.docx

经典例题透析类型一：求函数的平均改变率例1、求y=2f+l在/到+x之间的平均改变率，并求XO=1,Ar时平均改变率的值.思路点拨：求函数的平均改变率，要紧扣定义式包=十)一,“°)进行操作.xx解析：当变量从与变到/+x时，函数的平均改变率为/(x0+r)-/(x0)_2(x0+)ArTOA.rO八丫÷1-2x+1十lJixx当XO=1,Ar=1.时，平均改变率的值为：4×l+2×-=5.22总结升华：解答本题的关键是娴熟驾驭平均改变率的概念，只要求出平均改变率的表达式，其他就迎刃而解.举一反三：【变式1】求函数y=52+6在区间2,2+x内的平均改变率。【答案】y=5(2÷x)2+6-(5×22+6)=20x+5x2,所以平均改变率为包=20+5Ax°【变式2已知函数/(幻=/，分别计算/()在下列区间上的平均改变率：(1) 1,3；(2) 1,2；(3) 1,1.1；(4) 1,1.001.【答案】(1)4；(2)3；(3)2.1；(4)2.001.【变式3】自由落体运动的运动方程为s=g,计算t从3s到3.1s,3.01s,3.0OIS各段内的平均速度(位移S的单位为m)。【答案】要求平均速度，就是求竺的值，为此需求出As、nt设在3,3.1内的平均速度为W,则r1=3.1-3=0.1(三),1919As1=5(3.1)-5(3)=-g×32-g×3=O.3O5g(m)。所以/=詈=°：T=305g(m/S)°l-17111520.03005g.a./.、同理=-=3.OO5g(ms)St20.01_0.0030005gy而一O.OO13.()0()5g(ms).【变式4】过曲线y=(x)=上两点P(1.l)和。(1+©+小)作曲线的割线，求出当A=0.1时割线的斜率.【答案】3.31当x=0.1时,d+y)-lAy/(l+r)-(l)(l+x)3-l1.l3-I771(l+x)-lxxx0.1类型二：利用定义求导数例2、用导数的定义，求函数y=/(x)在x=l处的导数。解析：Ay=f(l+x)T(l)=-rJ=T1+1 -+xl-l-x=-=-l+x(1+l-x)l+x-x(1+Jl+)Jl+Ax.包=J(1÷Jl+)Jl+x/=Iim包=。r2总结升华：利用导数的定义求导数的步骤：第一步求函数的增量Ay；其次步求平均改变率电；第三步取极限得导数。举一反三：【变式1】已知函数y=五X(1)求函数在x=4处的导数.(2)求曲线y=1.-五上一点尸(4,-2)处的切线方程。X4【答案】,(4)=Iim"4+AX)""f(4)=lim4+x"+"(WD*=IimArO4+1扑(向石-2)-Arx7Hm4(4+x)j4+x+2ArToX1.(-11)5=Iim1=，2o14(4+x)4+x+2J167(2)由导数的几何意义知，曲线在点P(4,-1.)处的切线斜率为尸(4),4所求切线的斜率为-9。1675，所求切线方程为y+=(x-4),整理得5x+16y+8=0o416【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数：f(x)=c；f(x)=X;(3) f(x)=X2;(4) /(x)=-oX【答案】(1) y=(x+x)-(x)=c-c=0,.y(x÷r)-(x)n-,一V9xx.*.y,=Iim=IimO=O0ArTOArAXTO(2) =(x+x)-/(x)=x+x-x=x,包q=1,xxy,=Iim=Iim1=1。r0AYAtTO(3) y=/(x+x)-f(x)=(x+x)2-X2=2xzkr+(x)2,.y2xx+(x)2=2x+x,xx.*.V'=lim=lim(2x+x)=2xov0AktO/“、AI/A、11X-X-X-x(4) y=(x+)-(x)=-_=-_-x+xX(+x)x(+x)xa!x(x+x)x.y,=Iim=Iim=-ArToAXAD(X+Ax).X尸例3、求曲线y=x3+2x在X=I处的切线方程.思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x'2x在x=l处的导数值，再由导数的几何意义,得所求切线的斜率，将x=l代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.解析：设/(X)=X3+2./=lim川+=Hm(+2(1+词TSxi)ArX-X1. x(x)2+3x+51.r/A2oxGU=Iim=lm(x)+3x+5=5xoArxo由f(l)=3,故切点为(1,3),切线方程为y3=5(-1),即y=5x2.总结升华：求函数y=/(x)图像上点尸(XO,%)处的切线方程的求解步骤：求出导函数在X=XO处的导数/(%)(即过点P的切线的斜率)，用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三，【变式】在曲线y=2上过哪一点的切线：(1)平行于直线y=4-5;(2)垂直于直线2x6y+5=0;(3)与X轴成135。的倾斜角。C、1./(x+x)-(x)1.(x+x)2-X2_答案f(X)=Iim-八=Iim=2x,x°x设所求切点坐标为P(xo,yo),则切线斜率为k=2xo(1)因为切线与直线y=4x5平行，所以2xo=4,x0=2,yo=4,即P(2,4)。139(2)因为切线与直线2x6y+5=0垂直，所以2工0乂§=一1,得XO=-5，y0=>(3)因为切线与X轴成135°的倾斜角，所以其斜率为一1。BP2x0=-1.得/=一；，%=:，即呜例4.已知函数f(x)可导，若/=3,/'(1)=3,求limfdXTlx-1解析飞喑阿答+）（川）=3）!叩d0+i)(令t=xXf1.t-*l)r/(xy=i(2)y=X)-(l)1.,lIim-lm(x+l)xl1.tl=2Hmd世ft-=2,(1)=2×3=6举一反三，【变式】已知函数/(X)可导，若/(3)=2,r(3)=2,求Iim在二叟生Xf3X-3.0、1.2x-3(x)1.(2x-6)+6-3(x)答案Iim=匕江Xf3X-313x-3=Hm2+-r(叫.v3X3=2+3Iim/史x3X3=2-3Iim/-/13X-3=2-3,(3)=2-3×(-2)=8类型三：利用公式及运算法则求导数例5.求下列函数的导数：(3)Vy=Iog2X2-Iog2X=Iog2x,y,=(log2x)'=XIn2总结升华：娴熟驾驭导数基本公式，细致视察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导；不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.举一反三，【变式】求下列函数的导数：(1) y=x-fx；(2) y=-2sin(l-2cos2(3) y=6j-4j+9-6【答案】(2)(1) j,=(xx),=(x),=x2'.y=-2sin(1-2cos2)=2sin-(2cos2-1)=2sin-cos=sinx242422：.y'=cosx.(3)y'=6(),-4(x2)'+9(x),-(6)'=l8x2-8x+9例6.求下列各函数的导函数(1)/()=(x2+l)(2x-3)；(2)y=x2sinx;、e+lz.X+cosx(3)y=；(4)y=ex-1x+sinx解析：(1)法一：去掉括号后求导.f(x)-2x3-3x2+2x-3f,(x)=6x2-6x+2法二：利用两个函数乘积的求导法则fx)=(X2+l)(2x-3)+(x2+l)(2x-3)r=2x(2x-3)+(x2+1)X2=6x26x+2(2) y'=(x2),sinx÷x2(sinx)'=2xsinx÷x2cosx,“、.,(ev+iy(ex-l)(er+l)(ej-iy-2e(3)y=二r/,、，(x+cosx),(x+sinx)-(x+cosx)(x+sinx),(4) y=；(x+sinx)2(1-sinX)(X+sinx)-(x+sX)(I÷sx)(x+sinx)2一xcosx-xsinx+sinx-cosx-1=；：-(x+sinx)举一反三，【变式1】函数y=(x+l)2(x-l)在x=l处的导数等于()A.1B.2C.3D.4【答案】D法一：y*=(+l)2'(-l)+(+l)2(-l)'=2(x+l)(x-l)+(x+l)2=32+2-1"1=1=4.法二：Vy=(x+l)2(-l)=(x2-l)(x+l)=x3+x2-x-lJ歹=(V)'+(x2)*-x-1'=3x2+2x-1y,1.=4.【变式2】下列函数的导数(1)y=(x+1)(2x2+3x-1)；(2)y=2丁3x÷>x1【答案】（1）法一:y=2x3+3x2-x+2x2+3-1=2x3+5x2+2x-1.*.y,=6x2+10x+2法二:V=(X+1),(2x2+3x-1)+(+1)(2x2+3x-1)'=2x2+3x-l+(x+1)(4x+3)=6x2+10x+22_1(2)y=2x2-3x2+xl-X1QQ_2y'=32+-X2-2+x222【变式3】求下列函数的导数.(1)y=x(x2+-+-);(2)=(7+1)(-=-1);(3)y='+sin'XXyjX【答案】(1) y=y=e",+-2+l,：,y,=3x2-2x3.(2) y=(x+1)-=-=-=x2,xxy,=-x2-x2223(3) *：y=X3+X+X2sinx,3y,=3x2-x2+(-2),snx+x-2(sinxy3-,=3x2X22Tsinx+-2cosx.2类型四：复合函数的求导例7.求下列函数导数.(1)y=!-7；y=ln(x÷2)；(If)，(3) y=e2r+