3.3.2 函数的极值与导数.docx
3. 3.2函数的极值与导数【选题明细表】学问点;、方法题号函数极值的定义1函数极值(点)的推断与求解2,3,7由函数极值求参数(或范围)4,5函数极值的应用10综合问题6,8,9,11【基础巩固】1.下列关于函数的极值的说法正确的是(D)（八）导数值为O的点肯定是函数的极值点(B)函数的微小值肯定小于它的极大值(C)函数在定义域内有一个极大值和一个微小值(D)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数解析：由极值的概念可知只有D正确.2 .函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有微小值点（八）（八）I个(B)2个(C)3个(D)4个解析:微小值点应有先减后增的特点，即f'(x)<Of,(x)=0f,(x)>0.由图象可知只有1个微小值点.故选A.3 .函数y=l+3-3有(D)（八）微小值-1,极大值1(B)微小值-2,极大值3(C)微小值-2,极大值2微小值-1,极大值3解析：f'(x)=-3x2+3,由f,(x)=0可得X=l,X2=-1.由极值的判定方法知f(x)的极大值为f(D=3,微小值为f(-l)=l-3+l=-l.故选D.4. (2019太原高二检测)若函数f(x)=a-lnX在X=W处取得极值，则实数a的值为（八）(A) 2(B)(02(D)解析:(外包，令卢(当二0,即-中0,解得a=2.故选A.5.(2019河南高二月考)已知函数f(x)=e'-ax有两个零点XKX2,则下列说法错误的是(C)（八）a>e(B) Xi+x2>2(C)xx2>l(D)有微小值点Xo,且x+x2<2xo解析：因为f(x)=e'-ax,所以f'(x)=ex-a,令f'(x)=ex-a>O,当aWO时，f'(x)=ex-a>在xR上恒成立，所以f(x)在R上单调递增.当a>0时，因为f'(x)=a>0,所以ex-a>0,解得x>lna,所以f(x)在(-8,Ina)单调递减,在(Ina,+8)单调递增.因为函数f(x)=ex-ax有两个零点x1<x2,所以f(lna)<0,a>0,所以elna-alna<0,所以a>e,A正确;xl+x2-ln(a2XX2)二21na÷ln(xx2)>2+ln(xx2),取a=y,f(2)=e2-2a=0,所以x2f(0)=l>0,所以(KxKl,所以x+x2>2,B正确；f(0)=l>0,所以0<x1<l,x1x2>l不肯定,C不正确;f(x)在(-8,Ina)单调递减,在(Ina,÷)单调递增,所以有微小值点X0-Ina,且x+x2<2xo=21na,D正确.故选C.6. (2019陕西卷)函数尸XeX在其极值点处的切线方程为.解析：由y=xe"可得y'=ex+xex=ex(x+l),从而可得y=xex在(-,-l)上递减,在(-1,+8)上递增，所以当x=-l时，y=xe'取得微小值"二因为y'Ili=O,切点为故切线方程为y三-e1,即yT答案:尸-：7. (2019宝鸡高二月考)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f,(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中正确的是(把全部正确的说法序号都填上).当Xw时函数取得微小值；f()有两个极值点；当x=2时函数取得微小值；当x=l时函数取得极大值.解析:从题中图象上可以看到：当X(-8,1)时,f'(x)>0；当x(l,2)时(x)<0;当x(2,+8)时,f'()>0,所以f(x)有两个极值点1和2,且当x=2时函数取得微小值,当x=l时函数取得极大值.只有不正确.答案:8. (2019咸阳高二期末)已知函数f(x)=x3+3x2-9x+3.求：(l)f(x)的单调递增区间;(2)f(x)的极值.解：(1)(x)=3x2+6x-9,解(x)20,得x21或x<-3;所以f(x)的单调递增区间为(-8,一3,l,+8).(2)x<-3时,f'(x)>0,-3<x<l时,#(x)<0,x>l时,伊(x)>0;所以x=-3时f(x)取极大值30,x=l时,f(x)取微小值-2.【实力提升】9. (2019沈阳高二质检)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=l处有极值,若t=ab,则t的最大值为(D)（八）2(B)3(C)6(D)9解析：f'(x)=12-2a-2b,则f,(l)=12-2a-2b=0,则a+b=6,又a>0,b>0,则t=abW(*)2=9,当且仅当a=b=3时取等号.故选D.10. (2019成都高二诊断)函数f(x)=3-3ax+b(a>0)的极大值为6,微小值为2,则f(x)的单调递减区间是.解析：令f,(x)=3x2-3a=0,得x=±,则f(x),f'(x)随X的改变状况如表：X(-0o,-a)-a(-a,a)(a,÷o0)f,(X)+00+f(X)极大值微小值/从础鬻我*直二解得品所以f(x)的单调递减区间是(-1,1).答案：(TJ)11. (2019呼伦贝尔高二检测)设函数y=x'a2+bx+c的图象如图所示,且与y=0在原点相切,若函数的微小值为-4.(1)求a,b,c的值；求函数的递减区间.解：(1)因为函数的图象经过点(0,0),易得C=O.又图象与X轴相切于点(0,0),且y'=3x2+2ax+b,故0=3×02+2a×0+b,解得b=0.所以y=3+a2,则y,=32÷2ax.令y'=0,解得=0或X=-氤即x=0和x=-a是极值点.由图象知函数在x=0处取极大值,故在x=-a时取微小值.当X=-a时，函数有微小值-4,所以(-Ia)Xa(一)2=-4,整理得a3-27,解得a=-3.故a=-3,b=0,c=0.由得y=3-32,则二32-6x,令y'<0,即y'=3x2-6x<0,解得0<x<2,所以函数的递减区间是(0,2).【探究创新】12. (2019南阳高二期末)已知函数f(x)3+ax2+2bx+c,函数f(x)在区间(0,1)内取极大值,在区间(1,2)内取微小值,则U二詈的取值范围是.名师点拨：由函数在(0,1)内取极大值,在(1,2)内取微小值,列出a,b所满意的约束条件,利用线性规划求解.解析：f'(x)=x2+ax+2b,因为函数f(x)在(O,D内取极大值,在(1,2)内取微小值.即，0,0,><>012z(f×z(xb>Ola+2b+KO,a+b+2>Ot作出点(a,b)所满意的可行域如图：而U二善可看作是平面区域内的点与点C(l,2)连线的斜率,由时射A:洞得a(-3,1),又B(T,0)所以kAc=g,kBc=f=l,所以XUc1.答案：Gl)
