导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳.docx

导教习题题型十七：合多藏导致河题的分类讨论问题含参数导数问题的分类甘论问题1.求导后，导函数的解析式具有参数，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。已知函数f(x)=g3-g(+2)2+20r(a0),求函数的单调区间,(x)=x-(a+2)X+2a=(x-a)(x-2) 例1已知函数/(幻=X-二-(+2)lnx(a0)求函数的单调区间X,X2-(a+2)x+2a_(x-2)(x-a)J=2-xixi 例3已知函数f(X)="J1(eR),其中qR.(I)当4=1时，求曲线y=(力在点(2,7(2)处H勺切线方程；(II)当。工0时，求函数/(x)H勺单调区间与极值。解：(I)当Q=I时，曲线y=(x)在点(2J(2)处的切线方程为6x+25y32=0。(II)由于0,因此/'()=2"j+iy2,由/(x)=0,得七=一,为=。这两个实根都在定卜+1Ja,z、2«(x2+l)-2x(2or-6/2+l)-2a()卜+：/X)=5二-=-义域R内，但不知它们之间卜由)(XM)三大小。因此，需对参数日勺取值分。0和lv两种状况进行讨论。当10时，则药冗2。易得F(X)在区间(一8,(,+8)内为减函数，在区间卜J,)为增函数。故函数力在百二一：处获得极小值/1)=-/；函数/(x)在毛=4处获得极大值/()=1。(1)当。0时，则不赴。易得“X)在区间(一8，。)，(一+8)内为增函数，在区间3-十)为减函数。故函数“X)在=-：处获得极小值函数"X)在%=0处获得极大值/（）=1。以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的次序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题H勺讨论，还是有一定H勺规律可循的。当然，在详细解题中，也许要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂某些了，需要灵活把握。（区间确定零点不确定的典例）例4某分企业经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总企业交a元（3WaW5）的管理费，估计当每件产品的售价为X元（9xll）时，一年的销售量为（12-）2万件.（1）求分企业一年的利润1.（万元）与每件产品的售价X於I函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分企业一年日勺利润1.最大，并求出1.的最大值Q（八）.解（1）分企业一年的利润1.（万元）与售价X的函数关系式为：1.=（-3-a）（12-）2,x9,11.(2)1.,(x)=(12-)-2(-3-a)(12-)93<y,=(12-)(18+2a-3x).令1.'=O得x=6+2a或x=12(不合题意，舍去).3V3a5,86+-a-.33在x=6+2a两侧1.'B值由正变负.3因此当86+-a<9即3a<2时，32UX=1.(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).当96+-a-W-a5时，9(6-a),4(3-1a)3.9-a5.23321.nex=1.(6+-a)=(6+-a-3-a)12-(6+-a)2=4(3-la)3.01tQ（八）=3333答若3Wa<T'则当每件售价为9元时,分企业一年的利润1.最大,最大值Q（八）二9（6,）（万元）；若3aW5,则当每件售价为（6+当元时，分企业一年日勺利润1.最大，最大值Q（八）=4驯"万元）.（导函数零点确定，但区间端点不确定引起讨论的典例）例2、已知/(x)=xlnx,g(x)=丁+ar?一+2(1) .求函数f(x)附单调区间；(11).求函数/(x)在卜"+2p>0)上的最小值;(III)对一切的X(0,-R3),2(x)g'(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.解：(I)f(X)=InX+l,(x)<0,解彳0<xv1.(j勺单调递减区间是(0,口;eIe)4/(%)>0,解得冗，“幻的单调递增是(e,+8),(II)(i)0<t<t+2<-,t无解；(ii)0<t<-<t+2,即0<t<时，/(x)min=/(一)=-；eeeee(iii)-r<+2,即r,时，/(x)在rJ+2单调递增，/(x)min=/(0=tint9分ee1 o<<-,/(x)min"e，'tintte(III)由题意：2xlnx<3%2+2ax1+2在x(,+s)上恒成立，即2xlnx32+2ax+1可得“lnx3工一-(分离参数)，设MX)=InX在一口-，22xv722x则的-3+3=-(1+1)X22x2x212分令人(x)=0,得X=l,x=(舍)当OVXVl时，(X)>0；当>1时，h(x)<0.当x=1时，MX)获得最大值，MX)max=-213分.4-2.二.求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式)，但不知导函数为零的实根与否落在定义域内，从而引起讨论。(用导数处理函数问题若求导后研窕函数日勺导数问题时能转化为研究二次函数问题时，二次项的系数含参数按系数不小于零、等于零、不不小于零分类；再按在二次项的系数不等于零时对鉴别式按>()、=()、<0;在>()时，求导函数的零点再根据零点与否在在定义域内进行套论，若零点含参数在对零点之间的大小进行讨论。) 1已知函数=x3-x2+(l-)x,求函数的单调区间f,(x)=x2-x+(l-d)=(l-x)(ar-l+d) 例2已知函数f(x)=(l+)lnx+罗(a>0),求函数的单调区间m、OX2-X+(l-)(X-1)(X-I÷6f)J(X)=XX 例3已知是实数，函数f(x)=J7(x-)(I)求函数/(x)的单调区间；(II)设g()为F(X)在区间0,2上的最小值。(Z)写出g()H体现式;(")求。的取值范围，使得-6g(4)-2。/吟31X解：(I)函数的定义域为0,E),f()=7+号=上%>0),由F(X)=O2x2x2得X=。考虑与否落在导函数/(x)三定义域(0,+8)内，需对参数。时取值分0及。>0两种状况进行讨论。(1)当0时，则f(x)>O在(0,+8)上恒成立，因此f(x)的单调递增区间为0,+8)。(2) 当>0时，由/(x)>0,得x>由/(x)<0,得0<x<°因此，当>0时，/(力的单调递减区间为,/(力的单调递增区间为早+)(II)(/)由第(I)问三结论可知：(1) 当a0时，"6在0,”)上单调递增，从而“X)在0,2上单调递增，因此g()="0)=0°(2) 当>0时，/(x)在0,1上单调递减，在早+8)上单调递增，因此：当(0,2),即0v<6时，力在上单调递减，在1,2上单调递增，因此g()=“卜TA=一喈。当12,+8),即16时，/(x)在0,2上单调递减，因此g（八）=(2)=J(2-a).O,综上所述，g()='2aaJ,0<a<63V3V(2-q)m6(zf)令-6g()2若0,无解;若O<V6,由一6-2解得3<6;若白6,由一60(2-4)-2解得6a2+3°综上所述，4的取值范围为32+3j5.三.求导后，因导函数为零与否有实根(或导函数0分子能否分解因式)不确定，而引起的讨论。例1已知函数F(X)=T2+X求函数的单调区间f,(x)ax+l例2已知函数f(x)=lnx-以求函数的单调区间fx)-af,(x)=-a+1XX,x<1例3设&R,函数/(x)="1-:,F(x)=f(x)-kx,x三Rf-Jx-I,X1试讨论函数F(X)H勺单调性。,x<1解：*/f(x)='1-x,F(x)=f(x)-kx,x三R-Jx-l,X111KXiX<,F(x)=f(x)-kx=H-x,F(x)=<-JX-I-kx,x(71÷2kJx11,X>12,<Jx-考虑导函数F'(X)=O与否有实根，从而需要对参数R的取值进行讨论。(一)若XVl,则FG)=(1T)2(I)2。由于当&0时，/'(x)=O无实根，而当我0时，F1(X)=O有实根,因此,对参数欠分40和ZO两种状况讨论。(1)(2)当上0时，F,(x)=(IT2-k(-x。一,由于&0,因此王1。由Fa)=0,得用当A0时，尸(x)0在(-8,1)上恒成立，因此函数尸(X)在(一,1)上为增函数;由/'(x)>O,得1<X<1；由尸'(v)v,得因此，当A0时，函数尸(X)在(上为减函数，在(1一天,1)上为增函数。(二)若xl,则/(x)=-l+2fG,由于当A0时，FQ:)=0无实根，而当欠VO时,2-1尸(X)=O有实根，因此，对参数A分0和ZvO两种状况讨论。(1)当k0时，/Vo在口,”)上恒成立，因此函数F*)在1,-8)上为减函数;当。时,尸=-若1-kIy-l+二I2ky-由R'()>0,得R>l+'y;由F'(x)V,得l<Xl+'y。4K4K因此，当女0时，函数F*)在1,1+T4%11.上为减函数，在IH§,+8上为增函数。_4*J综上所述:(1) 当人0时，函数尸(X)在(-8,1-2)上为减函数，在(1一场)上为增函数，在1.+X)上为减函数。(2) 当A=O时，函数尸(X)在(一oo,l)上为增函数，在1,+oo)上为减函数。(3)当AvO时，函数r(x)在(一8,1)上为增函数，在1,1+3)上为减函数，在l+3,+oo4公)1.4k上为增函数。19.设a>0,讨论函数f(x)=lnx+a(l-a)x2-2(l-a)X的单调性。.,J.M1.JI、i_。、/，/、2(lc)x2(1d)x÷1解：函数/(X)的定义域为(0,+8).f(X)=X当01时,方程2a(a)x?-2(1-)x+1=0的鉴别式=12(a-1)当OCaCg时,>(),/'*)有两个零点,J叵更亘>0,“1.旦亘2a2a(-d)2a2(l-a)(1)1a3且当0<x<石或X>电时,/'(X)>0,/'(X)在(0,%)与(电,+0°)内为增函数;当XI<工工2时，/'(幻<°，/(冗)在(工1，2)内为减函数;当;<1时,0J'(x)0,所以(外在(0,+00)内为增函数;当=1时,/。)=工>0(R>0),/(X)在(0,+oo)内为增函数；X当