抛物线性质定理80条.docx
抛物线性质定理80条本部分内容由抛物线的定义、标准方程及其基本性质组成.在客观题中，突出考查抛物线的定义、标准方程及其基本性质，解答题中主要考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系、弦长公式、曲线导数的几何意义等；同时考查数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想方法，以及运算能力、逻辑思维能力、灵活运用所学知识分析和解决问题的能力.重点：熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式，会根据抛物线的标准方程研究得出性质，会由几何性质确定抛物线的标准方程.熟练运用坐标法，理解数形结合思想，掌握相关代数知识、平面几何知识的运用.难点：把几何条件转化为代数语言，进而把"形"转化为"数".选择合理、简捷的运算途径，并实施正确的运算.灵活利用概念、平面几何知识.1 .抛物线及其性质的基本思路求抛物线方程时，若由已知条件可知方程的形式，一般用待定系数法；若由已知条件可知动点的运动规律，一般用轨迹法；凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意运用韦达定理；解决焦点弦问题，抛物线的定义有广泛的应用，还应注意焦点弦的几何性质，针对y2=2px(p>O),设焦点弦为x=my+,既方便消元，又可避免斜率不存在的情况；可能的情况下，注意平面几何知识的应用，达到不算而解的目的.2 .抛物线及其性质的基本策略(1)求抛物线的标准方程定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定P的值，得到抛物线的标准方程.待定系数法:先定位,后定量.根据条件设出标准方程,再确定参数P的值这里要注意抛物线标准方程有四种形式,从简单化角度出发，焦点在X轴上，设为y2=ax(a0);焦点在V轴上,设为×2=by(b0).(2)焦点弦问题和焦半径焦半径：抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x,y)到焦点F,0的距离PF=XO+.通径：过焦点F,0且与X轴垂直的弦PQ叫通径,PQ=2p.焦点弦的性质：过F,O的弦AB所在的直线方程为y=kx-(k不存在时为通径).弦长:AB=x1+x2+p=h(0为弦AB的倾斜角);X1x2=,y1.y2=-p2;+=;以弦AB为直径的圆与准线相切.在抛物线y2=4x上找一点M,使MA+MF最小，其中A(3,2),F(IzO),求点M的坐标及此时的最小值.思索"看准线想焦点，看焦点想准线"，可根据抛物线的定义进行相互转化从而获得简捷、直观的求解.数形结合是灵活解题的一条捷径.破解如图1,点A在抛物线y2=4x的内部z由抛物线的定义可知，MA+MF=MA+MH,其中MH为M到抛物线的准线的距离,过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1.,垂足为B,贝!JMA+MF=MA+MH>AB=4,当且仅当点M在MI的位置时等号成立，此时点M1.的坐标为(1,2).斜率为1的直线I经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点，求线段AB的长.思索求焦点弦的弦长有多种方法，既要掌握运算方法,也要考虑一些不算或少算的方法.数形结合是解析几何中重要的思想方法之一.一些问题中，充分发挥形的作用，可以最大限度地减少运算，"看出结果".我们不妨考虑问题的一般情形：斜率为k(倾斜角为)的直线I过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点，如何看出焦点弦的弦长？如图2,由图可以看出，FA=p-FAcoszFB=FBcos6+P,所以AB=FA+FB=+=.求解过程非常直观，在已知直线倾斜角的情形下，可以直接"看出"焦点弦的弦长.直线斜率存在时，由k=tae,破解例2中，k=1.(=45°),p=2,所以AB=8.在平面直角坐标系xy中，F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,0三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为.(1)求抛物线C的方程；(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.思索(1)由抛物线C的标准形式可得点F的坐标和准线方程,由圆心Q在弦OF的中垂线上可得点Q的纵坐标，再由点Q到抛物线C的准线的距离列出方程，确定p的值.(2)存在性问题的常用方法是：先假设结论存在，进行演绎推理,若推出矛盾,则否定假设；若推出合理的结果，说明假设成立.思路1:先求切线MQ的方程，结合弦OF的中垂线方程解点Q的坐标，再由点Q在弦OM的中垂线上解题即可.思路2:先由点Q在弦OF,OM的中垂线上，再结合切线QM斜率的不同形式表示，列出方程思考.1 .立足课本，夯实基础掌握抛物线的定义、标准方程、简单性质等基础知识,深化对基础知识的理解，重视知识间的内在联系，提高应用数学思想方法解决问题的意识和能力.2 .熟练通法，步步过关对相对固定的题型，如弦长问题、面积问题等，解题思路、步骤相对固定，要以课本为例，以习题为模型，淡化技巧,理解通性通法，熟练步骤，能作出合理的算法途径设计，基本问题运算过关，破解想得出，算不出、算不对的瓶颈.3 .重视抛物线的综合问题重视抛物线与直线、圆等的综合研究，尤其是对性质中的一些定点、定值及相关结论的深入探究.高考试题往往有对圆锥曲线某方面几何性质的考虑，对性质深入的探究不在于知道一些结论，而是在这一过程中掌握探索的方法，理解解析几何的基本思想方法.4 .领悟思想方法，提升能力抛物线及其相关问题的解决，往往蕴含着丰富的思想方法,如数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等，思想方法的理解是知识运用的翅膀，是知识转化为能力的桥梁.在复习和解题过程中，要理解思想方法的内涵、操作程序，从而提升自己运用知识解决问题的能力.
