第九章期权的定价课后习题及答案.docx

第九章期权的定价复习思考题9.1.股票价格为50元，无风险利率为每年10%,波动率为每年30%。请按时间间隔为一个月构造三步二叉树模型。9.2.目前指数为495,无风险利率为年率10%,波动率为每年25%。构造一个四步（每步为半个月）的二叉树图。9.3.目前指数为495,无风险利率为年率10%,波动率为每年25%,如果股票指数红利率为每年4%,构造一个四步（每步为半个月）的二叉树图。9.4.股票市价为70元，年波动率为32%,该股票预计3个月和6个月后将分别支付1元股息，市场无风险利率为10%。请按时间间隔为一个月构造二叉树模型。9.5.本章（9.19）式中给出了三叉树模型中驱动价格运动的随机因素的分解，请给出至少两组其他的基向量。9.6.假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动，其预期年收益率16%,年波动率30%,该股票当天收盘价为50元，求：（1）第二天收盘时的预期价格，（2）第二天收盘时股价的标准差，（3）在量信度为95%情况下，该股票第二天收盘时的价格范围。9.7.假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动，其预期年收益率16$,年波动率30%,该股票当天收盘价为50元，求：（1）30天后收盘时的预期价格，（2）30天后收盘时股价的标准差，（3）在量信度为95%情况下，该股票30天后收盘时的价格范围。9.8.变量Xl和X2遵循普通布朗运动，漂移率分别为l和2,方差率分别为ol'2和2'20请问在下列两种情况下，X1+X2分别遵循什么样的过程？（1）在任何短时间间隔中Xl和X2的变动都不相关；（2）在任何短时间间隔中Xl和X2变动的相关系数为p。9.9.股票目前价格为40元，假设该股票1个月后的价格为42元或38元。连续复利无风险年利率为8%。请问风险中性概率分布如何？如何构建股票和期权的风险对冲策略？1个月期的行权价格等于39元欧式看涨期权价格等于多少？9.10.如题9.1至题9.4中信息，如果每一步标的资产上涨或下跌的真实概率各为1/2,请给出每题中真实概率变换为风险中性概率的测度变换形式。9.11.标的资产如题9.1,无红利股票的美式看跌期权，行权价格为50元，有效期为3个月，为期权定价。9.12.标的资产如题9.2,两个月期限的基于该股票指数的美式看跌期权，执行价格为500,为期权定价。9.13.标的资产如题9.3,两个月期限的基于该股票指数的美式看涨期权，执行价格为500,为期权定价。9.14.标的资产如题9.4,现考虑该股票的美式看涨期权，其协议价格为65元，有效期8个月。请讨论在这两个除息日提前行使该期权是否最优，并请计算该期权价格。9. 15.不支付红利的股票的市价为50元，无风险利率为10%,该股票的年波动率为30%,用布莱克-斯科尔斯公式求该股票行权价格为50元、期限3个月的欧式看跌期权价格。并给出股票和期权的风险对冲策略。讨论题9.1. 在离散多步二叉树模型中，如果Ut和小是随机的，那么驱动资产价格运动的风险因素有哪些？如果Ut和dt是非随机但时变的呢？9.2. 在离散二叉树模型的收益率形式中，如果波动性参数。t是随机的，就将增加一个风险因素，与离散三叉树模型的风险因素有何区别或相似之处？9.3. 请写出多步四叉树的收益率形式，并讨论驱动价格运动的随机因素的可能形式。9.4.布朗运动X的漂移率和方差率都是时变的，那么X（t）-X（O）是否服从正态分布？为什么？如果漂移率和方差率都是随机的，结论如何？9.5.请思考：如果在真实概率环境下不相关的两个布朗运动，在风险中性概率环境下的相关性是否会改变？为什么？复习思考题答案9.1.股票价格为50元，无风险利率为每年10%,波动率为每年30%。请按时间间隔为一个月构造三步二叉树模型。答：多步二叉树第n步的第j个节点（上涨j步下跌n-j步）上股票价格为SUjdn总是可以构造二项分布的概率分布使得平均对数收益率为0,因此有：U=",d=e-。0代入。=0.3,以及At=1/12,可得：u=1.090d=0.917代入相关参数得到三步二叉树各步节点上的股价为：第一步各节点：50u=54.52,50d=45.85；第二步各节点：50u2=59.46,50ud=50,SOd2=42.05；第三步各节点：50u3=64.83,50u2d=54.52,50ud2=45.85,50d3=38.56；9.2.目前指数为495,无风险利率为年率10%,波动率为每年25%。构造一个四步（每步为半个月）的二叉树图。答：多步二叉树第n步的第j个节点（上涨j步下跌n-j步）上股票价格为SUjdnT。总是可以构造二项分布的概率分布使得平均对数收益率为0,因此有：U=e。疝，d=e-。而，代入o=0.25,以及At=I/24,可得：u=1.052d=0.950代入相关参数得到四步二叉树各步节点上的股价为：第一步各节点：495u=520.74,495d=470.25；第二步各节点：495u2=547.82,495ud=495,495d2=446.74；第三步各节点：495u3=576.31,495u2d=520.74,495ud2=470.25,495d3=424.40；第四步各节点：495u4=606.28,495u3d=547.82,495u2d2=495,495ud3=446.74,495d4=403.60；9.3.目前指数为495,无风险利率为年率10%,波动率为每年25%,如果股票指数红利率为每年4%,构造一个四步（每步为半个月）的二叉树图。答：多步二叉树第n步的第j个节点（上涨j步下跌n-j步）上股票价格为SUjdnT。总是可以构造二项分布的概率分布使得平均对数收益率为0。但是，因为股票指数在每步（半个月）将有分红，因此每一步二叉树起始点的现货价需要在扣除掉这部分红利的除权价基础上变动，也即S=Se一口加。但是在分红发生之前每个节点的股价并未实际扣除红利，因此要把红利贴现到相应时点的价值加回去。具体体现在用时间间隔At期间产生的红利去修正根据上涨下跌比例上，也即u=e面eqAt,d=e-qAt,代入o=0.25,q=0.04,以及t=1/24,可得：u=1.050d=0.948代入相关参数得到四步二叉树各步节点上的股价为：第一步各节点：495u=519.75,495d=469.26；第二步各节点：495u2=545.74,495ud=492.72,495dz=444.86；第三步各节点：495u3=573.02,495u2d=517.36,495ud2=467.10,495d3=421.73；第四步各节点：495d=601.68,495u3d=543.22,495u2d2=490.45,495ud3=442.81,495d4=399.80；9.4.股票市价为70元，年波动率为32%,该股票预计3个月和6个月后将分别支付1元股息，市场无风险利率为10缸请按时间间隔为一个月构造二叉树模型。答：因为股票在3个月和6个月后将有分红，因此二叉树分红之前的每一步股价变化是在扣除掉这部分红利的除权价基础上产生的，也即S=S-iDjeTE°但是在分红发生之前每个节点的股价并未实际扣除红利，因此要把红利贴现到相应时点的价值加回去。因此，多步二叉树第n步的第j个节点（上涨j步下跌n-j步）上股票价格为SUjdnT+iDie-r,enr,Ato总是可以构造二项分布的概率分布使得平均对数收益率为0,因此有：u=e。疝，d=e-tj红利价值增长比率q=eMt,代入o=0.32,r=0.1,以及At=1/12,可得：u=1.097d=0.912q=1.008代入相关参数得到二叉树各步节点上（走两步）的股价为：起始点：除权价为68.073,3个月后红利现值为0.975,6个月后红利现值为0.952第一步各节点：68.073u+0.975q+0.952q=76.618,68.073d+0.975q÷0.952q=64.025；第二步各节点：68.073u2+0.975q2+0.952q2=83.878,68.073ud+0.975q2+0.952q2=70.031t68.073d2+0.975q2+0.952q2=58.577；以此类推，但是在第四步之后3个月后的红利已经支付，不再需要加上0.975q11这部分红利，只需要加上0952qn这部分红利；在第七步之后6个月后的红利也已经支付，也不需要加上0.952q11这部分红利。9.5.本章（9.19）式中给出了三叉树模型中驱动价格运动的随机因素的分解，请给出至少两组其他的基向量。答：在（9.19）式中给出的三叉树模型中驱动价格运动的随机因素的分解形式：-qp(p+q)0.pq(p+q).cosx+sinyW(1-w)1et=cos-(1-w)w+sinIw(l-w)因子G的含义是以W的概率取得中值，以I-W的概率取得上值或下值；因子歹的含义是在取得上值或下值的条件下，以P的概率取得上值，以q的概率取得下值。类比于此，另外两组基向量可以构造如下：（1）构造因子7和歹，因子G的含义是以P的概率取得上值，以I-P的概率取得中值或下值；因子歹的含义是在取得中值或下值的条件下，以W的概率取得中值，以q的概率取得下值。也即：0-qw(w+q)wq(w+q)=cosx+siny一(i-p)pet=cosp(l-p)+sin.p(1-P).（2）构造因子7和歹，因子又的含义是以q的概率取得下值，以l-q的概率取得上值或中值；因子歹的含义是在取得上值或中值的条件下，以P的概率取得上值，以W的概率取得中值。也即：=cosx+sinyJq(i-q)1-Jwp(p+W)et=cosq(l-q)÷sin,pvv(p+W)1.-(i-q)ql09.6.假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动，其预期年收益率16%,年波动率30%,该股票当天收盘价为50元，求：（1）第二天收盘时的预期价格，（2）第二天收盘时股价的标准差，(3)在量信度为95%情况下，该股票第二天收盘时的价格范围。答：由常系数几何布朗运动的运动方程dlnSt=(-)dt+odzt可得:也即:ElnStInS0=-t,VarlnSt=2t设X为均值0方差1的标准正态分布，则t时刻股价为:由正态分布特性可得：E(St)=S0et,Var(St)=So2t(e2t-1)Se2t2t按照一年365天，代入时间间隔1天，以及So=50,=0.16,O=0.3等各个相关参数得到：(1)第二天收盘时的预期价格为：SoeHt=50e°i6365«50.022(2)第二天收盘时股价的标准差为：Var(St)Soeat=50e*=0.7855(3)在量信度为95%情况下，也即X的取值范围在T.96,1.96,代入股价公式可得该股票第二天收盘时的价格范围为：S0exp(-yjt-t*1.96,SOeXP(-+t*1.9648.500,51.5799. 7.假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动，其预期年收益率16%,年波动率30%,该股票当天收盘价为50元，求：(1)30天后收盘时的预期价格，(2)30天后收盘时股价的标准差，(3)在量信度为95%情况下，该股票30天后收盘时的价格范围。答：由常系数几何布朗运动的运动方程dlnSt=(-)dt+odZt可得：也即:ElnStInS0=-)VarInSt=2t设X为均值