线代复习题.docx

2014-2015线性代数复习题一、全排列的逆序数1,r(l23n)2、r135(2h-1)24(2n)3、r1135(2一1)(2)2二、行列式的性质1、若%4=2,则抽3%=?a2la124«2|Aa222若4%=3则fl2+a22=?u2a22a2la22三、用行列式性质计算行列式(一般化为上三角行列式)abbbaibbbbahbba2bb203I(X)3021、bhab2、bb%b3、399200603598300997bbbabbball4、教材片例1三、行列式按一行(列)展开式定理1-11073141、已知D=4512,计算A+4+Aw+A32172,教材之例题12%习题6(3)(4)四、克莱姆法则五、矩阵的运算(矩阵乘法不满足交换律)1、一帆8BA进而(A-)(A+B)A2-B2,(A+B)1A2-i-2AB+B2(AB)2A2B22、A是方阵，E是同阶单位矩阵，则AE=E4,进而(A+E)(A-E)=*-E(A+E)2=A2+2A+E方阵的行列式及其性质1、若=2,则Ia=?2、教材耳«习题19,20七、逆矩阵和矩阵方程1、逆矩阵存在的充要条件：INw,=17a2、逆矩阵的性质(注意(A+6)T),A*=An"'若已知4=(；胃,则"?A是可逆方阵，AX=BnX=ATB3、矩阵方程的三种类型A曰-nUC-，4是可逆矩阵，XA=BnX=BA'A,B是可逆矩阵，AXB=C=>X=AiCB1教材&习题16,17,1801011-1设A=-1I1,B=20,X=AX+8,求X-10-1J5-34、已知1+24-3£=0,求(A+4E)T七、矩阵的秩的概念、性质和求矩阵秩的方法(用初等行变换化为行阶梯形矩阵，非零行数即为矩阵的秩)注意：矩阵的秩和向量组组的秩的关系(矩阵的行秩等于列秩)八、分块矩阵的逆46O求A=-3-5O的特征值和对应的特征向量。-3-612、若3阶方阵4的特征值是1,0,3,则网=?3、若3阶4的特征值为1,2,3,则2E+1的特征值是4、若A的特征值是1,2,3,则|EA|=?,|E+W=?十三、向量正交的定义,若向量6=（1,2,0,1）与=（2,1,1,幻正交,则A=?.十四、方阵对角化的条件1、充要条件：A有,介线性无关的特征向量。2、充分条件：4有个不同的特征值。十五、相似矩阵的定义及性质1、若A=1'T与B=（i：）相似'则E2、与A=（；相似的对角矩阵是？十六、二次型的矩阵和标准型1、二次型f（xl,x2,xi）=2xj+38电+x，的矩阵是？2、若二次型/（%,七,&）=/Ax的矩阵腑特征值是1,2,3,则其标准形是？十七、正定二次型的定义及判别定理I、若实对称矩阵是正定矩阵，则其特征值全为正。2、二次型，（用,*2，/）=七22+3.1；的正惯性指数为？13 0014 00求0021()015九、向量组线性相关和无关的定义和相关判别定理1、讨论=(2,4J1),%=(1,-2,0,l),%=(1,3,1,0)的线性相关性。每个向量作为矩阵的列构成矩阵l=(q,4,q)-行阶梯形矩阵2、若名,见An线性无关，而四，a2,am,"线性相关，则£可以由,a2,am线性表示，且表示方法唯一。若=(2,3),a2=(3,4),则尸=(4,5)可以由因，外线性表示，且表示方法唯一。I、向量空间的定义和求向量空间的一组基R'表示全体维向量构成的集合，可构成一个向量空间。*中任意个线性无关的向量都构成该空间的一组基。R"中任意+1个向量必线性相关。十一、线性方程组,=,有唯一解<已有无穷多解1、齐次线性方程组有非零解的充要条件：R(Ainxn)<n2、非齐次方程有解的充要条件是：R(Amn)=R(A,b)=r注:非齐次方程组AM“小=A当砥A)=m时，方程有解。因为此时R（八）=R(A=机3、求解线性方程组xl-Zx2+3x3-4=1<3-Jt2+5/-3ArS=22xl+X2+2/-2x4=3I.、矩阵的特征值和特征向量