5.3振动能量与共振.docx

§5.3振动能量与共振5.3.1、简谐振动中的能量以水平弹簧振子为例，弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，在振动过程中，振子的瞬时动能为:振子的瞬时弹性势能为:振子的总能量为:E=E+Ep=mco2Ar=g简谐振动中，回复力与离开平衡位置的位移X的比值-M2k以及振幅A都是恒量，即2是恒量，因此振动过程中，系统的机械能守恒。如以竖直弹簧振子为例，则弹簧振子的能量由振子的动能、重力势能和弹簧的弹性势能构成，尽管振动过程中，系统的机械能守恒,但能量的探讨仍比较困难。由于此时回复力是由弹簧的弹力和重力共同供应的，1.X2而且是线性力（如图5-3-1）,因此，回复力做的功2（图中阴影部分的面积）也就是系统瞬时弹性势能和重力势能之和，所以类比水平弹簧振子瞬时弹性势能表达式，式中X应指振子离开平衡位置的位移，则”就是弹性势能和重力势能之和，不必分开探讨。简谐振动的能量还为我们供应了求振子频率的另一种方法，这种方法不涉及E=-kx1振子所受的力，在力不易求得时较为便利,将势能写成位移的函数，即'2,另有也可用总能量和振幅表示为5.3.2、阻尼振动简谐振动过程的机械能是守恒的，这类振动一旦起先，就永不停止，是一种志向状态。事实上由于摩擦等阻力不行完全避开，在没有外来动力的条件下，振动总会渐渐减弱以致最终停息。这一r刃c乡1I种振幅渐渐减小的振动，称为阻尼振动。阻尼振动不是谐/777777777777777777777777小阻尼，单摆的重球及弹簧振子往往选用重球。振动模型与运动规律如图5-3-2所示，为考虑阻尼影响的振动模型,阻力R=-CV,设m运动在任一X位置，由£尸='巴分为ax+2nvx+w2x=0(17;Cn=式中2m这里参考图方法不再适用，当C较小时，用微分方程可求出振体的运动规律，如图422所示。-阻尼对振动的影响由图5-3-3可见，阻尼使振幅渐渐衰减，直至为零。同时也伴随着振动系统的机械能渐渐衰减为零。7C_/此外，2m愈大，即阻尼愈大，振幅衰减C为阻尼器，粘性阻尼时,有图5-3-34*4cm2klFlZWWvwWVzzzzzzzzzzzzzzzzzzpZzzzz7Z图5-3-4振动。图5-3-2愈快。而增大质量m可使n减小。所以，为了减常量阻力下的振动例1、如图5-3-4所示，倔强系数为250gcm的弹簧一端固定，另端连结一1U=-质量为30g的物块，置于水平面上，摩擦系数4,现将弹簧拉长Icm后静止释放。试求：（1）物块获得的最大速度；（2）物块经过弹簧原长位置几次后才停止运动。解：振体在运动中所受摩擦阻力是与速度方向相反的常量力，并不断耗散系统的机械能，故不能像重力作用下那样，化为谐振动处理。（1）设首次回程中，物块运动至弹簧拉力等于摩擦力的X位置时，达最大速度。30gX工X=噢=_AA=Oo3（CM由kx=mg,k250g再由能量守恒：代入己知数据得（2）设物体第一次回程中，弹簧的最大压缩量为占'，则再设物体第一次返回中，弹簧的最大拉伸量为王，则可见振体每经过一次弹簧原长位置，振幅减小是相同的，且均为=160.04（cm）<0.06cm而3/50故物体经过16次弹簧原长位置后，停止在该处右方。5.3.3受迫振动在周期性策动外力作用下的振动。例如：扬声器的发声，机器及电机的运转引起的振动。1、振动模型及运动规律如图5.35所示，为策动外力作用下的振动模型。其中，阻力R=CV,为常见的粘性阻尼力。策动力F=HCOSpt,为简谐力时。由=有襁A=HCoSP-C匕-乙化为标准标式cn=S=式中2m,由微分方程理论可求得振子的运动规律（2）受迫振动的特性在阻尼力较小的条件下，简谐策动力引起的振动规律如图5-36所示。在这个受迫振动过程由两部分组成：一部分是按阻尼系统本身的固有频率所作的衰减振动，称为瞬态振动（图（八）；另一部分按策动力频率所作的稳定振动（图（b）。在实际问题中，瞬态振动很快消逝，稳态振动显得更加重要。稳态振动的频率与系统本身的固有频率无关，其振幅与初位相也不由初始条件确定，而与策动频率P亲密相关。5.3.4、共振一当策动力频率P接近于系统的固有频率8时受迫振动振幅出现最大值的现象。如图5-3-7所示的一组曲线，描述了不同阻尼系统的稳态振幅A随策动力频率p变更而引起的变更规律。由图可见:1、当P接近8时振幅最大，出现共振。2、阻尼越小，共振越大。3、P°时，振幅就是静力偏移，即4、p>>。时，振体由于惯性，来不及变更运动，处于静止状态。