微专题09 三角形的“爪”型结构（解析版）.docx

微专题09三角形的“爪”型结构Sr高频考点考点一中线问题（一）求中线长（二）已知中线长求其他量（三）与中线长有关的最值（范围）问题（四）与中线有关的综合问题考点二角平分线问题（一）求角平分线长（二）已知角平分线长求其他量（三）与角平分线有关的范围问题（四）中线与角平分线的综合问题考点三高线问题一、“爪”型结构解三角形是高考中的重要考查内容,是考查学生思维能力、核心素养的重要载体,其中“爪''型结构的解三角形问题屡见不鲜,如中线、角平分线、高线等.（一）“爪”型结构角互补ZADB+ZADC=11=>cosZADB+cosZADC=O在AAZ汨中有：COSN4。B=空上2竺二4生；2DA×DB、cosZADC=d2÷dc2-c2在ADC中有：2Z4×DC（二）解三角形中有关中线问题向量法:而=X而+m）,平方，建立中线长与三角形边、角的关系注；向量法：而2=：（匕2+¢2+2bcCOSA）4推导过程：由而=T须+前），则前2=1+Xc）2=AB2+AC2Il4Ccos1所以而2=1(2+c2+2bccosA)注；适用于已知中线求面积（已知色的值也适用）.背靠背的两角互补:CoS乙40B+COS乙40C=0,结合余弦定理,建立中线长与三边的关系中线长定理:三角形一条中线两侧对边的平方和等于底边一半的平方与中线的平方和的两倍.即若力。是4ABC的边BC上的中线,则+AC2=2（402+BD?）推导过程：在&48D中，CosB心+*一心2ABBDCosB482+BC2-AC22ABBC中线长定理：在AABC中，4。是边8C上的中线，则482+4。2=2（8。2+力。2）=2（4。2+。2）联立两个方程可得：AB2+AC2=2（BD2+AD2）注：灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中示例：记448C的内角48,C的对边分别为,b,c,己知448C的面积为遮,。为BC的中点,且4。=1.若炉+C2=8,求b,c.【解析】思路1.借助向量工具如图，VS&ABC=bcsnBAC=3,.snBAC=笠.由题意得而=X而+照),|而|=1,.4=b2+c2÷2bccosZB4C.又.b2+c2=8,二cosBAC=.vsin2BAC+cos2BAC=1,be.be=4,b=c=2.思路2.利用背靠背角的互补关系如上图,cosZj4DB+COSzJ4。C=0,AD+BD2-c2AD2+DC2-b_>2,r2-7(112.rn2"2BDAD+2DCD+C-2(40+BD),"BDDCV3.vS&adb=2abc=SinzJ4。B1,ADB-由勾股定理,得b=c=2.（三）解三角形中有关角平分线性质1（角平分线定理）：若。是的边BC上的一点,AD平分乙BAc则器=名可利用面积比或正弦定理DCAC推导如图，在AABC中，40平分乙B4C,角4、B,C所对的边分别为,b,C1、利用角度的倍数关系：BAC=2BAD=2CAD2、内角平分线定理：AO为AABC的内角"4C的平分线，则第=影推导过程：在A3E中,ABBDSinZADB-SinZBAD在ACO中,ACCDsinZADCsinZ.CADABBDACCD该结论也可以由两三角形面积之比得证，即多迪=莫=空SMCDACCD说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合爪型结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。2cos"性质2:若。是ABC的边BC上的一点,4。平分B4C,则黑=2+白.利用治.=Sabd+推导ADAd/1C注：等面积法：因为SaA8D+SMCD=SABC，所以:cADsin+-bADsin-=-bcsinA»22222所以(b+C)AD=2bcCOS-整理的：AO=I一（角平分线长公式）注：题中出现角平分线，我们可以从“角度”和"长度”两个方面入手考虑.1.角度：角被平分.角平分2.长度：在ABC中，AO为N8AC的平分线，则丝=型，这就是角平分线性质定理之一.提醒:ACDC线性质定理大题中不建议直接使用.示例：在ABC中/B4C=60。,48=2,BC=B4C的角平分线交BC于。,则=【解析】思路1.等面积法如图，令BC=a,AC=b,AB=c,a=6,c=2,BAC=60o,.,b=1+V5.Sabc=SAABD+S2acdQ刑CSin60°=ADsin30o+½Dsin30.AD=2.思路2.向量法如上图,在ABC中,由余弦定理可得AC=1+3.v受亚=影=*，shACDDCAC三=7而=黑荏+岛福两边平方得画=2,4D=2.（四）解三角形中有关高线问题高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。1、1,人均分别为ABC边,b,C上的高，则%:小：勿=!=!:一:二一abcsinAsinBsinC2、解三角形中有关高线问题；结合三角函数求解；结合等面积法求解；（求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度）结合两个直角三角形中的边、角关系求解.示例：已知在ABC,A+B=3C,2sin(4-C)=SinB.求sin4;(II)设4B=5,求48边上的高.【解析】(DSiml=甯(过程略).(11)思路1.结合三角函数求解如图,过点C作CO148于点D.由可知CB=r,sin4=若,cos4=丝，SinB=SinG4+Z-ACB)=学.8C=35,410105.CD=BCsinB=6.思路2.结合等面积法求解由SAA8C=1BCAC-Sinz.ACB="SC。求C。.思路3.结合两个直角三角形求解如图,过点C作CD1.AB于点ZX设Co=九.由(I)可得NACB=,tan4=3,tan=Tan(A+ACBy)=2,AD=*BD=48=S+g=5,3h=6,即CD=6.(五)其他爪型模型在448C中,已知C=120°,AB=2,AC=1.(I)求SinNA8C;（三）若。为BC上一点,且=9040C的面积.【解析】（I）Sin乙4BC=与（过程略）.14（ID思路1：如图,.BC2=AC2+AB2-2ABAC-cqsBACBC=7,zdBC2+AB2-AC257.zdz,21ydz,3.,.cosABC=,.snABC=，tan乙ABC=.2BCAB14145在RtABO中,乙BAC=120o,.DAC=30°,.SdADC="OsnDAC=.思、路2:T乙BAC=120°,乙DAC=30°.；Smbc=SAABD+SAACD，.-ACABsinl20o=-ABAD+-AC.ADsin30,.AD=SAADC=.2225AHU1.io思路3:BAC=120°,DAC=30-=丁sinADC=白.SinrCZIDsnzlDC2CD在RtABO中,sinADB=snADB=SinZTlDC,BD=4CD,丽=航+：前=：荏+g玄,两边平方得I西=等,即40=等S4dc=噂OO?O>U思路4:过C作AB的垂线,交BA的延长线于点E,-AC=1,CAE=60.AE=-,CE=:：AD/CEy:.-=22CEBE5.AD=-CE=:：DAC=30°,.SAADC=.S51.10考点精析考点一中线间愿（一）求中线长1. （2024高二下浙江舟山期末）记A8C的内角A8,C的对边分别为函数/（x）=sin、+Gshucosx,角C满足/(C)=0.(I)求C的值；(2)若C=次OsB,且在下列两个条件中塔号二个作为已知，求BC边上的中线长度.a48C的周长为2+J;二ABC的面积为立.4【答案】(I)C=1兀弓【分析】(I)先应用二倍角公式及辅助角公式化简求值即可；(2)由已知先得出边长，再应用余弦定理结合中线计算可得.【详解】(1)f(x)=sin2x+55iinCsv=-+sin2x=sin2x-+-.由f(C)=O得Sinj2C-g=,因为C(0,兀),2C-ge,072000所以2C：=劣，所以C=*663(2) c=2xx>s8,由正弦定理边化角得sinC=2sinBcosB=Sin28.所以C=2B或C+23=兀得8(舍)或B=J所以A=$,306选，因。：6:c=sin:sinB:sinC=:=1:1:-73,222所以周长+"+c=2+如a=2+6，解得=l=b,c=6.设BC边上的中线为加，由余弦定理得/=A2+c2-2bosA,O为BC中点，2而=而+而42而J=(SS+A)2,4"/=6+°2+乃CCoSA.2(Z?2+c2)=(2w)2+a2KP2(1+3)=4n2+1=>m=-选因a.b'.c=SinA:sinB:SinC=:=1:1:3,222所以三角形面积S=-absnC=-a2X=,解得=I="C=G,2224设BC边上的中线为机，由余弦定理得4=从+/一3eosA,D为BC中点,:.2AD=AB+A&(2A力=(aB+AC)4m2=b2+c2+26CCoSA,.2（Z?2+c2）=（2w）2+a2,KP2（1+3）=4n2+1=>m=-2. （2024高一下重庆渝中期末）设；ABC中角AB,C所对的边分别为。，h,JAD为BC边上的中线；Jo/T已知C=I且2siMcos8=sin-加in8+-加inC,BAD=.则AO=.43【答案】21.12T22【分析】根据题意利用正、余弦定理分析可得力=4,由AD=T（公+A。结合数量积相关运算整理得关于cos。的方程，运算求解即可.【详解】因为2sinAcos8=sinA-加inB+'bsinC,且c=l,4由正弦定理可得：2accosB=a2-b2+-hct4由余弦定理可得：2ac×"+'一>=：a2-b2+-be,整理得b=4c=4,2ac4又因为。为中点，所以AO=J（A5+AC）,设AB,AC的夹角为仇AD2=；(AB+AC)2=；何2+2ABAC+AC2=(C*+2CCOSe+/)=:(17+8CoSe),IUUDi1pAD=-17+8cosUUUUlU1zUU11UUIlU1.U1UUl2UUOUuUIg(l+4COSe)回l×17+8cos<9且A£)AB=5(AB+AC).48=5(A8+ABACj=-(1+4cos)因为tanBAD=独0,则