微专题11 二次函数根的分布问题（解析版）.docx
微专题11二次函数根的分布问题【方法技巧与总结】1、实系数一元二次方程以2+公+C=O(OHO)的实根符号与系数之间的关系=/?2-4ac>O(1)方程有两个不等正根西,wObx+x2=>OaCXyX2=>Oa=2-4ac>O(2)方程有两个不等负根%,9o-bx+X2=<0aCxix=>0a(3)方程有一正根和一负根，设两根为冷WOXlw=上<0a2、一元二次方程加+云+c=0("0)的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑:(1)开口方向；(2)判别式：(3)对称轴工=-2与区间端点的关系；(4)区间端点函数值的正负.Ia设用,占为实系数方程?+bx+c=0(>0)的两根，则一元二次OX2+bx+c=O(a>O)的根的分布与其限x1<X2<n1>0b<m2a/(w)>O1.加X<0O,lyIA1.m"X=Ox1=X2mcx1=x2m在区间（风）内没有实根1.>Ob<m2a/(w)O4yu>Ob>n2a/(w)Ok/(w)O/()<O在区间（加,）内有且只有一个实根/(w)>O5)<0y7(m)<0/(w)>O在区间（孙）内有两个不等实根°1.kI>0bm<<n2a/(w)>0,fW>O【题型归纳目录】题型一：正负根问题题型二：根在区间的分布问题题型三：整数根问题题型四：范围问题【典型例题】题型一：正负根问题例1.已知相为实数，命题甲：关于X的不等式皿2+如-4VO的解集为R;命题乙：关于X的方程V-2nr+机+20=0有两个不相等的负实数根.若甲、乙至少有一个为真命题，求实数，”的取值范围为【答案】（-20,01【解析】由命题甲：关于X的不等式标+侬_4<0的解集为R,当帆=0时，不等式T<0恒成立；fw<0当ZWWo时，则满足，、M八，解得T6<m<0,=m+16n<0综上可得-16<m0.由命题乙：关于X的方程/-2/2+机+20=0有两个不相等的负实数根,m2-/n-20>O整理得“<0m>-20=4m2-4(/n+20)>O则满足x1+x2=2m<Oxlx2=/?/+20>Om<-4或7>5所以用<0,解得一20z<-4.m>-20所以甲、乙至少有一个为真命题时，有-16vn0或-20<"z<T,可得-20V帆0,即实数的取值范围为（-20,0.故答案为：（-20,0.例2.关于X的方程以2+2x+l=0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件为.【答案】0或。=1【解析】若方程以2+2x+l=0有且仅有一个负实数根，则当=0时，=-i,符合题意.当。HO时，方程加+2+=0有实数根，则A=4-420,解得l,当。=1时，方程有且仅有一个负实数根X=-1,当且。工。时，若方程有且仅有个负实数根，则2<0,即<0.a所以当0或=l时，关于X的方程w2+2x+l=0的实数根中有且仅有一个负实数根.综上，“关于X的方程ad+2x+l=0的实数根中有且仅有个负实数根”的充要条件为”0或。=1”.故答案为：0或a=l.例3.若一元二次方程依2+3丘+女一3=0的两根都是负数，求4的取值范围为.12【答案】k<-k>3【解析】首先&0,设方程h:3履+上一3=0的两根为不，天，则菁<0,工2<°=，X1X2>0所以A=9%2-4%(%-3)03kC<0k9>。12,又A0,解得&<一<或2>3.12故答案为：k-?或A>3.例4,已知关于X的二次方程(2m+1口2一2,加+?-1=0有一正数根和一负数根,则实数机的取值范围是【答案<m<2【解析】由题意知，二次方程有一正根和一负根，2m+l0得?一1W解得T<m<.2m+1故答案为：-5<"zVl例5.若不等式or2+加-1<0的解集是11-1<x<g,求b的值；(2)若b=-%T,且关于X的方程0+fevT=O有两个不同的负根，求的取值范围.【解析】(1)由题意可得T和;是方程以2+反T=O的两个实根，则解得=3S=2.(2)因为人=-3-1,所以Or2-(3a+l)x-1=0,由题可知>(),则<T或一，3«+1八<“1由题意，方程有两个负根，即:解得Y<"0-Ia3>0,a综匚实数的取值范围是'-"<"例6.已知X、演是一元二次方程4去2_4履+A+1=O的两个实数根.(1)若演、均为正根，求实数女的取值范围；(2)是否存在实数&,使得(2i-xJ(芭-2七)=-成立？若存在，求出女的值；若不能存在，请说明理由.【解析】(1)由题意，一元二次方程有两个正根弓、巧故Aw0,A=(4幻2-16Z(k+l)°,即无°,且x1+x2=1>O,k+1八xlx2=>O4k,解得：<-l.,+lCx+x9=1,xx,=(2)由题意，当A°,即20时，有-4k(2xl-)(x1-2x2)=2xj2+2,2-5xx2=2(x1+x2)2-9xix2=2%：；D=-=-解得:k=,与人0矛盾.故不存在实数上使得(2%-%)(玉-2电)=-成立题型二：根在区间的分布问题例7.已知一元二次方程f+0r+l=0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则实数。的取值范围为【答案】(-,-2),/(0)=l>0【解析】设Cr)=+"+l,由题意知/(l)=2+<0,解得一q<-2./=5+20>0故答案为：(一1一2).例8.已知关于X的方程f-2x+=0.(1)当。为何值时，方程的一个根大于1,另一个根小于1?(2)当。为何值时，方程的一个根大于T且小于1,另一个根大于2且小于3?(3)当。为何值时，方程的两个根都大于0?【解析】(1)二次函数)'=-2x+的图象是开口向上的抛物线，故方程f-2x+=0的一个根大于1,另一个根小于1,则F-2+<0,解得”1,所以"的取值范围是"l.(2)方程f-2x+=°的一个根大于T且小于1,另一个根大于2且小于3,作满足题意的二次函数y=Y-2x+的大致图象，l+2+>0由图知，<l-2+67<O4-4+d<09-6+>0解得-3V<O.所以a的取值范围是。|3<a<6.(3)方程炉-2x+=。的两个根都大于0,f=4-4a>0(,1则匕>0，解得0<al,所以”的取值范闱是0<l.例9.己知关于X的一元二次方程2-20r+2=0,当"为何值时，该方程：有不同的两根且两根在。,3)内.【解析】f(x)=x2-2ax+«+2,因为方程V-20r+2=0有不同的两根且两根在(1,3)内，所以=4«2-4(。+2)>0/(l)=3-a>0/(3)=ll-5fl>0解得2<<*例10,已知二次函数y=x2-Z+一IaeR).故答案为:(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式f-2+*0;(2)若关于X的方程V2次+产-1=0的两个实根均大于-2且小于4,求实数t的取值范围.【解析】(I)设二次函数y=2-2+f2-l(rsR)的两个零点分别为为，*2,由已知得内+W=。,而X+x2=2r,所以2/=0,故r=0,不等式f-2a+产一l0即V-io,解得l或-l,故不等式的解集为l或=(-2t)2-4(t2-l)0-2<t<4(-2)2-2t×(-2)+t2-l>0(2)因为方程-2比+产-1=°的两个实根均大于-2且小于4,所以42-2t×4+t2-l>0j40-2</<4Z2+4/+3>0r2-8r+15>0解得：-1O<3,即实数/的取值范围为小1U<3例I1.求实数6的范围，使关于X的方程f+2(m-l)%+2m+6=0.(I)有两个实根，且一个比2大，一个比2小;(2)有两个实根且满足OVaVIV夕<4；(3)至少有一个正根.【答案】(DmV-IC75(2)<n<54(3)w-l【分析】设y=(x)=V+2(m-l)x+2w+6,一元二次方程根的分布主要从对称轴、判别式、端点值、开口方向这几个方面来确定.(1)设y=f(x)=x2+2(m-l)x+2n+6依题意有/(2)<0,即4+4(m一l)+2m+6v,得加<一1.(2)设，7(x)='+2("T)x+2m+6/(0)=2w+6>0依题意有/(1=4w+5<0,解得一54/(4)=IOzn+14>0设>=(")=2+2(M-l)"+2M+6方程至少有一个正根，则有三种可能:有两个正根，此时可得0/(O)>0,即.>0-2机4一1或wt5m>-3.-3</H-1.rn<1有一个正根，一个负根，此时可得/(0)<0,得mv-3.6+2/w=O有一个正根，另一根为0,此时可得“n八,.机=-3.2(m-I)<0综上所述，得mW-1.例12.方程7/-(4+13)工+片-4_2=0的一个根在区间(0,1)上，另一个根在区间(1,2)上，则实数。的取值范围为.【答案】(-ZT)J(3,4)【解析】令/(x)=7Y(+13)x+-2,因为程7/一(+13卜+42一一2=0的一个根在区间(0,1)上，另一个根在区间(1,2)上，/(o)>o所以/(l)<0,/(2)>0a2-a-2>0gp7-a-3+c2-a-2<0,解得-2vqv-1或3<<4,28-2(a+l3)+2-a-2>0所以实数。的取值范围为(-2,T)1(3,4),故答案为:(-2-l)(3,4).例13.关于X的方程x2-S-l)x+4=0在区间1,3内有两个不等实根，则实数”的取值范围是【答案】(5,g【解析】关于X的方程幺一(4l)x+4=0在区间1,3内有两个不等实根，令/(x)=d-(-l)x+4,=(-1)2-16>0解得5<ag,则有1<W<3/(1)=6-0/(3)=16-30所以实数。的取值范围是(5,§.故答案为：(5,y例14.方程f-(2-)1+5-。=0的两根都大于2,则实数。的取值范围是【答案】-5<-4【解析】由题意，方程丁一(2)x+5。=0的两根都大于2,令/(x)=2-(2-4)x+5-,0可得f(2)>0,即a2a+5>0f2-a>4故答案为：-5<aK-4例15.已知关于X的方程以2+k+2=0的两个实根一个小于0,另一个大于1,则实数的取值范围是【答案】(-3,0)【解析】显然00,关于工的方程渥+x
