微专题13 含参数二次函数的最值问题（解析版）.docx

微专题13含参数二次函数的最值问题【方法技巧与总结】I、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。.【题型归纳目录】题型一：定轴定区间型题型二：动轴定区间型题型三：定轴动区间型题型四：动轴动区间型题型五：根据二次函数的最值求参数【典型例题】题型一：定轴定区间型例1.函数/（力=£+3丹2在区间-5,5上的最大值、最小值分别是（）A.12,-!B.2tl2C.42»-D.最小值是-1.无最大值444【答案】C【解析】y=f+3x+2=1抛物线的开口向上，对称轴为x=-,，在区间-5,5上，当x=I时，y有最小值；=5时，有最大值42,函数f（x）=f+3x+2在区间-5,5上的最大值、最小值分别是：42,故选：C.例2.函数y=-2x+2在区间-2,3上的最大值、最小值分别是（）A.10,5B.10,1C.5,1D.以上都不对【答案】B【解析】因为y=f-2x+2=（-l）2+l,且x-2,3,所以当X=I时，ymin=f当X=-2时，ymax=(-21)2÷1=10.故选：B.例3.若二次函数/(x)=4(x+2)(x-4)的图像经过点(0,-4),则函数/(力在Y,2上的最小值为【答案】【解析】由题知，/(0)=40+2)(0-4)=-4,解得=TI1gg则f(x)=5(x+2)(x-4)=a(xl)2-M所以当=l时，”力有最小值/=一'故答案为：-T例4.已知函数y=-f+4-2,当lx4上时)，的最小值是【答案】-2【解析】：y=-x2+4x-2=-(x-2)2+2,则二次函数在(to,2)上单调递增，在(2,÷)上单调递减，.在lx4上,当=4时有最小值一2,故答案为：2.例5.已知函数/=W-2x+5,XcT,5.则函数的最大值和最小值之积为【答案】80【解析】因为/(x)="2-2x+5=(x-1)2+4,所以当K=I时，/Wmin=/(1)=4,当=5时,Q)a=/(5)=(5-1)2+4=20,所以最大值和最小值之积为4x20=80.故答案为：80题型二：动轴定区间型例6.已知函数/(x)=f-吠(小>0)在区间0,2上的最小值为g(m).(1)求函数g(m)的解析式.(2)定义在(f,0)U(0,*o)上的函数MX)为偶函数,且当x>0时，h(x)=g(x).若妆。<力(4),求实数/的取值范围.所以当0<m4时,【解析】(1)因为f(x)=x2-nx=<y2,此时=/偿=-?；当机>4时，>2,此时函数X)=(X-在区间0,2上单调递减,所以g(m)=f=4-2m.综上，g(m)=,44-2m,n>4厂(2)因为x>0时，M%)=g(x),所以当x>O时，MX)="W'°<",4,易知函数(6在(0,+8)上单4-2,>4调递减，因为定义在(-8,0)U(O,+co)上的函数人为偶函数，且g)M4),所以0<rv4,解得-4<r<00<r<4,所以实数f的取值范围为(-4,0)U(0,4).例7.已知函数/(x)=2+2三+m(weR).当xT,l时，设，(力的最大值为则”的最小值为()A.B.0C.D.144【答案】C【解析】由f()=-(-mA+?+，故/3在(-,m)上递增，在(m,+)上递减，当mT,则xT,l上递减，故最大值M=(T)=T0,当一l<m<l,则最大值M=f(m)=m+m2=(/«+-)2一一-,2),244当相/,则xT,l上递增，故最大值M=/=3m-l2,综上，M的最小值为4故选：C例8.已知函数/(x)=x2-2(A+l)x+3.(1)若函数/(力为偶函数，求实数Z的值；若函数/(x)在区间T，3上具有单调性，求实数和勺取值范围；求函数/(x)在区间-2,2上的最小值.【解析】(1)因为定义在R上的函数/(X)=Y-2/+l)x+3为偶函数，所以VXR,都有/(-%)=f(x)成立，即VxR,都有丁+2(&+口+3=/2(&+1口+3成立，解得k=-.(2)因为函数/(幻"/-2伏+l)x+3图象的对称轴为X=Z+1,所以要使函数力在T3上具有单调性，则k+13,或欠+1T,即A2或k-2,则k的取值范围为(-8,-2u2,+).(3)若函数,W在-22上单调递减,则左+12,即上31,此时函数/(力在区间卜2,2上的最小值为/(2)=3-41.若函数/(%)在122上单调递增，则4+1-2,即A-3,此时函数“X)在区间-22上的最小值为"-2)=11+42.若函数/(x)在卜22上不单调，则一2"+lv2,即一3VZV1,此时函数“可在区间卜2,2上的最小值f(k+)=2-k2-2k.'341综上所述，函数“力在区间-2,2上的最小值为/。焉=2-2%-公,-3<2<1.+4k,k-3例9.已知函数f(x)=2+2ww+i.(1)若?=1,求/(x)在Tx3上的最大值和最小值；求/(x)在-2x2上的最小值；(3)在区间Tx2上的最大值为4,求实数机的值.【解析】I时，/(x)=x2+2x÷1=(x+1)结合函数图像得:/(%)在TW上的最大值是f(3)=16,最小值是/(T)=O;(2)./(x)=x2+2"tv+1的对称轴是X=-m,当TnV-2,即机>2时，函数在-2xW2上递增，当x=-2时，取到最小值-2)=-4根+5；当-2-m2,即-2<m<2时，函数在-2x2上先递减后递增，当X=F时，取到最小值/(%)=i+l：当->2,即mV2时，函数在-2x2上递减，当x=2时，取到最小值f(2)=4"z+5,综上所得，当m>2时，最小值/(-2)=Ti+5；当一2机2时，取到最小值f(ri)=TW2+1，当机<-2时，取到最小值f(2)=4m+5.(3)由(2)的讨论思路结合函数图像在-lx2内的可能情况知/(T)，/(2)中必有个是最大值：若/(-l)=2-2w=4,w=-l,代回验证：/(x)=x2-2x+1=(x-1)2,符合/(T)最大；若/(2)=5+4m=4,m=-l代回验证：4/(x)=x2-x+1=(-)2+,符合/最大;24Io例10,已知函数/(x)=W(X-4)淇中wR,且>0求函数/(x)的单调区间；(2)求函数/(x)在一/1上的最小值.X2-OJC,xOf(x)=j(x-a)=<l【解析】(1)由题知，函数1.T+”“VO,其中。>02当x0时，f(x)=X2-ax=(x-)2-则函数/V)在区间(0,二)单调递减，在区间G,+8)单调递增；222当x<0时，f(x)=-X2+r=-(x-y)2+-.则函数在区间(9，0)递增综上，函数/的单调递增区间为S,0),q，+8),单调递减区间为(0,今.(2)因为>0,所以当1即。2时，函数/*)在递增，在(0,11递减且"TYg"I)=，若/(T”，即时，min=(D=l-a,若/(；)</，即2v时，/(x)min=(-)=-p肖0、<1即0v<2时，函数在40递增，在(0,学递减，在(别递增，且/(一)=-，24224而0vo<2时，一;色乎即/()<吗)，所以0<<2时,/(n=(-)=-f,.综上所述，当O<T时,mta=;当时，f3mta=例I1.已知函数a(x)=*+1.(常数R).X(1)当。=2时，用定义证明y=Mx)在区间1,2上是严格增函数；(2)根据。的不同取值，判断函数y=力(X)的奇偶性，并说明理由;令/(x)=A(X)T-x+2,设/()在区间1,2上的最小值为g(4),求g()的表达式.Cf(x)=2x2+-【解析】(1)当。=2时，函数X,设.电1,2且内x2,则f(2)-/()=+-2x12-=2(Xj-X12)+(-)X2百ZX=2(x2-xl)(x2+X1)+-上=(x2-Xj)2(2+x1)一,XiX2XiX2因为<与，可得/一>o又由APX241,2,可得2(巧+%)>4,二一<1,所以2(巧+芭)一>0XlXlXIXl所以/(工2)-/(再)>0，即f(xj</(彳2)，所以函数y=f()是1，2上是严格增函数.由函数*)=+:的定义域为(-oo,0)U(O,+)关于原点对称，当=o时，函数/*)=1.可得/()=_!_=_!_=一/(幻，此时函数Fa)为奇函数;X-XX当O时，f(-x)=a(-)2+-=v2-,此时f(-x)-f(x)且f-x)/(x),-XX所以0时，函数y=()为非奇非偶函数.(3)f(x)=h(x)-X+2a=ax2+-x+2a=ax2-x+2a9XXX当a=O时,fix)=-X,函数在区间1,2的最小值为/(2)=-2；。时,函数的对称轴为一W若二-2=0<!J(X)在区间1,2的最小值为/(2)=6-2,.g()=6-2;2a4若在区间口2的最小值为yT+2T+孙若(1=。gJ(x)在区间1,2的最小值为/(1)=3a-,.g()=31；当。0时，x=，-VOja)在区间1,2的最小值为了=6-2,.g()=6-22a6-2,-4综上所述：g(。)=Irl1+2,-<Ci<一；4。423-l,-2例12.已知函数f(x)=x2+x-+1.xwR,R.当。=1时，求函数/(力的最小值X2+x,x1X2-x+2,x<1求函数/(x)的最小值为gg)./(x)=x2+x-l+l=【解析】由/()=+=>/()=1.÷ij-l(l),可知/(x)2;由f(x)-X2-x+2=>f(x)277÷-(x<l),可知/(x)744所以/("min=(g)=f(x)=<；+x-a