微专题24 绝对值函数问题（解析版）.docx

微专题24绝对值函数问题【题型归纳目录】题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题题型二：含两个绝对值的和的问题题型三：含两个绝对值的差的问题题型四：含多个绝对值的问题【典型例题】题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题B.(-co,1)54，+oo)D.(-l,+oo)B.(-2,4)D.(-oo,1)54,+oo)例1,不等式2x-3<5的解集为(A.(-1,4)C.(o,4)【解析】解：.2x-3<5,一.5V2x3V5,解得：-IVXV4，故选：A.例2.不等式|x-1|<3的解集是(A.(-co,-2)54,+oo)C.(1,4)【解析】解：IJt-I<3».,.-3<x-l<3»/.-2<xv4,故不等式的解集是(-2,4),故选：B.例3.若不等式-2x,x+3对任意x0,2恒成立，则实数的取值范围是()A.(-1,3)B.-1,3C.(1,3)D.1,3【解析】解：由不等式-2x,x+3时任意x0,2上恒成".，可得了(制=|。一2四的图象在10,2上恒位于直线y=x+3的下方或在直线y=x+3上,如图所示：£<02.<2，或J(2)=-4,5."2)=14-,5/(0)=|«|3由可得-1.,<O,由可得鼠就3,故实数4的取值范围是T,<0,或者底Ih3=-l,3,故选：B.y=x+3"/-3a2x2.变式1.已知，为常数，函数'=|一4XTl在区间0,6上的最大值为10,则f=2或6.【解析】解：函数yhfTXTl=I(X一2尸-4在区间0,6上的最大值为10,故有(6-2>-，-4=10,或z+4=10,求得，=2,或r=6,故答案为：2或6.变式2.己知不等式3x-o>x-l对任意x(0,2)恒成立，则实数”的取值范围是_(-,3)J72-+)【解析】解：>1等价于3i>1或3<1,解加>勺或x<等，当伫1<丝1,即。<3时，不等式解集为K,显然符合题意.24当a.3时，(0,2)u(-,U(-»+),42所以限2或三。，解得“或“.综上，实数。的取值范围是.7或<3.故答案为：(-,3)J7,+).AQ变式3.已知A,函数/(x)=x+二-+在区间1,4上的最大值是5,则4的取值范围是_(-oo4【解析】解：由题可知|%+±-。|+%5,即|工+3一。|,5-，所以为5,XX4乂因为xh,5a,X4所以5殁IkHa5-a,x4所以%-5别+-5.又因为啜k4,4M+-5,XQ所以加-5,4,解得心乙2故答案为：(>.2变式4.若函数y=f+3-在区间1,4上的最小值是4,实数的取值范围是_4.5+00)X【解析】解：由y=x+2在1,2)递减，2,4递增，X4可得y=x+?的最小值为4,最大值为5,X函数y=a-|x+3-a的最值在顶点或区间的端点处取得，X若/(1)取得最小值4,即a15=4,可得=4.5,4即有/(x)=4.5-x+-4.51.且此时/(1)=f(2)=f(4)取得最小值，成立；X若f(2)取得最小值4,即-4-=4,即有a.4;此时/(1)=a-a-5,f(4)=-5,f(2)=4,由/(2)/(1),解得a.4.5；当/(4)取得最小值4,即-5-=4,解得=4.5,成立.综上可得。的范围是4.5,+oo).故答案为：4.5,+oo)题型二：含两个绝对值的和的问题例4.不等式IX-Il+x+2,4的解集是()535335A.B.C.-2,-D.-,1)222222【解析】解：令/(x)=x-l+x+2,2xl,x,2则/(幻二、3,-2<x<l,2x+l,x.l.当工,2时，x+2+x-lM<=>-2x-l4,-2：2当-2vxvl时，有3»,4恒成立，当X/时，x+2+x-l三<2x+l4,.3力融257综上所述，不等式x+2+x-l,4的解集为1.故选：B.例5,不等式x+l+2.-2恒成立，则。的取值范围是()A.S3)B.(3,-h®)C.-1,3D.(to,-1!(JO，+)【解析】解：x+l+2-x.J(x+l)+(2-x)=3,.x+l+2r的最小值为3,.x+2-x.a2-2a恒成立».只需/一2口,3,-l3,的取值范围为-1，3.故选：C例6.若关于X的不等式|-2|+以-1|.4在/?上恒成立，则的最大值是()A.OB.1C.-1D.2【解析】解:由绝对值的性质得f(x)=U-2+x-l.。一2)-(X-I)I=1,所以/*)最小值为1,从而1.,解得1,因此。的最大值为1.故选：B.变式5.若关于X的不等式x-2+x-.在R上恒成立，则”的最大值是()A.OB.1C.-1D.2【解析】解：化简得：x-2+x-鹿I(X-2)-(x-4)=-2a,当-Z.O,即a.2时，上式化为q-2.4,实数无解：当。一2,0，即知2时，上式化为2-.4,解得力,2,解得小1,综上，实数的范围为,1,则实数。的最大值为1.故选：B变式6.不等式x+l+2x-4>6的解集为_(oo-I)U(3-+oc)_.3-3x,x<-1【解析】解：由于x+l+2x-4='5-九一1.,xv2,3x-3,x.2故当vT时，不等式即3-3x>6,解得XVT.当-1.,x<2时，不等式即5-x>6,解得%无解.当x.2时，不等式即3x-3>6,解得x>3练上可得，不等式的解集为(-8,T)D(3,+oo),故答案为(一8,T)U(3,+00).变式7.关于X的不等式x-2+x-8.在R上恒成立，则。的最大值为6.【解析】解：由绝对值的性质得f()=U-2+x-8.JCv-2)-(x-8)=6,所以/(x)最小值为6,从而6.，解得q,6,因此。的最大值为6.故答案为：6.变式8已知函数/(幻是定义在R上的奇函数，当x.0时，f(x)=(x-a+x-2a-3a).若集合x/(x-l)-(x)>0,xR=0,则实数的取值范围为_(f_.6【解析】解：xIf(x-1)-f(x)>0»xgR=0,则等价为F(X-I)-/(戏,0恒成立，即f(x-lJ(x)恒成立，当x.0时，f(x)=(x-a+x-2a-3a).若4,0,则当X.0时，f(x)=(x-a+x-2a+3a)=x».-/(x)是奇函数，若XV0,则一X>0,则f(-x)=-x=-f(x),则/CO=%，x<0»综上/(x)=x,此时函数为增函数，则/(x-1),/*)恒成立，若>0,若噫.时，/(x)=lx+c-x-2a)-3d=-x：当",2时，f(x)=x-a-(x-2a)-3«-a；当>2时，f(x)=-a+X-2a-3a)=X-3.即当x.0时，函数的最小值为-。，由于函数/Cr)是定义在R上的奇函数，当XVo时，/(幻的最大值为。，作出函数的图象如图：由于VXR,f(x-l),(x),故函数/(x-l)的图象不能在函数/(x)的图象的上方，结合图可得l-3.3,即&z»,1,求得0<%,，6综上4,一,例7.若存在实数X使得不等式|x+l|-|x-1|,/一3成立，则实数的取值范围为()A.(-00,+00)B.(-00,-21(J1,+00)C.1,2D.(-00,HJ2,+00)-2,x,1【解析】解：令f(x)=+l-x-l=2x,T<x<l,2,x.J则一2颔(X)2,即一2剌x+l-x-l2,若存在实数X使得不等式x+l-x-l,用一3。成立,则/-3a.2解得a.2或w,1.故选：D.例8.若关于X的不等式x+lTx-2>°2+2有实数解，则实数4的取值范围为()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(-oo,-3)51，+)D.(-00,-1)53，+00)【解析】解：x+l-x-2,(x+l)-(x-2)=3,.-3U+l-r-23,由不等式x+l-x-2>+2有实数解,知3>+2o,解得-3vvl故选：A.例9.若关于X的不等式|x+l|-|x-2|</-4有实数解，则实数”的取值范围为()A.(-00,1)53，-K»)B.(1,3)C.(-co,-3)U(-1,+oo)D.(-3,-1)【解析】解：x+l-x-2表示数轴上的X对应点到T的距离减去它到2的距离，它的最大值为3,最小值等于-3,a2-4a>-3,a2-4«+3>0».>3,或vl,故实数的取值范围为(Yo,1)<J(3÷),故选：A.变式9.对所有的xH,不等式|x-20|-|x-5,/+2恒成立，实数的取值范围是_(-00-5J3-+oo)一【解析】解：VIX-20|-x-5,15,对所有的xwR,不等式x-20-%-5,。、加恒成立，则Y+25,解得4,一5或4.3.故答案为(一8,-5J3,+oo).变式10.关于X的不等式|x+3|-|1-1|,苏-5的解集不是0,则实数4的取值范围为_(-oolU4+oo)_.【解析】解：x+3-Im(Ar+3)-d)=-4,(x+3-|x11)WHn=-4V不等式式+3-x-l,"-5的解集不是0,.只需/-54.(+3-x-l).=T,.a2-5+4.0>."/或4,1,的取值范围为(-co，1J4,+oo).故答案为：(-00,1J4,+oo).题型四：含多个绝对值的问题例10.设函数/(x)=x+l+x+2+x+2018+%-l+x-2+x-2018(XWR),下列四个命题中真命题的序号是()(1)/(力是偶函数：(2)当且仅当X=O时，/(x)有最小值；(3) f在(0,3)上是增函数;(4)方程/(/-5+5)=/32)有无数个实根A.(1)(4)B.(1)(2)C.(1)(2)(3)D.(2)(3)(4)【解析】解：/(x)=x+l+x+2+.+x+2018+x-l+x-2+.+x-2018,.*.f(-x)Wx÷11+1x÷21+1X+20181+1-x11+1-x21+1x20181=I1""X