微专题22 函数嵌套问题（解析版）.docx

微专题22函数嵌套问题【题型归纳目录】题型一：“/(/(*)="型问题题型二："/(g()=人"型问题题型三：复合函数y=()-X的零点问题题型四：复合函数y=g()-的零点问题题型五：含参二次函数复合型零点问题题型六：零点求和问题题型七：其他型【典型例题】题型一：“/(/(*)="型问题例1.设函数/(X)=幻X-2I，/是函数g(x)=(f(X)-I的所有零点中的最大值，若(%,Z+1)(AZ),则Z=.【解析】解：,函数/(x)=xx-2,当x(0,2)时，f(x)=xx-2=x(2-x)=-(x-)2+,y1；又/是函数g(x)=(x)-l的所有零点中的最大值，所以/(O)=1+应，且/(2)=0<l+2,f(3)=3>1+应,因为j(A,k+1)(/:Z)»所以A=2,故答案为：2.例2.设函数f(x)=xx-2,则当XW(0,2)时,函数/(x)的最大值等于，若/是函数g(x)=(X)-I的所有零点中的最大值，且陶e(k,Z+1)(AZ),则Z=.【解析】解：当XW(0,2)时,f(x)=xx-2=x(2-x)=-(x-I)2+1,1;作函数/(X)=KlA2的图象如下,X=I或=l+&：又与是函数g(x)=f(x)-l的所有零点中的最大值，.f(%)=l+应；且7(2)=0<l÷2,f(3)=3>l+2；故k=2.故答案为：1,2.例3.己知函数/(幻=也叱+>"(7叫则函数g(x)=/Va)-1的零点个数为()5-x,3,+)A.3B.4C.5D.6【解析】解：令g(x)=/(/(x)-l=O,可得/(x)=-g或"r)=l或f(x)=4,函数/()=T%"+>""T3)的图象如图所示，5-x,xw3,+oo)由图象可知，当/*)=-3时，有1个解；当/(幻=1时，有3个解；当了3=4时，有1个解.综上所述，函数g(x)=f(x)-l的零点个数为5个.故选：C.变式1.已知函数/(x)=FgFI)'"'1，则函数g(x)=/V(X)-1的零点个数为()l-x+4x,X>OA.4B.7C.8D.9【解析】解：令/(X)=1，解得x=2±G或=一1,则令g(x)=O,可得*)=2±J或/(x)=-l,作出函数/(x)的图象如图所示，由图象可知，/()=2+6有3个零点，f()=2-有有3个零点，/(X)=T有1个零点,故函数g(x)有7个零点.故选：B.变式2.已知函数人幻=(T)'F<°),则函数g(%)=f"(x)+l的零点个数是()x-2,(x.0)A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】解：设M=(x)+1,解/(M)=O,得M=2或M=T,当M=-I时，由f(x)+l=T,得log2(-x)=-2或%-2=-2,即得K=O或X=-1.4当Af=2时,由f(%)+l=2得W即Iogz(T)=I或x-2=1.即4=一2或x=3,综合得:函数g(x)="(x)+l的零点为：工=一2或x=3或X=O或x=-!"共4个；4故选：D.变式3.已知函数f(x)=f+q,集合A=x(X)=0,xgRfB=(xf(f(x)=0,xR,若3为单元素集，试求q的值.【解析】.集合A=b"(x)=0,B=x(x)=0)/.ABB=xf(fM=0=x/2(x)+/(x)+=0)=xKf(X)+；/+g-；5为单元集，./(X)=g,4A=x(x)=0)=xx2+x+q=O,xwR,当A=0时，8=0不符题意，故A。，当A=x|x=_；)时，=1-4<=O,解得：4=；，(X)(X2+X4)+(X÷Xd)÷=O444,11X+X+=-=942-1-71-422+x+2=0,方程无解，不符B为单元集，故A*>=-J.方程f+g=0有2个不相等的实数解:_f-l-yl-4fT+Jl-4%=12'2AB当二1一年而WBM有7一年而=解得：=弁2巨或%=三虫（舍去）.同理当士号CB时有“=下或呼（舍八妗卜-3+23多人上,C1.=-4题型二："/(g(x)=A"型问题例4.已知函数/(幻=一/一21，g")="无x+l,x,O(1)求g"(1)的值；(2)若方程g"(x)-=O有4个实数根.求实数"的取值范围.【解析】解：(1)f(1)=-1-2=-3,gf=g(-3)=-3+l=-2,即g"(I)=-2.(2)令/(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程/(x)=f在E(fo,l)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y=g()(r<l)与y=的图象有2个不同的交点，作出函数)，=g(/<1)的图象，如图；g=1+i=g*)=x+»2E=2xg=l,由图象可知，当l,<3时，函数y=g(f),«<1)与y=有2个不同的交点，即所求的取值范囿是口，j).例5,设函数/(x)=-%2-2x,g(x)=<X+4x，X>°fh(x)gf(x).x+l,x,O(1)求函数MX)的单调递增区间.(2)若关于X的方程力(x)-=0有4个不同的实数很，求实数”的取值范围.【解析】解：(1)令一/一2X=O得，x=0,或=-2;.当X,-2,或x.O时，f(x,0,当一2vxv0时，F(X)>0；.h(x)=/（八）+wi-2x+l,x剌-2或XO当X,-2时，函数(X)为增函数；x.O时，函数力(X)为减函数;当一2vxv0时，令f(x)=r,Ovivl,设y=h(x)>则：y=/+»Ovrvl,y=/+为减函数,/(»1)时，y'>O,y=r+'为增函数；2"4r令/(X)=-炉-2x=；，WlJx=-l±-»,当-2<工<-1-4时，/(%)为增函数，g(x)为减函数，故(X)为减函数；当-1-等<%<-1时，/(乃为增函数，g(x)为增函数，故人(Jo为增函数；当7<x<T+#时，/(x)为减函数，g(x)为增函数，故h(x)为减函数;当-l+<x<O时，/(x)为减函数，g(x)为减函数，故(X)为增函数；综上所述，函数力(%)的单调递增区间为-1-孝，-1,-l+y,+00),(-00,-2：(2)由(1)可得，当X.0或%-2时，力(戏,1；x=-lF,力(幻取得极大值°X=T-立时，Kr)取得极小值1;42%=T+也时，力(X)取得极小值1.2由方程以幻-。=0有4个不同的实数很，即为y=4")的图象与直线y=。有4个交点.则的取值范围是1，-).例6.设函数f(x)=T2_2矍g*)=4+元，x>°,MX)=g"(),求函数(X)的单调递增区间.x+l,x,1O【解析】解：令一x2-2x=0得，x=0»或=-2;.当二，-2,或x.0时，F(X)M0,当一2vxVO时，U)>0;/、f(x)+-77»-2<X<0./?(%)=4(x)；-X2-2x+,xJ-2,或X0(1)当工，-2时，函数力(功为减函数；(2)当-2<xv0时，令/(x)=r,Ovrvl,14/2-I设y=(x),则：y=t+,Ovrvl,/=-；4r'4广.f(0,q)时,y<0,y=+1为减函数，f(,i)时,y>0,y=r+0为增函数;令/(X)=-X2-2x=;,则x=T±*,.当-2<x<T-孝时，/(%)为增函数，g(x)为减函数，故力(X)为减函数：当-l-*<x<T时，/(X)为增函数，g(x)为增函数，故人(%)为增函数；当-l<x<T+喙时，/(x)为减函数，g(x)为增函数，故力(%)为减函数：当-l+vx<0时，八幻为减函数，g(x)为减函数，故(幻为增函数：(3)当X.0时，为(%)为增函数;综上所述，函数/?。)的单调递增区间为-1-也，T,-1+立，÷oo).22x+1",O变式4.已知函数/(x)=-2x,g(x)=1,若函数y=g"(x)-有4个零点，则实数。的取x+;x>04x值范围是.【解析】解：由题意可得函数y=g"(x)与函数y=有4个交点，如图所示:故答案为U，彳).变式5.已知函数/(x)=J3f+,g(x)=+薮,则当方程g"(x)-=O有6个解时”的取一厂6x8,尤，O值范围是()A.<a<-B.a>3或一&,(IC.a>-D.网71444【解析】解：.函数f(x)=3-3f+1,g()=g()=/+元*>°,_%26x&,0f,W=3d-6x,令ra)=o得：x=o.或工=2,故当X=O时，函数/(外取极大值1,当x=2时，函数取极小值-3;则fM与y=根的交点情况为：当zwv-3,或时，有一个交点；当帆=一3,或?=1时，有两个交点；当-3<"z<l时，有三个交点；yig()与y=c的交点情况为:当OVaVl时有两个交点，一个在区间(-4,-3)上，一个在区间(-3,-2)上;当=l时有两个交点，个为-3,个为1.；2当白l时有两个交点，一个在区间(0，)上，一个在区间g-,1)上.若方程g"(x)-a=0有6个解，g(。一4=0有两个根，均在(一3)上,故(l,$»故选：A.题型三：复合函数y=f()-的零点问题例7.定义：若函数/(力对于其定义域内的某数/，有/(XU)=X0,则称/是/(x)的一个不动点，己知函数f(x)=0x2+(Zj+l)x+b-l(aO).(1)当=l,b=3时，求函数/(x)的不动点；(2)若对任意的实数人，函数/(力恒有两个不动点，求的取值范围；(3)在(2)的条件下，若y=f(x)图象上两个点A、8的横坐标是函数/(x)的不动点，且A、8的中点C在函数gCr)=r+-的图象上，求b的最小值.54-4+l【解析】解：(1)f(x)=x2+4x+2,由x2+4x+2=x,解得x=-2或x=-1,所以所求的不动点为T或一2.(2)令加+(b+l)x+b-1=%,则Or2+加+。一=o，由题意，方程恒有两个不等实根，所以A=-4S-l)>0,即-4Z>+44>0恒成立，则=16/16<0,故OVaV1.(3)设Acr,j1),B(x,K),(x1x7),g(x)=-x+,Sa-4+l又AB的中点在该宜线上，所以g(土)=-土+r_=土½,225a2-4+l22a1、5«2-4«+1而王，声应是方程的两个根，所以内+2=-g,即1=52工+,1.2/225/_4+1(1)2_4(1)+5(l-2)2+laaa.当=