利用数形结合解决关于min{f(x),g(x)}, max{f(x),g(x)}的问题.docx

利用数形结合解决关于minf(x),g(x),maxf(x),g(x)的问题解决分段函数的方法通常是两种：分类讨论和数形结合。minf(xXg(x),max(f(x),g(x)是一类特殊的分段函数：minf(x),g(x)指在定义域范围内取两个函数中较小的函数，maxf(x),g(x)指在定义域范围内取两个函数中较大的函数。一般的分段函数通常是对定义域进行分段，minf(x),g(x),maxf(x),g(x)是对值域进行分段。如，对,bR,记maxa,b="-，函数/(x)=maxx+l,2x以下用两种方法来获h,a<b得函数/的解析式1 .分类讨论法当x+l2x时，即xl时，f(x)=x+l当x+l<2x时，即x>l时，f(x)=2x2 .数形结合法分别作出y=x+l,及y=2x的函数图像(图1)图2根据题意比较两个函数图像的位置关系，由y的值“上大下小”可得y=f(x)的函数图像如右图所示的实线部分(图2)。由函数图像知，只要求出两函数图像的交点坐标A就可以得到函数y=f(x)的解析式为x+l,x12x,x<1/(x)=<,同理可得minx+l,2x二4。2x,x>lx+l,xl对于较为简单的两个函数用分类讨论的方法也很方便，但是如果minf(x),g(x),maxf(x),g(x)中的f(x),g(x)比较复杂时，分类讨论就会显得费时费力，还会有分类不完全的担忧。例(2006年浙江)对,bR,记maxa,b=,，函数f(x)=maxx+1,x-2)(xR)b,a<b的最小值是()1 3（八）O(B)-(C)-(D)32 2作出两函数的图像(图3)为如图所示的实线部分，则令x+I=x-2,即可求出点A的横坐1 3标为一，所以f(X)的最小值为一。答案为C2 2图3方法总结:解minf(x),g(x),maxf(x),g(x)的问题分两步走：第一步，画图像；第二步,求交点坐标。变式.对,记maxa,函数/。)=0乂次+1,|1一帆|(%氏)的3最小值是不，则实数m的值是()2A.2B.-4C.3D.2或43解析：对m的值进行分类讨论：(1)当m>-l时，如图4(2)m<-l时如图5;由最小值是2,可得mwl观察图4和图5可知，f(X)的最小值在函数y=x+l与函数y=x-叫的交点处取得。所以令K+=解得W或者户卷21Slx+1=工解得X=-或者X=二112223 1由图4得当m>-lwn=-,代入x=,得m=24 25 S由图5得当mv-lrr-m=-,代入户-,得m=-422所以，答案为D.以上的几个例子都是关于max(f(x),g(x)的解法,对于函数minf(x),g(x)的解法也是同样的。