勾股定理的有关证明及全等构造专题练习.docx
勾股定理的有关证明及全等构造专题练习专题一用勾股定理证明线段的平方关系典例精讲题型一直接运用直角三角形探究线段间的平方关系【例1】如图,在锐角AABC中,ABC=45。,过点A作AD1BC于点D,过点B作BE±ACBE1AC于点E,AD,BE交于点H,求证:.BC2+AH2=2AC2.题型二构全等转换边，探究线段间的平方关系【例2如图,在等边AABC中,P为AB上任意一点,以CP为边作等边,CPQtl试问：线段AP,BP和线段PQ之间有何等量关系？写出你的结论并证明.题型三旋转法探究线段间的平方关系【例3】在ABCAB=ACt1.BAC=90°.(1)如图I,若点P是BC边上的一点,则BP+PC2与AP2的数量关系是;(2)如图2,若点P是BC延长线上的一点则BP2+PC?与Aa的数量关系是:从(1),(2)中任选一个结论证明.针对训练1.如图在48C中工C=90。,点M是AC的中点,MP148于点P.求证:BP2=BC2+AP2.2 .如图，在正方形ABCD中，BM,DN分别平分正方形的两个外角，且满足.M4N=45。,连接MN,求证：.BM2+DN2=MN2.3 .如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2,0）,点B的坐标为（4,0）,P为y轴正半轴上的一个动点，M为PB的中点，过点M作AM的垂线，交y轴正半轴于点C.当P点运动时，试求AC2-的值.专题二倍长中线与勾股定理典例精讲【例】如图在AABC中乙ACB=60o,RQ分别在AC,BC上,M是AB的中点,且.PMIMQ.若AP=4,BQ=6,求PQ的长.针对训练1 .如图,在ABC中,AB=StAC=13,BC边上的中线.4D=6.求BC的长：过点B作BE_1.Ae交CA的延长线于点E,求BE的长.2 .如图,点D为等边ABC的边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,且乙EDF=90。.若BE=4,CF=2“求EF的长F专题三角平分线翻折与勾股定理【例】如图,在RtABC中,NACB=9(,CD"1.AB于点D,AF平分NMC交BC于点F,交CD于点E,过点E作EHAB交Be于点H.求证:CF=BH;若AC=6,AB=10,求FH的长D针对训练1.如图,AC平分NBAD,CE_1.AB于点E.若AB=21,AD=9,BC=CD=10,求AC的长.C于点E,若PD=PE厕P为48C的准内心。2.我们引入如下概念，定义：到三角形的两条边的距离相等的点，叫做这个三角形的准内心.举例：如图1,PDJ_AC于点D.PE±B填空：根据准内心的概念，图1中的点P在上;应用:如图2,ABC中,AC=BC=13,AB=10,准内心P在AB上,求P到AC边的距离PD的长：探究:如图3.在等腰RtABC中,AC=BC=6,NC=90。,准内心P在48C的边AC上.求PC的长.典例精讲【例】如图,"BC是等边三角形,点D在.48C的外部,且ADC=30。,求证:.BD2=AD2+CD2.针对训练1.如图,P为等边,ABC内的一点，PA=4,PB=23,PC=2.（1）求NAPC的度数:求等边ABC的边长2.如图,在ABC中,AB=3,BC=5,ABC=60。,以AC为边向,ABC夕M乍等边4C。,求BD的长.专题五构旋转全等(二)旋转90。典例精讲【例】在ABC,AB=AC,点D在ABC所在平面内，且ABC=乙ADC=45。.如图1,当D.B两点在AC同侧时,求证:.BD+DC=>2DA,(2)如图2,当D.B两点在AC异侧时.探究BD,DC,DA之间的数量关系.针对训练图2图11.如图,在等腰RtABC中,AB=ACtD为ABC外的一点,且乙ADB=75°,AD=2,BD=2,求CD的长.2.如图,D,E是等腰RtABC的斜边BC所在直线上的两点,且.44E=135。,求证:CD2+BE2=DE2.专题六构旋转全等(三)旋转120°典例精讲【例】如图,在AAOB中,.4。=BO=13,0C=ItZ-AOB=120"OCB=60°,求AC的长.针对训练1.如图在AABC中,NBAC=12(AB=AC,点P在直线AB甘、且UPB=60。,.求安的值.2.如图.RSABCgRSEDENACB=NF=90。,NA=NE=30。,将EOF'绕着边AB的中点D旋转.DE.DF分别交线段AC于点M.K.猜想:当0o<ZCDF<60ooB,AM+CK_MK证明你所得到的结论：(2)若MK2+CK2=HM:求NCDF的度数和当的值.专题七构旋转全等（四）夹半角【例】如图,在ABC中.48=AC,BAC=120。,点D,E都在BC边上,DAE=60o,FD2=DE2+Ej求NAED的度数.针对训练1.如图,在等腰Rt4FC,ACB=90°,点D,E在AB上，上DCE=45o,AD=3,BE=4,求AC的长.2.如图,在AABC中,BAC=120。,AB=HC,点D为BC边上一点,点E为线段CD上一点且BD=2tAB=2®乙DAE=60°求DE的长.E专题八构旋转全等（五）=b或=5b型问题方法技巧线段间尤倍或5倍的关系联想90。或120。的等腰三角形，底是腰的、或百倍.其实质是构造共顶点的双等腰三角形.也匕典例精讲题型a=型问题【例1】如图.在等腰RSABC中”1.ACB=90。,.D是AB边上的一动点,ED1CD于点D.且CD=EDfEFlAB于点F,求证：.AC=2DF.题型二a+b=&C型问题例2如图.在等腰RtABC中,AB=AC,P为48C外的一点，若A,P两点在BC的两侧.且NBPC=90。,求证/P+CP=2题型三a-b=&C型问题例3如图.在等腰RtABC中,AB=AC,P为48CC外的一点若A,P两点在BC的同侧，且APC=135。,求证：BP-CP=y2AP.题型四a+b=遮C型问题【例4如图.在四边形ABCD中4ADC=60o,ABC=120。,且AB=C8,求证:.AD+CD=3FD.针对训练1.如图在ABC,ZACB=90o,AC=BC.AD平分NBAC,交BC于点D.求器的值.2 .如图在等腰RlABC中,NBAC=90P为AABC外的一点.若A.P两点在BC的同侧,且PA平分NBPC的外角,求证:.BP-CP0AP.3 .如图在ABC中,AE_1.BC于点E,过BC上一点F作FH±AC于点H,交AE于点K,FG±AB于点G,连接EG,若KE=CE,求证:AG+GF=2EG.4 .如图在AABC,AB=BC,ZABC=9()o,P为AC上的一点,E为BC上的一点.且PB=PE,求证:PC-PA=y2CE.
