2023解三角形热点50题训练（带解析）.docx

<)求角A的大小:(2记ABC的面枳为S.若HM=-MC.求四上的加小值.2S25.(2023盐亭县校级模拟)在AABC中,八C=而.。为Z½8C的角平分线上一点.且与A分别位于边Ac的两侧，XiZDCI5(P,/10=2.<1)求ZAA。的面枳:<2若4C=12C求8，)的长.26. (2023湖北模拟记MAC的内角A，BC的对边分别为a,bc.己知2hcosC=2,c2设=9,若点何是边AC上一点，2C./MAH=MH,求W?的面枳.27. (2023南平模拟>某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个:角形促储活动区域(即ABC区域).地面形状如图所示.己知己有两面墙的夹珀NAC8=：,NaA为锐角，假设墙C4,6的可利用长度(单位：米)足够长.(1)在AA5C中，边上的高等于BC>RsinZCtfi:4求该活动区域面枳的加大值.28. (2023桃城区校级模拟)记A4H?的内角八，B.C的对边分别为“，b.<-,已知(cosB+cosC)+(b+c)cos(H+C)=0.(1)求人；2若。为戏段比、任长战上的一点，II.HA1.AD.BD=3CD,求SinNAa).29. (2023春海珠区月考<t(Dcos+2cossin(C+-)三0.bsin"*cinCasin八-SinC,向量6加(2+cm)a=(8$A8S。，汾1.讨这三个条件中任选一个，补充在卜'面问题中,并解答.<）若+c=4,求A4WC的面积：<2>求&8C周K/的取值范附.47. （2022秋深圳期末）如图，有一个小矩形公园A/"："其中=20m,AD=l（n.现过点C修建一条宅宜的围墉（不计宽度与AB和AD的廷长线分别交于点£.F，现物小矩形公园扩建为:角形公园AEF.<1>当AE多长时，才能使扩建后的公园&怔五的面枳及小？并求出AAEF的以小面积.2当扩建后的公园A®的面积最小时,要对其进行规划,要求中间为三角形嫌地（图中阴影部分）,同也是等宽的公园健步道，如图所示.若要保证绿地面积不小于总面枳的求他步道宽度的以大侑.小教点后保刷三位小数参考数据：31732,5N2.236.153.873.tan2=2tan"1-ta'0参考公式:48. (2022秋长沙期末)如图.4Ctl'.角A.H-C的对边分别为a.c.(b+c+a)(b+c-a=ihc.<1>求人的大小:2若A8C内点P满足ZPAH=NPBC=ZPCA=ZPAC.求ZbPC的大小.49. （2023红河州-一模在+=I,CcOScSinA=（2-c）sinCcosA这两个条件中任选sin4+sin+c一个，补充到下面横线上，井解答.记AAflC的内角A.«.C的对边分别为.b,c,且<1>求4:<2)rC-GM-4.cos+oosC=l求AABC的面积.2023解三角形热点分类训练一.正弦定理（共2小Ji）I.t2O23漳州模拟）如图，平面四边形ABCA内接于削O内犯B>Q对用线AC的长为7,圆。的半径为半<1>若fiC=5,AD=CD.求四边形AeC/）的面枳：<2>求ABC周长的圾大值.1分析】（1在MOC中利用余弦定理求得NOC=g从而证得A4CO为等边三角形求得其面枳,再在MBC中利用余弦定理求得人83,从而利用三角形面枳公式求汨BC的面积，由此得解;<2>利用余弦定理也到（+cf=49+r.从而利用基本不等式推得"+g,巴杏，由此得解.【解答】裤：（1>如图所示，连结。A,OC.在A4OC中.OA=OC=.AC=T.所以cos/AOC=因为0<NAOC<,所以NAOC一年，则CJ,因为A)=CQ,所以AACO为等边三角形，fic,t,1«万，.1,C6493所以Sya)=-AC'sin=×49X=,23224因为NflC+z½DC.所以NABC=手，在A4C中，AC2=BC2+AU-2CAcosy,即4925AB2+5B.乂因为A8>0.在2S=bA84C,2co仪C=l+cos2A，c=SinC-¢8SA这三个条件中任选一个，补充在上面的问SS中，并根据这个条件解决下面的闫SS<1)求A：(2若人+c=",点。是C边的中点，求我段八。长的取伯范阳.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】(1)若选，曲遨意利用三用形的面枳公式，平面向J数>积的运算，同角三角函数基本关系式可求UUI八结合人e(0.),即可求解A的假：若选，利用二倍角公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式可得2coA+8sA-1=0,结合zte(O.11,).可得CaSA=J,即可求斛A的值：2若选，利用正弦定理,两痢差的正弦公式化简已知等式Sin(A-£)=：可求八-军£(-军,进而即62666可求解A的伯.2由遨意可知AD=g(A8+AC),两边平方，利用平面向家数髭积的运算可求4A)'=S-0+%根据OVbVG利用二次函数的性质即可求解AD的范困.t解答】解：若选，因为2S=/八8AC.所以2I6CSin八G>ccosA,可得Ian八不.2COSA又因为八w(O.r).所以八一2.3若选.因为2cos'生C=l+cos2A.2所以2<巴丁2si?1=l-cosA=2c<A，整理可得2coA+cosA-1=0,22解得COSA=1.或T.2又因为Aw(0,11),可得CaSAw(-l,D,所以CaSA=-.2所以A=X.3若选.因为cJQisinC<-cos.bi+c2-a2.cosA=>02bc因为是BC是说知-：知形，所以a2+c2-b1cosB=>0Iab/r+<,-j=ft,+(10-),-36>0即(+c2-fe:=36+(10-b)2>0.?W<h<-.+ftj-c,=36+6j-(IO->05>-l6，3b所以sinC=Vl-cos2C=所以S3杖=-ahsidC=Afr2+l(½-16.<fe<-554(-2K8-)i()=-j+IOv-16=-<x-5)'+9(<x<).15由.次函数的性侦可得当人二5时，g。）取坟大但为g（5>9,当X=?时.R(X)=吟.X-5M-5.DJJ所以K(X)Wdk，9,即-b，+l(H-16e(H±,9.所以-Z+10/,-16e(=.3,25255所以5<5、皿、,12.即&3。的面枳5的取值范围是（5，121【点评】本期主要考竹正余弦定理在解三角形中的应用，考锂转化思想与运算求蚱能力，希手中档题.7.（2023山东模拟）在AWC中，AU=IAC.。足边8C上一点，ZCAD=IZliAD.<1若NzMC=更，求处的值：4CD（2>若AC=1,求AD的取值范围.【分析】（1）首先求舟NfiAZ）、ZCAD,再在A4B/）、MC7>、MBC中分别利用正弦定理计算可得:<2>设4W=a,则NCAD=2a,N4C=3a,由面枳公式表示出SA但、SS皿>、Ssiat,即可得到sin3a=AZXsin+sinacos).从而得到AD=e°s°-.令l+cos=r,则AD=4/+-8.设Icos0,t/")="+3-8利用导数说明函数的单调性，即可求出/的值域，即可得解.It解答(1)解：由/8AC=卫.NCAO=2Z4D4可得NZMO=巴，ZCW=-.42【分析】(I)根据已知条件,结合向盘平行的性质,结合正弦定理即可求解:<2)先求出角C的取值莅因，再结合正茏定理，即可求解.【髀答】解：(1)”;(.2-c)，n(CosAoosC).II.nil/h»则"cosC=(2>-e)cos4.由正弦定理可得，sincosC=(2sin-sinC)cos,.,.sinAcosC+sinCcasA=sn(A+C)=sin=2sin"cosA.(O,y),.sinZ>O.2xsA=1.即CoSzI-,2由(1)可得.A=J.+C=y.BC为蜕角.()<C<-,2，解得JVc()<a-C<62.bJnBsM(行-C)/COSC+ynC点JcSinCsinCsinC2tanC2.tanC(.÷)二工-(0,3即,e(1.2),2tanC22JanC22涂上所述，-的取值范围为(1.2).c2【点词】本Si主要考直第三角形,考查转化能力,属于中档题.11.(2023湖曲模拟)已知C的内角八，B,C的时边分别为,b,c,且VWRSC+1.C.<1>求A的人小:(2若48C为跳角W角形，求£的取位范困.【分析M用用正弦定理进行边角互换，然后利用诱杼公式、和差公式和辅助角公式化简得到sin(A-)=1.【分析】（1）利用余弦定理角化边即可求解:<2在AWM和MCW中用两次正弦定理可得r2b,然后在中利川余花定理可汨，C的长度,进而可得COSB的大小,再在AW中利用余弦定理即可求解.Iac【解答】帕（1）由余弦定理可得2+>=2x丝=C即2/+仅，=a2+/-£/,整理可得/=->c,所以Ed=J关T因为0Vt<，所以A=g:<2>如图所示:由Sfi意可得AM是角A的平分线,A=,NBAMJ在中，由正弦定理UJ得,BW=H",sinBMsinB即也=把，解张in8=文鲁，3sinB47在A4CW中，由正弦定理可得-CM-=WfSinZCMfSinCAA/斛得SinC=工,所以SinC2sin>由正弦定理边角互化得C2h.在AAfiC中由余弦定理(67)2=6+4'-2b*2>(-3,解得>=6.c=l2,所以Cos8=；a2+-b2(67r+12-6:52×67×I2"iTF'在AAfiW由余弦定理得AM:=c2+Bf2-2×e×BM×cos=I2;+<47r-22×47X力，解得AV/-4.根据辅助角公式可得，sin（4-）=-.所以，=-623由.sinAysinC>所以SinC=*=1.得：C=-.所以8=三小262所以Sin八sin。，3n8=2sinC,ft1aJc.b=2c.即：a2-c2"£x-.点评】本SS综合考在了正弦定理，余弦定理，情助角公式在三角化简证明中的应用，限于中竹题.14.（2023桃城区校级模拟）记M8c的内角A.«.C的对边分别为>.c.已知A=包,。是边8C.Ntrl11sinBDsinZCAD3C:的一点，且÷/JC.hc2a1证明：AD=i<2)若8=2BD,求O)SzADC.【分析】（1）由Jg意利用正眩定理得sin8V）=g*,sinZCO