模型04 一线三等角模型（解析版）.docx
一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一第点线匕另外两条边所构成的角与这两个角相等,这W个相等的角落在同一直线上，故称“一税三等角”如下图所示.一线三等角包括一线三点角、一线三锐角、一线三饨角美型一：一做三立角模型如图,若/1、/2、N3都为口角，则有AACPsABjD.类型二：一成三悦角与一线三钝角模型如图,若/1、/2、/3椰为税角，则有AACPsBPD.证明：VZD,=l8O11-Z3-ZC4.ZC=l80o-Z-ZC¾,而N1=N3.'.ZC=ZDPB.,Z=Z2.：.ACPS如图,若1、N2、N3都为饨角,则有AA(%sA8PD(证明同锐角)B解题美餐】构迨融叙或全普三角好.才点一：一做三等角直角模型W1.如图.四边形ABCD中,ZAHC=NAa)=90°.AC=CD.BC4cm.W1CD的面枳为8c”产.解：过点DIVDHIBC,交RC的延长我于点H,.A8C=9(K.8AC+AC8-90",VZACD=W.：./.HAC-ZHCD.在八8C和AC7O中.ZBac=ZHSDZabc=Zchd,AC=CD；.AABgACHD(AAS),>H=C=4.'.BCD的面枳=X8C×f>=X4X4=8(m.；：；T1.:S.变火调练【变式I-I,如图，八在城段。G上，AbC。和。EFG都是正方形，面枳分别为7平方厢米和Il平方匣米,则(?£>£'的面枳等于平方厘米.斛:过E作于,如图,VZ1+Z2=9O.Z2+Z3=9O'.ZI=Z3.XVZEWD=ZDAG=90,ED=DG.MEDH2ADGA,：.EH=AG.Sabcd=Icht.SOGFE=Ikvn.CD=AD=77m.DG=11c11.RADG./'G=DG2-AD2=ll-7=2(cm)1.s(wCD×EH=CD×AG=×7×2=7cm2.故答案为：7.【变式1-21.如图.一块含45°的:.角板的一个顶点A与矩形AHC7）的顶点中:合，直角顶点E落在故BC上,另一顶点恰好落在边CD的中点处,若BC=I2.则AB的长为X.：.AB=CD,Z=ZC=90'.Z4E+ZA=9()1.八斤F足等腰亘角：.角形.AE=£F.ZAEF=90.：.NFEC+NAEB领；：.NBAE=NFEG在448E和ZSECFtdZB=ZCZbae=Zfec.AE=EF.ABEECF(AAS),：.AB=CE.BE=CF.；点F是CD的中点，/.CF=Acd,.BEHCFB.22;BE+CE=BC12.4A8+A812.：.AH8.故答案为：8.2【变式1-3.如图，在矩形AO8C"1.点A的坐标是(-2,I),点C的纵坐标是4.则&C两点的坐标解：过点A作Ao1.r轴干点D.过点B作HElx轴于点£,过点C作C尸.v轴,过点A作AFx轴,交点为E:四边形AC8C是旋形.：.AC/()H.AC=OB.；.ZCA=ZBOE.；在/Mb和4O8Cl中，'NF=BEO=90°Zcaf=Zboe.-.acafaboe<aas),：.re=cf=4-1=3.AC=OB；/AOA/BOE=NBOE+/OBE=wr.ZAOD=OHE.ZADO=ZOEB=90,：,'M)DS&OBE,二丝=图，li.OE-.即点8彦，3)."尸=°£=?OEBEOE3222小C的横中标为：-(2->-4",''f1-4).故选：B.222【变武M.如图.在平面宜角坐标系中,OA=AB.NaA8=90°,反比例函数y=K(*>0)的图象经XVZ4O=90-；./OAC+NZMO=90"且/8UA/八80=90”ABD=ZCAO且D=4CO=90",40=48/.ACO5D.4：.AD=COBD=AC"：A(n,I)(>0)；.OC=AD=I.AC=BD=n.：.B(i+n.I-).反比例南数忏K(X>O)的图象经过A.8两点X×I(l+n>(1-n).ft=二Iy.IXn二故选：儿才点二：一级三角悦角量钝角模型【例2】.如图.已知AA8C和川%均为等边:角形./)在BC上，/)«与AC相交于点尸,Ai=9.8。=3,则CT等于().".ZB=ZBC=('.ZfiAfHZDB=120*.ZDB+ZFDC=120'"BAD=NFDC又.8=NC=60",ABDsACDF,.:RD=CD:CF.I9:3=(9-3)：CF.J.CF=2.故选：R.A变式训练【变式2-1如图.3iAC,AB=AC.八8>8C点。在边8C匕CD=3BD.E,在城段八。上，Zi=ZZ=ZfiAC,若448C的面积为12,则ZlACF与A8OE的面枳之和为3.解：VZI=ZZ=ZfiAGI=ERA+8AW./BAC=ZFAC+7BAR.：.ZEtiA=ZMC.ZAEB=ZCFA,ZEBa=ZFACZaeb=Zcfa.AB=ACBEV5CF(S).二BE的面伙=CF的面枳.VCD=3BD.,BC=ABD,.A8/)的而枳2A8C的面积×I23.44.'AC广叮八AOF：的血枳之和=ZXABO的而根=3:故答案为：3变式2-21如图.在等边中，AC=9.点O在ACI：.且A0=3,点。是A8上一动点,连接0P.以。为圆心，OP长为半径圆如交8C于点。，连接PC,如果Po=PC,那么Ap的长足6.：PO=PD.,.OP=DP=OD.：.NDPO=60'.;等边AABC.A=8=60".AC=A8=9,：./OPA=/PDB=ZDP-60°,OMPD,VA0=3,：,AO=PB=3.P=6.故答案是:6.【变式2-3.如图1.在正方形八8C。中，E是边8C的中点，尸是C。上一点，已知N八EF=90'.求证:f=f2平行四边形ABeD中,E是边BC上一点，广是边C。上一点，/AFK=AOC,Z4AF=90=.1(1)证明t如图I中,设正方形的边长为力.：四边形人伙为是正方形.AZfi=ZC=W.ZfF=9C.ZE+ZFEC=9O4,NFEC+NEFC=90°,：./AEB=/FFC.,ABE<ECh.AB_BE,ECCF,:BE-EC-a.AH-C-2a.(2)如图2中，在AD上取一点"，使得F"=DE图2Y/八EF=90”.ZAFf=ZP=45",.AEF是等腰比角；.角形.=2EF."JFH=H).：.ZkHD-ZD=45',ZAHF=135*.；四边形ABCD是平行四边形，J.AD/BC,.,.ZC=1800-ZD=135°,/AHF=ZGVZAFC=ZZX-ZI-AH=ZEFC+ZAIE.ZAFE=ZD.ZHAF=/EFC.,.AFFCE.：.EC：HhEhAlI：2V2：2.EC2.DF2实战演练1 .如图，AC8=90',AC=BC.ADlCE.BElCE,乖足分别是戊D.E.AD=Icm,BE=女，n,则A.3cmB.3.5cmC.4ntD.4.5cm耨:'.,D±CE,BE1.CE./8EC=N(TM=90":/CA。+/ACQ=90'.AC8=90°.，/八3CE=90",，ZCAD=ZBCE,在44C0SC8E中，Zcda=ZbecZcad=Zbce.AC=CB4CDCt(AAS).：.CD-HE-3cm.CE-AD=Icm.：.DE=CE-CD=I3=4<m,故选：C.2 .lj.在矩形A8C。中，八8=4,BC=5,E为CD边上一点，将/>CE沿的折段，使得C常到矩形内点尸的位置,连接A匕tanZBAF=则CE=<55解：过点F作MM/4).交A8十点M,交.CDf点.N.KlV±A,MN1.CD.由折强可知,ECEF.BC=BF=烟.NC=NBFE=90°FM1/fR4''.anZlF=-=.AM2设尸M=,WlAW=Zt.8M=4-2x,在RtAZW<M中.由勾股定理可得.X2+(4-2x)2=(V5)2,解得X=1或K-普(舍去).F=1.W=-2.FN=MNFM=BC-FM=烟7,'：ZEFN+ZFEN=NEFN+NBFM=W.二ZFEN=NBFM.又，：NFNE=NBMR：.dEFNsAFBM,.BFBI."1""SEFFN即立=.EF5-l解得a=1.；.EC=故选：C.3 .如图,已知IIhZlA相邻两条平行直然间的距离相等，若等腰宜角八8C的三个顶点分别在这三条平行直城上，则Sina的值是（>解：如图,过点A作AOjjl干点C,过点8作比“于点&设5l2,G之间的M禽为I：ZG>÷ZACD-9(r,/8CE+/ACQ=9(.NCAD=NBCE在等腰卤角AAflC中，AC=RC.ZD(>EC-90o：.ACD,CBE:.CD=UE=1在RACD中AC=AD2+CD2=22+I2=5在等腋H角&AK中-2C=2×5=10sin=/=噜故选：D4.如图，在4A8C中.NC=OfF.N8=3()'.点。、£.尸分别为边AC、AB、C8上的点.且ADEF为D.1117耨：VZC=W),./8=30".设AC=1.则A8=14C=2.8C="ab2-AC2=VD=-tCD.D+CD=1.4D=.CD=.477过点D作DHlAB千H点.：.ZADH=W-ZA=W,j.ah=1d=,DW=Vad2-AH2足等边三角形，.".DF=DE.ZC=DHE=W.ZFDE=GO"."CFKDF=4CDF*/HDE=180°-30“6(=90'"CFD=ZHDE,；NFCD=NDHE=90：DF=ED.,.DCFEHD(AAS),.AE=43114IHE=CD=4.4_3二17.27-11=1111AEIT11,丽=Tr=I7，M选：d145.如图，在等边三箱形A8C中，4B=4,P是边AB上一点，BP=亳,。是边8C上一点(点。不马端点申合)，作NPf>Q=6(r,爪交边AC于点若CQ=e湎足条件的点。有且只有一个.则。的值为D.3解：；八8C是等边三角形,B=4.8=NC=60".AB=BC=4,
