模型16 胡不归最值问题（解析版）.docx
胡不归最值问题模型介绍【模型总结】在求形如rP8+AW的式子的最值问题中,关键是构造与kPA相等的线段,粕。8+"¼型同胞情化为P8+Pb型.而这里的PA必须是一条方向不变的线段.方能构造定角利用三角函数得到的等线段.t问题】如图，点P为射跳/上的一动点，A、8为定点，求P8+K的最小值.【问题解决】构造射城八。使得SinaPC!PA=k.CP=hP.将的SS转化为求PBPC收小人过B点作BCkAD交/于点P,交ADFC戊，此时PB+PC取到最小优即PB+kPA最小.'<U、,例题精讲【例1】.如图，AASC中，A8=AC=10,iaM=2,8£1.八C于点E,。是线段BE上的个动点，则CzH的最小值是.J5-.等D-JBElAC,解：（ara.（1D-Wf/.CMBFM.：.ZAEB=W,Van.4="=2.i殳AW=a,BE=2aAE则有：oo-<r+4fl2.2=2O,或-2>（舍开），H.=2a=5,'：AB=AC,BE±C,CM1B,Cf2½=4I（等/:二角形两腰.的高相等A*：ZDRH=ZABF：,ZHHD=ZfiEA.皿”噜=券=要BDAB5：.DH1/“J.3.0>平8）一（7>D/.3：.CD+DHCM.:453.；C心D的双小伤为4«.A变式训练【变式1-1.如图，ERtfiC.ZACfi=90",Z=30,.WJB=2BC.请在这一结论的基础上维续思考：若AC=2,点。是AB的中点，P为边CD上一动点,则4P总CP的以小值为（）；/八C8=90,点。是八8的中点,：.(I>=-AB=l>.2'：ZCAB=W.8=60",.8CC为正三角形，,/OCE=30°,PA-C7,.：.APCPAPPfAE.VZCA=30°,AC=2.Apge。的坡小假为我.故选：c.;BC【变式1-2.如图，在AABC中，A8=5.4C=4,sin=-的动点，则PCW>8的最小伯为孕.5_5一AcB解：过点P作PElAB于点E过点C作CHIAB于点HCBBDlAC.；/W）B=90：18。_1a<7交八（7于点）.点尸为跷段8。上Af=7c2-cE2=3D=4.中勾股定利得AowAB2-BD2=72-42=3,sin/A8/）二?等.ABBP53心=篙BP3工PC彳PB=PC+PED即点C、/、E:点共线时PCT>8ftH'.PCPB的G小竹为CH的长，,Sa"=y×AC×BD-×AB×CH.4×4=5×C.CH=书.rcTw的心小侑为书.故答案为：答.333变式1-3.如图，ZSABC在直角坐标系中，AB=AC,A（0,22>.C（I.0）,。为射跳AO上一点,一动点P从A出发，运动路径为A-Z）-C,点尸在AC上的运动速度是在Cz）上的3倍，要使整个运动时间以少，则点。的坐标应为.yl,AABOCX解：假设P在AO的速度为3.在C”的速度为1.设。坐标为（0y）,则A。=/->CO=y2+12=y2+1,二设广汉Ij/?可等式变形为：y-y2+l则，的最小值时考虑.V的取值即可,"+睁-挈）"壹-平，2=>2+lT'+'r-t+=0.-<-“二74t'4)0.二，的屐小值为近.“亚43.D的坐标KU.争,总时间解法.:黄设F在A。的速度为3%在CO的速度为优（M+cn,要使，址小.沈要黑+C7）最小.33ArAn因为AH=AC=3.过点8作8，AC交ACi也从交OAf/）玲连八/），Ssaco.所以能=借最小,就要8、。、HOCDH因为448C是等腋：.角形，所以BD=CD,所以婪呼+CC最小，¾½!SDHBD：?口.5：厂.囚为'H"，而人俯以空=祟,即鲤Z=W1所以。OBOD1OD=近4【例2.如图.0A8C。中NA=60'.AB=6.AO=2,P为边CD上一点,如百PO+2P8最小值为-fi3-.解：如图，过点尸作/71.U）,交人。的延长找F从；四边形人8。是平行四边形,.ABCD."JHPlAD.：.ZDPH=W,：.DH=-DP.HP=MDHP.YMPIA2PB=2诙-PD+PB>=2(HPPB),2二当点，点凡点，三点共战时,HP+PB<jiffi,即«/7)+2P8行最小值,此时：HII1H.A=60”,AZMBP=30*.M"=A6=3,M=3AW=33.则Ep)2P8矮小伯为仇分.故答案为：/.A变式训练【变式2-1.如图，在菱形A8C7）中,AB=AC=IO,对角线AC、8。相交于点。.点M在线段AC上,且AM=3,点P为戏段BD上的个动点，则MP%B的独小的是上但.22-解：如图,过点。作。从1.8C于E.wD;四边形4BC。是菱形，AB=AC=10,，八8=*'=AC=10/48/)=/CW),八BC足等边一:角形.：.ZABC-ZACfi-M)5.AZCflD=30,PElBC.：.PE=-PB.2：.MP*PB=PM+PE,2二当点M,点2点£共段且M£1.BC时，PM+PE有最小俏为MEVM=3,/.MC=7,工MPqPB的最小仅为2舁.他”Q呼-变式2-2.如图，AC是。O直径，AC=4.MC=30',点。是弦A8上的一个动点，那么3犯+OD的最小值为一上作HK/CA.DERK于E.OMBK尸W.连接OB.'：HK/AC.；.NDBE=ZBAC=W,fyRlD½1'.DE-HD.2：.ODDE.根据垂线ISfiMg可知,当点£与M通台时,“吗8”的值其小,最小值为。W.：7BAO=ZABO=30°,：.ZOHM=Mo,在RtO中."JO!i=2./08=60°.,.OM=OffsinW=3.>8+0D的最小值为炳,13【变式2-3.如图，在平面直角坐标系中，拈物线=号2-25的顶点为A点,且与X轴的正半轴交于点B,P点是该抛物战对称轴上的一点，则OPAP的域小值为)解得XI=0.X2=4,则8(4.0).峙I-23v-<.r-2)?-2yf.oa=22+(23)2=4AB-O=OB=4.AO8为等边三角形，二NOAP=30",P-,4P.,.MP垂直平分OB.IPO=PR,：.(万弓APPB+PH.当从P、8共线时，PB-PH的由坡小.而85但八8一噂X4一22.op-1.ap的Gi小值为23.故选：3.则A<2,23).的小他为BC的长.B.实战演练I.如图.在/1/«?中,NA=90°,Z=60.AB=2.若。是8C边上的动点,则2AD+OC的最小值是)A.23+<*B.6C.3+3D.4解；过点C作射线CE,使/8CE=30°,再过动点。作。匕1.CE,乖足为点F，连接A。，如图所示:在Rt/)FC中，ZDCF=30c.：.DF-X.2V2AXX=2<.4yX)=2()+DF),.当A.D.尸在同一电线上,即"1.CE%AZHDF的值/小.Ift小值等于垂线段"的长.此时./8=NA/)8=60”.二八8。足等边：角形.：.AD=BD=AB=I.在RlAC.Z=90，B=60',AR=2,.8C=4,ADC=2.二。1=WDC=1.2.AF=AO+DF-2+l=3.2（AD+/»）=2AF=6.2AH?C的最小值为6.故选：H.2.如图，在4A8C中，Z=I50.AB=2.P为AC边上的一个动点（不与A、C更合），连接8P.解：以A为顶点，AC为一边，在AC下方作NCAW=45°,过8作8。IAM/。，交4C于/，如图;由作图可如:AADP比等艘5角三角形.W=PD聋AP,.2-V.2-VAP+PB=PD+PB,W>P8取燃小侑叩是尸。一尸8取出小竹，此时&R匚S1.l1.8DU。，隼"+PB的最小Til即是8。的长.VZftAC=I5".ZC=45*.".ZADD=30',：.）=-A=I,BD=«AD=®.零十的以小位足6.故选：R.3.在AABC中，AC8=9（）',/>为AC上一动点，若8C=4.AC=6,则&BP+A尸的最小值为（A.5B.10C.5解：以A为顶点，AC为边在下方作CAM=45AC于M如图：2D.i()2过?作PFAMTF.过Rft：BDAMTD.交B、，Z、/.人/、Z八、.Vyf2H,'P2(BP'-AP).¾2P+APi÷.VZG1W=45.PF1.AM.是等腰直角三角形,：.FP=华",9.BpQ长4?最小即是BP+FP最小.此时P与£M介的长度，VZCAM=45i.BD1.M.工NAED=ZREC=45°,VZC=90o,sinZBEC-sin45'-隼UInNBE1.尊，BECE又BC=A.'=42.CE=4,VAC=6,E=2.IfljMII/CAAf-in45:=坐-AE?只储/">，午AP及小.oFD-合，即Bp牛”>最小值是线段BD.,.DE=2.工BD=BE+DE=5®.ep+ap的破小伙足VEbzj=IO,故选：n.4.如图所示，菱形A8C。的边长为5,对角线08的长为4«.P为OB上一动点,则AQQ号Cm的最小3C.25D.35解：如图,过点A作A，IeC于点儿过点尸住作OC于点匕连接八C交。BF点，.：四边形"A8C是芟形.'.AClOB.*'-OJ=JB=#,c=0C2-0J
