模型11 手拉手模型（解析版）.docx
手拉手模型两任意等膻三角形产生件版的全等或相似三角册,这样的共顶点模型，亦称“手拉手模型，是指两个顶角相等的等腰或者等边.角形的顶点更合,两个:角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似.寻找共膜点旋转模型的步界如下：0(1)寻找公共的顶点0(2)列出两组相等的边或者对应成比例的边0(3)将两组相等的边分别分敢到两个：角形中去证明二等或相似即U1.两等边三角形两等媵口角三角形-IrJ1.今论：连接BD、AE交于点F.连接CF.则行以下结论：< 1)ABCDAACE< 2)AE=BD< 3)ZAFB=ZDFE< 4)FC平分NBFE【俩】两个具有公共顶点的相似多边彩，在绕青公共顶点於林的过杈中.IB身检作共点旋冷候型；为了更加直践.我们形象的称其为“手拉手”理里。【基本模型】一、等边三H射手Hf-由金R图3图4二、JJ1.J三J"f粒手-由全两个共£i角顶点的等腰H角三角形，绕点C旋转过程中（B、c、。不共规始终有;Abcd=ZXACE:BD1.AE（位四关系）aBD=AE（数愤关系：FC平分NBFE：B于戊手蟆型的it*:两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。it4<i/“两等腰，共顶点”我型糠究<A-:等边三角彩中的手拉手模型【例1】.如图.C为线段AE上一动点、(不与点A.E重合>,在A£.同例分别作正三角形ABC和正三角形COE,八。与交于点O,八。与8C交于点P,BE与CD交于点。，连接户。.有下列结论:(I)AD=BE,AP=8。：NAo8=60”：DC=OP：为正三角形.其中正确的结论有.解：YAabc和Adce抢正.用形，AC=HC.DC=CE.NBCA=/DCE=仪)。.N8C+N8CD=ZDCE+ZBCD.：.ZACD=ZBCE,AC=BC在和Abce中Zacd=ZbceDC=CE.4CD(T(545).二八。二8£二正确：VCDCE.：.NCBE=ZCD.VZMC=ZZM7E=6O,ZSCD=60d=ZACfi.ZCap=ZCBQ6CP1C?'1'*AC=BCZacp=ZBCQ4CP5C(ASA).AP=8Q,.正研：PC=QC.二aCPQ为正三角形.正确Macmabce.：.ZADC=ZBEC.ZDCE60°=ZCA/HZADC.ZCAD+ZBJC=60.ZAOB-ZCAD+ZBEC-60".二正确：:八DCE是IE三珀形,.,.DE=DC.ZAOB=60*,ZDCP=GOo,ZDPOZAOB,：.NDPC>NDCP.：.DP<DC.WDP<DF二错误：所以正确的有©A变式训练【变式17如图，MBD.A4£C都足等边三角形,则NMC的度数是(A.I35oB.I25oC.120°D.IIOp翎：ABD,AAtC那是等边:向形，：.AD=AB.AE=AC.AIJAH=ZCAE=(if.ZADH=DUA=&F.：.ZDAB÷Z&XC-ZjCAE+ZBCZfMC=Zfl4E.jM)ACABAE(SAS).ZADC=ZABE：.ZBOC=ZBIX)+IMA+ZABE=ZlilX)+Z.IMA+ZADC=A1)H+/DtiA=60P+60。=120o.ZWK'HfJ',X数12(F放选：C.有如下结【变式1-2.如图.ZiOAC和aEBC均是等边三角形.AE,8。分别与7）、CE交千点M、论：八CE/AOCRCM=CMAC=CM(三)ZDAE=ZDBC,其中正确的有(A.®®B,®C.D.俐：丫ADAC和EBC均是等边三角形,1.AC=DCBCCE.NACE=NBCD.CEDCB,正确由将/AEC=NCBD,：3CNWAECM,：.CM=CN.正确WlftACDN.CDGV.<?/)“为等边:角形./CO8MT.又VZACD=ZCDB+NDBC=W,二假设不成立，错误；NDBaNCDB=WNDAE+E4C=60",而E4C=CC8,：.DAE=ZDBC.正确.二正确答案M故选：C【变式1-3.如图.ZA8C和/)E都是等边三角形,点。在8。1.-/兄与AC交千点1,.若A8=5.BDVBC卬八Of为等边：.角形，.,.AB=AC.D=AE.ZftAC=ZDE=60u,.,.ZRAD=CAE.1BAD-CAE(SA5),：.BD=CE=3./AM=/Aai=60".V4=C=5.DC=2.VZ4Cfl=ZCE-60.FM±BC.FNA.CE.:FM=FNVSok=4-X'EV.SFCE=±ceFN,22.SADFC一DC.2FCECE3.SADFCM_2sFCEEF3故答案为：-.才点二：等黑直角三角彩中的手拉手模型【例2】.如图,MCB和AEa)都是等腰直角三角形,ZACB=ECD=.。为4«边上点,若A"=5.BD=I2,则DE的长为科：.ACB和AEC&都是等接H角二角形.:.Cf)=CE.AC=BC.EGD=ZACK=903,:.ZACE=ZHCD.CE-CD(.ACE和C7)中.ZACE=ZBCD.AC=BC.AACEABCD(SAS).BD=AE=12,ZCAE=ZCBl)=45°.ZiD=9(r，.DE-aF7D7三12'+52»13.A变式训练变式2-1.如图.A8=3.AC=.连结BC.分别以AC、BC为直用边作等腰RtAAel)和等腰RtABCE.连结A£、IiI),当4£最长时，8C的长为()c.iTD.i7：.ZACDZjXCBBCE+ZjCB-KUZCEZDCB-C=DCflACEflAI)CB=I'.ZCE=Z.DCBCECB.CE三X,(S>lS).-.AE=BD-AC=CD=j2.ZAm=9(尸，.AD=>AC2+CD'=2.；AB=3.当点A在BD上时,BD最.最大值为3+2=5,如图.过C作小_1.ADJE，由等腿-用形“线台”寿。E=/1£=.E=AB+AE=3+l=4.ll:,f!:角形斜边中线等斜边半待AE=1.BC=CE2+HE:=17.故选：D.【变式2-2.如图.在RtABC中,AB=AC,点。为SC中点，点E在Ae边上.连接DE.过点式作AE的垂线,交AC于点F.T列结论:4ED三CFD:EF=Zw:8E+b=AC：SE«3=：A犷-其中正确的结论是一（填序号.解：.B=AC.ZBC=9(P.,DhBC''：'：.：.BD=CD=AD=1.BCZZiM>=NGV>=NC=45。，D1.BCBC=0AB2DFlDE.；.NEDF-乙DC=9(P,:/9E=NCDF，AD=CD.BD=C,:.MEDzCFD(ASA).故正确：,*,lE-F分别为AS.AClr时，EF=；BCAD-故不一定E确；.Z)三CDF.AE=CF.-：BE+AE=AB-：.BE+CF=AC,故I：确：.ADE三NCDF.：,SMK=SMWSn*03>=*“”+Imr=Sw=gxA。2,故正确：故答案为：【变式2-3.如图.ZA8C和<?&/,均为等腰直角三角形.E在八8。内,NCAE+NC8E=90，,连接BF.<I)求证：MAEsMBF,<2)若阴?=I,E=2.求Cf的长.(I)证明：.FA8C和ACEF均为等腰直角角形,Z4C=ZECF=45=,.,.ZACE=ZHCF.SES4CBF：解；SEsMBF,；.ZCAE=ZCBf,又嚼噜5口懵二匹.-2.又.C½E+C8E=9<)°,；.NeRF+/CBE=W,INEBF=W.E尸=BF+R尸=W+(2>2=3.W-3VCE2=2EF2=6.CE=6.才点三：任意等晨三角彩中的手技手模型【例3】.如图.在ZXAOS和(?0/)中,OAOB.(K=OD.OA<()C.ZAOB=ZCOD=3.连接AC.IiD交于煎M,连接。M卜列结论：4M8=36',AC=BD,OM平分NAoD,MO平分40.其中正确的结论是.解：<ZAOB=8D=36°.:NAoB+NBOC=NCofHNBoC即/40C=NSa),在4OC和ABOD中，OA=OBZaoc=ZbodOC=OD.,.AOC,B()1)(SAS),：.ZOCA-Z0l)B.AC=S故正明VZ0C=ZOBD.由三角形的外向性侦得；Z4f+/ORD=ZOAC/AOB.：.7AMB=ZAOB=W,故正确：法一：(1?OG1.AMTG.OH1.DMfH,如图所示.B*则/06A=No”8=90".VtBOD.：.OG=OH,MO平分Att),故正确；法二:YAAOCWBCD.：./GAC=ZORD.,A.,/.。四点共同.ZMO=ZBO=72".同理可得：D»C、M、O四点共Bl,：.NDMo=4DCO=TT=NAWO,，MO平分NAMC,故正确：假设MO平分NAOO,1!JZDO/ZAOM.6AM()tjDO1.ZaOM=ZDOM-OI=OM.Zamo=ZdiiotWH2Z)O(A”)，：.AO=OD.：OC-OD.：.OA=OC.而OAVOc故格误：A变式训炼【变式3-1.如图.等腰4C中,Z½C=l203.AC=4.点。为直线八8上一动点.以线段C”为假在右傀作等腹Aa>E且NDCE=I2（r,连接Af,则AE的最小值为（.ZCBE=ZCA/)=30°.CR为定f.ZCBE=3(为定俏.,ID在出线AB上运动时,E也在定直找上运动.“'1AE1.8E时，AE最小，TNCAB工资=ZABC=NCBE，.ZiB=9f''IE1JF；(合时,A£城小，仆RtCBF11.KFB=9CP-KBF=30°.,CF=-CB=2-.F=C+CF三6.八E的加小仇为八尸6故选：C.2【变式3-2.如图,在A8C中，AB=AC=5,NfM式=120°,以CA为边在/AC/的另一例作/ACM=NAa1.点”为边8C（不含端点）上的任意一点,在射线CM上截WtC£=8。,连接4）.DE.AE.设AC与DE交于点F,则纹段CF的
