模型17 阿氏圆最值问题（解析版）.docx
阿氏圆最值问题背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯啖如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k<kD,则满足条件的所布的点P的轨迹构成的图形为限.这个轨迹最Y由古希腊教学冢阿波岁尼斯发现，故称“阿氏圆”.模型建立：当点P在一个以。为冏心，r为半径的即上运动时,如图所示:易证：ABOPsZkPOA.,.舒=空=苏.二对于网上任意一点P都有笠=益=h时于任意一个阴，任意一个k的伯，我们可以在任懑：一条Il径所在口我上，在同侧适当的位置选取A、8点,则需罕=7="EJ技巧总结计算/贽+AW*最小仅廿，利用旃边成比例且左Jl粕构造录子型和俄三JI彩H«:在上找一,*P使得出+APS的值最小，解决步具体下:如图,将系数不为I的线段两端点与圆心相连即QPOB计宛出这两条线段的长度比H=k在OB上取一点C,使得史=A,即构造APOMsBOP,则££=，PC=kPBOPPB则%+A>H=H4+PC2AC,当A、P,C三点共线时可得最小值【例1】.如图.在RtZXABC中,NACB=90；CB=4.CA=6.0C半径为2,户为圆上一动点,连接AP.BP.则APfiP的最小值为.,：,'i<J(P-(H：；：；,1映使AP弓8P故小.只数八。+。/）以小.*1A.P.。住同第。我时,P+PDM'.即：APHP最小值为AD.2RtACD'l,.CD=I.4C=6.w-AC2-*CD2=V37”，林的敢小依为何,变式训练【变式1-1.如图.正方形A8CO的边长为%。8的半径为2,P为08上的动点,则l'f,在此上榭KB£=1.连接8P,PE.：正方形A8CC的边长为4.Qli的半径为2.C=4=CD.BP=2,EC=3：罢工搀，且NPBE=NPBEBC2BPIapbesacbp.BEPE_1"BP"PC"I：.PE=-PC2"6''CPD+"PC有最小值.当点。.点以点£三点共线时,PD+PE有最小（fi.即'>'('/)/.dc2ce2$故答案为：5【变式1-2.如图，在中，A=90;A8=AC=4,点E、尸分别是边人从AC的中点，点。是以八为同心、以AE为半径的圆弧上的动点.则PB+PC的最小值为_YF_.解：如图，在八8上搬取八Q=1.连接AH>Q,CQ， :点E、尸分别是边八8、AC的中点，点P足以人为圆心、以AE为半役的傀弧上的动点,.AP21 二二-AB42 P=2.Q=.AQ1 AP2：ZPAQ=NB",J.APQABP.PQ=pb.p+PC=PC+PQ>CQ.在RlZSAS中,AC=4,Q=.c=AC2+AQ2=16+1=V17.-l>+>c的必小俏17,故答案为：17.【变式1-3.如图,在直角坐标系中,以原点。为BS心作半径为4的圆交X轴正半轴于点A,点M的坐标为(6,3),点N的坐标为(8.0)，点P在圆上运动.则PMeW的最小值是5：.Ol=2.OP=A.01_2_1.-,OP420P=4.=lON82',P1.-OP"OP0N'又/P0/是公共向.POVOP.PI_01.J"PN0P2,'"=2PN.2：.PM0PN=PM+PIHIM,2二当M、P（图中0点八/花一条直线上时.PM+PIW小MlHB¼I242+325.故答案是5.【例2】.如图.在。"中.点A、点8在。()上,ZAOB=.r.OA=6.点C在。V匕MOC=IAC.点。是。H的中点，点M是劣孤AB上的动点,则CM+2Df的最小值为_410-解：延长。8到7.(WfiT=Otf.连接MT.CT.VOM=6.OI)=DU=3.OT=12.".OM2=OD-OT,.OM_OT,0DOM'VZMOD-NTOM.：.MoDS"OM,.DM.OM_1tHTOT2.".MT=2DM.VCW+2。M=CW+MT三CT.又；在RIAOCT中，ZCOT=90j.0C=4,OT=12."f'7'=VC2-HDT2=42+122=4>10f+2Vf>4l.CM+2OM的以小(l'i为10.，涔案为410.A变式训练【变式2-1.0。半径为2.A8./兄为两条直线.作。CUA8FC且C为Ao中点.P为同匕一个动点.求2PC+P/T的最小.是AO的中点，.0C=E,2.pcJP1"op"2'又'：NCOP=/POK.:ZOPSdPOK.-=.PK=2PCPKOP22PC+PE=PE+PK2EK.作f1.6C千点从iCOD,CoSNDOC="±，OD2：.ZDOC=W.，/£M=NDoC=60,.HE=OEsinfH=2×y-=3tw=52+(3)2=27IP最小他足2案】：27【变式2-2.如图，在密形OC。中，NCOC=90,0C=3,点八在0。上，AC=1.点8为OC的中点,点E是如Co上的动点.WlAE+2EB的最小优是二l.解：如图，延长OC至E使得CF=OC=3.连接EROE,.OEOF_,OB0E2NEoB为公共角：.AOBEsdQEF.BEOB_1"EF"E"T：.IBE=EF；.AE+2BE=AE+EF即八.£."三点共线时取得最小便即由勾股定理得【变式2-3.如图.等边AABC的边长6.内切同记为。是。”上一动点,则2P8+PC的最小值为_37-耨:如图.连接OC交。OF点。，取。£的中点R作O£1.8CF£FG1.BCFG.PB.OF-OP1.-一,OPOC2：ZFOP=ZPOc.:.AoPFSNoCP'：.CP=2PF,：.2PR+PC=2（4：PC+PB）=2<P+PF）.2:PB+PF3BF,.PB+PF的最小值为8F,VC=6.NOCE=30',.CE=3,OE=3OC=23.R=啜.GF=J逅,CG=-.44.MiG-BC-CG-.4由勾股定利得.2.2P8+PC的阪小侑为2BF=必.故答窠为：37实故演练I.如图.边长为4的正方形，内切期记为RIaP为硼。上一动点,则&囹+P3的最小值为“耨：设。半径为，.OPr-BC-2.p-2r=22.2取08的中点/,连接.,.o=2v0l=2=22.=2OP2.OPOB,"o=op,/0是公共角.tfOPPf>/.PIOI2一PB=OP丁'二22二当4、P./在一条宜线上时,AP-PBi.作IE1.ABFE,VZ4O=45j.AK=AB-BE=3二"Vs2+2io"内当小仇a,5V2M+Py2(PAiPB>,.加闲+P8的最小2×1025.故答案是25.2 .如图，堪形AO8中，AO8=90°,O=6.C是OA的中点，。是08上一点，。=5,P是篇上13-r2-解：如图,延长O八使八连接EeEP.OP.YO=O8=6.C分别是OA的中点,AOE=12,OP=6,OC=AC=3嗡端得1./'：.AOPEsAOCPPCOP1'PEOE2,.EP=2PC.PC-PD(2PC+PD)-(.Pl)+PE).当点从八，.，-i.iP(P)ffjti'<ls.=Vod2OE2=V2+122=13.PDPEDE=3,J。+"：的M小伯为13,D的值域小值为学.3 .如图，半Bl的半径为1,八8为巴径，八CBD为切度,C=,8。=2,P为孤八8上一动点，见喏*C+PO的最小值为DBD解：；八。是。O的切技.ZOC=90o,.oc=ac2oa2=2.取OC的中点/.连接P/,D1.OP12'OC三T21OI,2op"-".OPOI二、OCOP又/0是公共角.:.502mop,PIOI2"PCOP：.P再pc.22'号PCPD=P"P"P.I(-条直线上时,当PCP小=”.作:1.48FF.IElBDFE.'.'BE=IF=-AC=-.22o：.D1.BDBE1.W，2iE=BF=OB+OF=§'2二川DE2+IE2zl-2夸>c+p0公小FrE放答案是：-2.4.Rt4Oi1I1,ZAOB=,OA=8,OB=I0,以。为圆心.4为半径作阳。交两边于点C，D.P为劣弧C。上一动点，贝唠H+P8最小值为-26-.连接OR取OC的中点&嘿然"J，NPoE=NA8,OPOA2MPOEsgOP,.PE_OE1“PAOP'2'.i+PB=PE+PB.2;PE/PBWBE.二当8、P.E共线时，P£+。8减小.OE=4-OC=2.OB=10,2"ft=0E2-K)B2=22+102=226，p+pb的双小值是2265.如图，在边长为6的正方形ABC/）中，”为48上一点，且BM=2.N为边BC上一动点，连接MM点8关于MvXj称，对应点为尸，连接两，PG则册+2PC的奴小俏为斛；B*P关于MN对称，BM=2,如图所示,则点P在以M为例心，BM为半径的叩11.在线段MA上取个点E,使得ME=I.又.MA=6-2=4,MP=2,.KEJ.一而巧IPJ.1HA=4=2.IEHP,而乂；NEMP=/PMA,P<×>PM.PEJ.FW:PE=yPA=2(PC+PE)2Ct.M+2PC-2(如图所示.当且仅当AC.E:点共战时联汨以小位2CR*'CEBE2+BC2=32+62=35.用+2PC的加小M为本.6.如图，矩形AB8中.AB=2,AD=4.M点是BC的中点.A为圆心.A8为半径的圆交AO于点£点P在史上运动，则PMv1.)P的AM、值'为二解：取Af的中点K,连接PKKM.(1：KII1.BCFH,则四边形八W/K是矩形.可得IK=8"=1.K=AB=2.MP=2,AK=1.AD=4.pa2=akd,.PA_AK*ADPA'"：ZKAp-ZRAD.二四KS/»/>.PKAK.1.-tPDAP2：.PK-PD.2：.PMPD
