模型32 三角形中的四心问题（重心、外心、内心、垂心）（解析版）.docx
大招三角形中的四心问题（亚心、外心、内心、重心）Bl.三角彩的五心三角形的五心定义外心：三角形三边的垂直半分线的交点为三角形的外心,外心到三个顶点的距国相等：内心：三班形三个角的角平分成的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等：重心：三角形三条中戏的交点为三角形的重心，重心为中战的二等分点：垂心：三角形三边上的雨或其延长线的交点为三角形的垂心；旁心：与三角形的边及我他两边的廷长线都相切的胧叫做二.角形的旁切网,旁切圆的圆心叫做：角形旁心：三痢形有二个旁心.02.三角形的心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点.（2）强心的性质：武心到顶点的距离与正心到对边中点的距离之比为2：I.的心和三角形3个顶点组成的3个一:用形面枳相等.柬心到三角形3个顶点距离的和最小.（等边三角形）03.三角彩的外接与外心（1）外接Iflh经过三角形的三个原点的Bh叫做三角形的外接照.（2）外心：三角形外接IRI的10心是三角形三条边垂直平分战的交点，叫做三角形的外心.<3）概念说明：“接”是说明三角形的顶点在圆上，或齐羟过三角形的:个顶点.说角三角形的外心在三角形的内部：直角三角形的外心为直光三知形斜边的中点：饨角三角形的外心在三角形的外部找一个三角形的外心,就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点,三角形的外接网只有一个,而一个圆的内接三角形却有无数个.04.三角彩的内切与内心(1)内切圆的有关概念:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切国,三角形的内切圆的I场心叫/-：知形的内心，这个三角形叫做1刚的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.(2)任何一个三角形有且仅有一个内切网,而任一个I如都有无数个外切三角形.(3)三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距岗相等：三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.垂心：.角形:边上的高或其延长线的交点为角形的垂心.例题精讲才点一：三角形直心问题【例1】.如图.ZA8C的中线8/人CE相交于点F,若四边形AEH)的面枳为6.则的面积为ISaABD=SBCE,-S.ABD-S.,BEf=S.BCE-V.flt?".即S11aAEFi>=SBCf=6,故答案为：6.”变式训练【变式1-1.如图.在等腰直角二角形ABC中,NAC8=90。,AC=HC.C0_1.A8于点”,中线AK与：.OC是AABC科边AH上的中线.：.OA=OC.VAEJ½AC的中缥二点F是448C的公心，：.OF：OC=Is3,.OF1».AO3故答案为：4-*5【变式1-2.如图，在平面直角坐标系中.点B(-2,3),点C在X轴负半轴,OB=BC,点”为408C的重心，若拘ACMC战籽点。旋传90',则施转后三角形的曳心的坐标为.W：；08=BC.点M为BC的虹心./"M"=90'；点8(-2.3).点M(-2.I>.即MH=I.HO=2,C统新点O顺时针版其9O,如图，过点Ar作£>_1.x轴，"MOW=ZM,1)0=90：二MOC+M'OD=ZM+Z,WOQ=90',.W=ZMOC.TNCMH=NM'DO=W,OM-OM,.".MOHM'OD(AIS).,.OD=MH=.WD=OH=2.W,<1,2)：似羽C绕着点。逆用针旋转90',如图，标上所述：旋转后：地形的成心的坐标为<-1,-2）或（1,2）.故谷案为：（1.2）或（1.2>.考嬴二：三角形外心问题【例2.如图，点。是AA8C的外心.连接。从岩/QBA=17'，则/C的度数为解:连接OA.作C的外接圆。O,点。是AAHC的外心.OA=OB.：.NeAB=NCBA=VT.ZAOB=-2×7=146：.,.ZC=ZO=73t,2故谷案为：73.A变式训练【变式2-1.已知4A8C的三边a.b.C满足c-4+Zh-l=430,则八8C的外接圈半径的长为.解：Vk-4+ft+<r-l=4b+l-30.,.<fr*l-4b+l+4)<«r-IO>+25)+c-4=().<b+l-2)2+(ri-5)2+e-4=0b+1-2=0.rt-5=0.c-4=().解得,=5.b=3,c=4,AC=3,BC=5.AB=4V52=32+42.BCz=AC1AB2.八BC是口角三角形.OC为斜边，：.ABC的外接网的半径熄8C=.22故答案为：-.【变式2-2.如图，Zs48C的外接留的圆心坐标为解：设圆心坐标为(*,)：依题总得.A<4.6>,B<2.4>.C<2.0)则有(4-)2+(6-y)2=7(2-)2+(4-y)2=(2-)2+(-y)21即<4-x)2+(6-y)2=<2-x)2+(4-y)2=(2-x)2+y2.化简后汨x=6.产2,因此圆心坐标为<6.2>.才点三：三角形内心问题【例3】.如图，Rt4C,l,.ZC=90.C=6.HC=8.则ZSABC的内切般半径r=在RtABC,C=90°,AC=6.RC=Ss根捌句收定理A8ac2+BC2,0:四边形OECF中，OE=OF.NoEC=NOFC=C=90'；二四边形OECF型正方形：IH切线长定理.AD-Af-.BD=BE.CE=CFi：.CE-CF=2(C+C-B)t2即：r=<6+8-10)=2.2A变式训练【变式3-1.0。是ZU8C的内切酸，且C=9()°,切点为。.E.F,½AF.BE的长足方程x2-"M30=O的两个盘,则5"c的值为()A,30B.15C.60D.13CxEB解：如图：解方程2T3a+3O=O,得:X=10.x=3D-AF=IO.BD=BEf设CE=CT=笳则AC=IO+C=3+r由勾股定理,得：B2=ACiDC2.即H=(0÷)2+(3+.r)解得:x=2(负值舍去).AAC=12.BC-St因此SC=-4CflC=-×5×123(.22故选：A.【变式3-2.如图所示，在矩形A8CC中，8。=10,4ABO的内切/半径为2,切三边于E、F、G,则矩形两边AB=,AD=Atf2+Al)2AB2l(X)t设4A8"内切圆的半径为R.则以UAB+AD-BD、fi-2一即AB+A)=I4：联立比得:AB2+AD2=100AB+AD=14AD>AB.-K-故八B的氏为6.A”的氏为8.<Aw:三角希心问题【例4】.如图，是锐用ZiA8C的垂心(3条Ift的交点，若A"=8C,则/8AC的度数是.ZMtW=NBDH=NBEC=90"；NAHE=NBHD.：./EAH=ZCBE.住AAEHflEC中.ZEah=ZCBEZaeh=Zbec.AH=BC.AEH2BEC(AAS).".AE=BE，VZ4E=<M)j,ABE为零艘区珀的形,二NBAC=45°.故答案为：45".A变式训练【变式4-1.在AABC中，已知八8=5,CA=I,8C=6.H为垂心，则AH=解：ViAE=x,BD=y.则EC=7-X.DC=(>-y>½RtAAflfflIRtBCE.ABr-AE1=BC2-EC2,l25-=36-(7->2,斛得：小与：在RtAffDfiRtADC中，Afi2-HD2=ACi-DC2,即25-=49-(6-y)2,解得：.v=h在RtAfD中,AO2-BDiAl/.AJ26:XVAMCD.19.AE_AHm7_AHADAC2V67解得：八，=笔£:噂【变式4-2.如图.在八8C中“为垂心，。为外心，ZBAC=60,且AAZJC外接IaH径为10,则八M魁:址长AM交SCJO.延长CM交八8:£.作H.径8E连接八R如图,.8F为O的H径.：NHAF=90.黑=祟BF10C.AB=IOsinF=IOsinAC8.又点M为Aabc的垂心.4)1RC.CElrAft.Z4D=Z(?90.EfAD.AEO"ADAB,陪在RIAAEC中，ZEAC=60,.C=UE.BlIA£=八CflRADC'.snZCJ-.UPADAfsinZACD.ACrAC10sinZACB.AM=-7ACsin<ZACD故答案为5.实战演练,NA8C=45°,点O是4A8C的外接圆的切心，则/A08等于)C.130°D.140°解：VZflAC=70e.NASe=45°，ZC=ISO-70-45'=65,.Z6>=2ZC-130.故选：C.2.如图，“8C中,A8=8C=AC=3,。是它的内心，以。为中心,将AACC旋转180°得到B'C.则448C与'li,C重登部分的问枳为(B,C.D.fy/3解：'JAB=BC-=AC=3,：.Swc=-3.4Ch2,B'C,.；.仔个小三角形的边长与大三角形边长之比为：I：3,即相似比为；I：3.小三角形与大三角形面积之比为：I,9.二11、小:.加形的面枳足里，4二用影郃分的面枳是去巧.故选:A.3.小颖同学在手工制作中,把一个边长为Gm的等边三角形纸片贴到一个Ia形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个网上则网的半径为)A.23cmB.43cmC.fr3c>nD.sV3<'*n解：由图意硒图如下,则*C为等边三角形,且内接于。,AB=C=BC=6cm./460".OODlfiC于点D,则8D=CD=8C=30w,连接08,OC.WlOB=OC.'：ODlBC.：./DOR=-XROC.2VZOC=2A=I20q,"O""-三RlOD.VsinZDOB=-.OB.33el2OB：.OB=2y/3.故选1A.4 .如图所示，ZiABC的内切囤。与48、BC、AC分别相切于戊。、E、F.若NDEF=52°,则NA的度数是）由网周角定理知.ZDOF=2ZE=I04*：Z=I8O,-ZDOf=76*.故选：B.5 .如图，四边形A8C。中，B=D.BC=DC.Z=90,.ZC=601.若八8=5.则八ZM）外心与8CQ内心的矩离是（）解：如图.连接AC交BD于E.过点B作HF.CD于G-交AC于点F.'：AB=AD.CB-CD.二AC垂比平分80.VZfiD=90'.：.ZADD=ZADB=.VZCD=60u,BC=
