模型50 12345模型（解析版）.docx
12345模型模型介绍初中几何，克用三角册具有举足轻型的地位，贪物沏中教学的始终，无论是一次的数、平行四边掰、特殊平行四边舫、反比例函数、二次的数、相似、阅，都离不开立角三角彩而在立角二角形中，345的三角彩比台有3（F的苑角二角彩的I:JJ：2以及自有45。的直角三角形的1:I:0更加特殊更加虫要.同为345不仅仅是自己挣殊,史是可以在变化中E5藏更加特殊的变化（1:2:4及1:3:加），住合性非常大.黑货压轴港的喜爱。现在带领大家领您一下，345的独牯魅力'I-tan三12345模胆TI>a÷=45-tan-fAi.如图.在3x3的网格中标出了N1和N2.WIZI+N2=2.如图在AABC中.NBAC=45'.AD是BC边上的高.BD=3.DC=2.AD的长为.第2题3.A(0,6)B(3,0)在X轴上有一点P.若PAB=45",则P点坐标为【“123”+“45”的来】此外，还可以得到卜'm(+45)=2tan(jff+45)=3一般化结论：若a+/?a45。则行tana-.Ian/?=(a>1)4J+Ia当a=g时.则得到Iana=Itan/?=l(了解)当a-2时，则得到tana=：IanA=；(重要)'4a=<时.则得到Iana=三tan=(?);257当。=4时,则褥到tana=tan/?=(次重要)45Un(*J)-UfW<*Uf?1-UncrUnHlNItJN-r+-r=45T1.234.5”TT"4”T"I-"3'+=+=223334例题精讲【例1.如图所示的网格是正方形网格，则NM8+PM=()(点A,B,。足网格交点).A.30C.60D.75B.45J!PD2=)2=l+22=5.PB2=l2+32=10.PI)2+DH2-PB2.Z,DB=90i.ZDPB=PAR/PRA=.故选：B.A变式训练【变式17.如图，正方形A8C/)的边长为6,点EJ-分别在4BA。上，若。£=招行，且ECF=45'.耨：如图,延长产。到G,½IXiOEi连接CG、物：；四边形.A8C。为正方形，在48(T,jDCG.CB=CD,Zcbe=Zcdg.BE=DGfiCfDCG(SS).CG=CE,ZDCG=ZBCE,.ZGCF=454,GCF,jECF'.GC=ECZgcf=Zecf.CF=CFGCFfCF(SAS),GF=EF.：CE55CB6.:A'=CE2-CB2=(35)2-62=3,'.AE=3.设AF=x,则DF=6-,GF=3+(6-x>=9-x,3VaE2+x2V9+x2'<9-x)2=9+.v2.x=4BIJAr=4.GF=5./.DF=2.cf=CD2*DF262+22=2l故选：人.【变式1-2.如图.KRtAC.NC=90°.Z)为SC上一点.A5=5.4。=1.tan8<1>求CTJ的长；2）求sin的值.设AC=3x.HlBC=4x.J8C2+AC2=Aff2.,.(3x)2+(4)2=52.：.AC=3,C=4.：.CD=BC-BD=A7=3.<2)如图.过点B作BElAD于点E.：.NBED=ZACD.：/BDE与ZCDA是对顶角,：.NBDE=NCDA.：.4BDEs4ADC.BE-BD,ACAD,ftRACO,I,.ZC=W.D=2=cd2+ac2=32+32=3&.BE_1-TWZW.D=9()j.【例2】.如图,在边长为6的正方形AHCD内作ZE4F=45,.AE交BC于点£."交CD于点F,连接EF.将£>F绕点八顺时针加游90。得到若。F=3,则的长为2.法一：由题就可得,ADF2G,DF=BG,NW=N8AG,VZMB=9()i.ZEAF=45a,ZD4F+ZEAff=45.8AG+NEA8=45°.：.ZEAF=ZEAG.在£!GMF.AG=AF,Zeag=Zeaf,AE=AEMGe4F(SAS),：.GE=FE.设8£r.则GE-8G+8E=3+.C£=6-x.E,=3+.VCD=6.DF=3.：.Ch3.VZC=90'.<6-x)2+32=<3+x)2.解得，=2,即BE=2法二：tBE=.连接CF,如下图所示,；四边形AHc/)为正方形.INABE=GCF=90;-,AI)F,AIW时针施转90,存到ZU8G.二GAF=9<)'.GA=I-A.GIF为等腰直珀二地形，VZE4F=45,.：.AE垂Il平分GF,7AEB+ZCGF=We.VRt4A>*.AE8*8AE=90",：.NBAE-ZCGF.：.MAEsACGF,.BEAB二-.CFGCVCF-CDDF-6-3=3.GC=BC+BG=8C+。r=6+3=9.=2.即OE=2.故答案为：2.变式训练【变式2-1.如图.在斑形A8C。中.48=4,BC=8.点E./'分别在8C.CO上.若8E=2.NEAF=45,.则DF的长&_缸W解：取A).8C的中点M.N.连接AfM交A户于从延长CH至G.f½BG=MH.连接AGT点M.点N是Ad8C的中点.'.AAt-MDBN=NC=A.'：AD/BC.：.四边形RBNM是平行四边形，A8=AM=4,二四边形MWW是菱形.VZD=9()=.二四边形AtiNM是正方形.：.MN=AB=BN=A,ZAAf/=90,.1.18=AM,ZBG=ZAMH=W.BG=MH,.,.ABG2AMH<SS),ZBAG=ZMAH.AG=AH.EAF=45',Z.WAW+ZE=45o.：.ZGAH+ZHAlz-ZCiAE-NEAHS.GH.AE=AE：.EH=GE.：.EH=2+MH.在Rt，右N中,EH2=NH2+NE2.：.<2+W)2=(4-MH):+4.fH=43：MN/CD,.,.AGMSa7).AMMH,而Wn4y88343故答案为：-变式2-2.如图，在平面宜角坐标系.Qv中，my=r+m(nO>分别交X轴，y轴于A,B两点,已知点C(3,0).点P为戏段08的中点，连接¾,PC.若NC¾=45',则，"的值是18.解：作。=OC=3,遥接CO.则NPQC=4，如图,由),=-.r+,n可得A(n.0)»B<0.m).：.OA=OB,：.7ORA=ZOAB=45a.当JhVO时.APC>NC8A=45''.所以.此时C7M>45".故不合题意.m>0.ZC1=ZJO=45,二/8册+NOPC=N8AP+8¾=l35",WZOPC=ZBAP.PCDAPB.PDCD,，,W27b7bu2m12解得w=18.故答案是：18.Sv实故演练1.如图，在矩形A8C7）中8C=8.¢7）=6,将/?：沿折总,OE的长是（）A1s._PA.3B.咎C.5解：；矩形A8CC,ZD=90.由折於i'J得BEFBEA.Q使点A恰好落在对用线BD上尸处，则：EF工BDAE=EFB-BF在RlAAW）中,A8=CO=6.BC=Ao=8,根描勾股定理得：HD=10.即尸O=IO-6=4.设EF=AE=X,则有ED=8-x.根据勾股定理符:?+42=（H-x>2.解褥：=3,则DE=H-3=5.故选：C.2 .如图.正方形A8C/）中,AB=6.G是BC的中点.将八8G沿AG对折至aAFG延长GF交。C千点£,则。£的长是（）A.2B.2.5C.3.5D.4解：如图.连接AE,：四边形AHa)是正方形，：.AD(I)KC.Mi.«ZC=ZD=9(>.曲折叠得.AFAB.GF=BG=%CfNAFG=NB=<2.2AJ=AF.AFE=180"-/AFG=90'.：.ZAFE=ZD.'JAE=AE.RtA;feSRtA(/.).：.DE=FE.设。£=£F=x,则CE=6-x,EG=EF+FG=x+i,在RlACGE中，由勾股定理得,EG2-CEi=CG2,/.<+3>2-(6-)2=3，x=2.故选：A.3 .如图，在矩形纸片ABCD中，点£、尸分别在矩形的边A8、ADh,将矩形纸片沿C£、CF折朴，点.B落在处，点。落在G处，点CH、G恰好在同一宜线上，若AB=6,AD=4,BE=2,则。尸的长是；将形纸片沿CfCF折段,点落在处,点。落在G处.fiC=CW=4,NDCF=NGCF,BE=EH=2,Zfi=ZCME=W,.江&CPHfiCPf,l,.NCHP=NCNP=90°Zgcf=Zdcf.CP=CP.'.CPHW&CPN(AASM：.NP=PH,CH=CN=A'：/8=/Ba)=90",.W.VJCD.pq边形BCNM型矩形，又.0V=CB=4.四边形8CNM是正方形，MV=BAf=4,.EM=2,VEP2EM2+PM2.：.<2+JVP>2=4+(4-NP)2,4：.NP.3VtanZDCFNPDFCN3CD4,.3DF"46故选：A.4 .如图，在边长为3的正方形ABCC中，点E是边A8上的点，I1.BE=ZAE,过点E作。E的柔观交正方形外角ZCfiG的平分设于点F,交边BC干点“，连接DF交边BC于点M则MM的长为（D.1解：作FH18G交于点H.作FK1HC于点K.讣CBG.NKBH=W,，四边形8”K是正方形.'：DE1.EF.NEHF=90',；，NDEA+NFEH=%",NEFH+NFEH=90”,：./DEA=ZEFH.：/A=NEffF=90",：.DAES4EHF.ADAE,瓦而,；正方形ABCD的边长为3.BE=2AE. AE=11BE=2设/=“，则B"=<.31 二一2+aa静得4=1： ：FK1.CB.DC1.CB.D)CNs>fKN,.DCCN"FK"KN' BC=3,BK=.：.CK=2.
