2025优化设计一轮课时规范练28 利用导数证明不等式.docx
课时规范练28利用导数证明不等式1.QO23天津.20)已知函数危)=C+)ln(x+l).(1)求曲线产心)在x=2处切线而斜率；当xX)时,证明兆)>1.2.(2024山东潍坊模拟)已知函数KV)=In.r+<R).(1)付论Kr)的单调性；(2)当时,证明式目>盘.3 .(2024河北石家庄模拟)已知函数./(.t)=we'-x(I)若/(K)在R上单调递增,求实数«的取值范围；(2)当«=1时,证明:MrW(2+oc)IAX)>sin.4 .（2O24-1南益阳模拟）已知函数次x）=gr2lnx.（I）若函数HK）在（0+）内单调递增,求实数"的取值范用;（2）若=2eJiE明次x）xe1+l.5 .（2024广东惠州模拟汜知R.函数人x）=e"alnx.当=2e?时,求Kx）的单调区间：当a=时,证明兆）e（e三2718M参考数据:In2=0.69）6 .（2024安微合肥模拟）已知函数Kr）=HnX+E其中a三R（I）讨论/U）的单调性；（2）当=I时.证明式0Wx2+x-l;求证:对任意的"N'且”22.都有（1+抄（I+-+（l+6（其中=2.7183为自然对数的底数）课时规范练28利用导数证明不等式1.解因为yw=c+汕&+|)=誓1+嗤2则人加舟+高-与U，所以X2)=-皆,故x=2处的切线斜率为：-苧要证当x>0叶_/=e+3n(x+l)>l,即证ln(x+l)*.令g(*)=g+D-焉且4则=-舟=j7>o,所以g(x)在(0,+8)内单调i噌,则g()>g()=o,即In(X+1)*.故当XX)时府>>1.2 .解Hx)的定义域为(O.+8)f(,r)W£=詈.当a0时lf(x)X)对任意的XW(O,+x)恒成立,所以/U)在(0,+8)内单调城谱;当«X)叶,令八*0,解得0<<÷/(x)>0,W得,t>,所以7U)在(0.布)内单调递减,在(后.+8)内单调递漕.证明由可知.当«>1时IAX)mg=心=In+五方=扣”+；.要证小)>会,只密证如«+；>誓,即证In+-i-2>0.241*2222÷2÷l令g(x)=n"？25>1),所以北后-品T=焉>°因此以外在(1,+内单调递增,所以g(x)>g()=O,即ln+六-2X),故危成立+3 .(Dl?於)=时一177T(X)=MHl,因为在R上单调递增.所以ZVGO在R上恒成立.即ae-x-20在R上恒成立,所以“衰在R上恒成立,令力=学,可得MX)弋>=±当x>0时"(X)VOMr厚调递减;当x<0时”(x)>0,(x)单调递增.所以当A=O时,函数力(X)取得极大值,即为最大值Mo)=I.所以即实数"的取值范围为U,+/).证明当=l时<j=c'-吴武所以八X)=CJ-I且贝0)=1.要使KD>sin成立,只需使x)>l成立即可.当XW(O,+8)时,令以外文X)=C'-X-I,可得g")=Cu>0,所以g(.*单调诩增,由g(0)=0,所以g()>(O)=O,a此凡r)单调递港.所以x)>)=l;当=0时,可得Ko)=1且sin0=0,所以,O)>sin0.满足x)>sinK当-2<x<0时,可得SinAyo,因为CAX)且-夕2-X=Tx+l)?+：0,所以Ar)X),因此tr)>sinX综上可得,对于WrW(-2,+),都有/()>sinx.4 .解已知得/V)=iInX-1.因为Kr)在(0,+8)内单调递增.所以当.00时/(x)30.即5F恒成立.令MX)=写%>0),则Mx)=-詈,所以当0<<I时MxjXX当x>时”(x)<0,即力在(U)内单向递增,在(1.+«)内事调递减,因此Mx)nm=(l)=l.所以心1,故实数的取值范l2l.+).证明若=2e,要证AV)V.e+1.只需证ex-lnx<e，q,即-eyinx+令/（八）=Iiia(x>(),P1'1/'(*)=若,所以当0<<1时,r'()<O,当x>l时4x)>0,所以心)在(0,1)内单调递减,在(l,÷x>)内单调递增,则心皿=«1)=1,所以InX+：l.令ix)=cx-cl(x>0),5ll3'(x>=ccM令,(x)=0,解得=l,所以当O<x<l时,夕I(X)>0,当x>l时"(x)<0,所以祝)在(0.1)内单调递增.在(I.+8)内单调递减.则夕(x)g=e=0,所以ex-e，W0.所以exe'vIna+3故原不等式成立.X5 .(1)解当=2时g)=e"-2e?lnx,定义域为(0,+x),且/'(幻=网F令如X)=XeHeI则KX)=(I+2r)6>0,所以g(x)在(0,+助内单调递增.又因为g(1)=c%2=o,所以当o<r<时,g()<o,即八X)Co.因此Kr)在(OJ)内单调递减;当A->1时(刈>0.即f(x)X),因此危)在(1.+8)内单调递消.所以危)的单调递减区同为(OJ).单调递增区间为(1.+8).(2)证明当a=l时小片机-始工定义域为值+孤且/。)=2©"-；=“.1由(1)可知(A)=Zve2l-I在(O.+)内单课递增.且/)=e-l>().(i)=y-l<0,所以存在a(；,：)使得/4)=0,即八XMO,即2e。一1.=0,所以当x(0.时/(x)<()A)单调递减:当X(m+8)时/(X)>0盘X)单调递增.所以当x=x>tx)取得极小值.同时也是最小值.即Kr)m=Uo)=e2M-InXo=e2xo+2o+ln2,令函数Mx)=e"+2t+ln25e(；,；).显然函数，(x)4Z在区间&*)内单调递港.所以w(x)>n(i)=e三+ln2>2.56+g+0.69=279>e.故不等式HX)>c成立.6 .(1)解函数/(X)的定义域为(0.+8)f(X)=£+线二竺/.当心0时，OO.所以/)在(0.+8)内三调递政当«<0时,令人.r)=0.解得X=当0<x<-抖Ja)<oy在(Oj柒内单调递减,当>时/(工)>0府)在(J-：,+8)内单调递堪综上,当0时,函数HX)在(O.+oo)内单调递增；当“<0时,函数KO在(O,J与内单调递减，在(J1，+8)内单调递增.证明当=l时次X)=InX+x2,要证明人x)Wx2+x-l,即证InXWX-1,即Inx-x+10.设5()=lnxx+1,则g'(X)=尊令g'(x)=O得K=1.当工(0.1)时代«)>0,当工(1.+8)时送'(.6<0.所以g(x)Wg(1)=0,即Inx-+10.故.t)Sx2+x-l得证.证明因为InxWx-K当且仅当x=l时,等号成立),令x=1+*,则ln(l+*)<a所以In(I+)+ln(H)+-+ln(l+)<+-+<+或+高即InKl+)(+)(l+)-(l+)<ne,所以(1+)(+)(l+)-(1+)<c.
