6.7-二重积分的概念与性质.docx

I.利用二审积分定义证明：kf(X.y)d=A(x.y)dDO【证明】由停积分定义"/(*,)的="力/(加力)AG,符(>r*1Kfk)')而=lim(.)=IimAS/(,)Dr-*M=k：叫£f(l.)i=Mj/(-,y)d.D证毕.2,利用二重积分的几何意义说明：JjA/b=Ac(JlG及为常数,为枳分区域。的面枳)。D【说明】二条积分的几何意义,就是说,二曳枳分JJfa,y)db就是以z=(x,y)为曲顶D的柱体体积，于是知，二重积分“A友示以平面Z=&为顶的柱体体枳，D而以平面Z=A为顶的柱体体枳,等于其底面积乘上其岛=k,但该朴体的底面枳就是积分区域。的面枳b.从而得，kdk.D3 .利用二弟枳分的性质估计下列积分的值：(l).11X+yk.其中积分区域D=(x,y)Oxl,Oyl:D【解】由于区域D=(,y)0Mx41.0MyMl.可知区域。的面枳为OAr=IXI=1,>而由于Ox41.Oyl.11JWO>1.Ox+y2.从而有O>(.r+y)2,由二审枳分性质6.7.5(估值不等式)即得O<xy(x+y)d<2dPDD亦即为O4JJ.g(x+y)d2.DJJ(x+y+l)rf,其中枳分区域D=(.v.y)O.rl.0y2:D(解1由于区城D=(x.y)Ot,Oy2).可知区域D的面枳为J=l×2=2.而由于Oxl,()S.y2,11JflJOx+.y3.从而1x+y+l4.由二重积分性质675估值不等式)即得jjkj(x+y+1)d4dDDD亦即为2JJ(+y+l)db42,条理得2jJ(x+y+l)d<8,/)Dj(+49+9)4C其中积分区域O=(x,y)2+J4.D【解】由于区域O=kx.y)2+y24,可知区域。的面积为Odb=×22=4”,，)下面求函数/«切=丁+4/+9在条件.-+4卜的最大、最小值.亦即椭阳她物面Z=/+4y2+9在圆柱F+V=4内部的最大、及小值，易见2+4)，20,可知z=2+4y2+99,当x=y=0时等号成立.又可知,椭阴岫物面Z=F+4>J+9与圆柱F+产=4的交线,在椭I堀簌的短轴上达到最高,亦即当x=0,y=±2时，函数/*.,)=/+4/+9取得最大值,被大值为/(0,±2)=0+4×4+9=25.因此得，9,V2+4+925.由二重积分性质675(估值不等式)即得JJl)d(j+4y2+9)J25dDl>D亦即为94f(+y+k254,整理得364jJ(x+y+l)do100*4 .利用二重积分的性旗比较K列枳分的大小：(。”(1+丫-与。+)，)”，其中积分区域D由X轴,y轴与直找+y=l所树成”DD【解】枳分区域D如图由图可见，在区域D中，O.v+yl,于是由于函数v="'是减函数,而知以+y为底的指数函数是增函数,即由2<3有(x+F)'>(x+>)'.于是，由二或积分性质6.7.4(不等式性)即得J(x+y)2db>J(+y)'dbt>Oln(X+y)d与ln(.t+刈，40,其中/)=(x,y)3x5,O,yl,DD【解】积分区域D如图由于在区域D中有3MxM5,0<yl.Ur得3x+y6.于是1=Ine<In3ln(x+y)In6,于是由于函数y=*(。>)是增函数，可如以h(+y)为底的指数函数是增函数.UPibI<2Wln(.t+.v)<|ln(A+y).于是,由二重积分性质6.7.4(不等式性)即得JJIn(K)Mo<Jln(x+),)f4DD5 .若JJldb=I,则枳分区域D可以是(),(A由X轴，丁轴与直线x+y=2所惕成的区域；(B)由=l,*=2及y=2,，=4所用成的区域：(C)由IH=<，M=:所围成的区域；(D)由k+M=,k一4=1所Bi成的区域.【解】应填"(O".因为Jk=5,=l.而下面各区域D的而枳为：D（八）由人轴.V轴与直线Xy=2所围成的区域如图X褥s。=竽=2,1：<B)lhx=.x=2及y=2,y=4所阳成的区域如图1得S0=(2-1)(4-2)=2*1；(C)由N=1.H=I所困成的区域如图=t得s。=:一(一:川;_(_:»=：至此,可以终止推断/.事实上有：(D>由卜+y=,x-乂=1所圉成的区域如图SSo=2×2=2t