还原Word_第5讲基市几何模型.docx

<tW6时，5=rz-yt+81.如图所示.提示：(1)两点感性认识：i)若点P.Q在同一条边上(与点A不共线)，或分别在一组对边上，则S是I的一次函数：ii)若点P,Q分别在一组邻边上，则S是t的二次函数.其次，要判断是点P光到达点B,还是点Q先到达点C根据图象，不可能点Q光到达点C,否则后来S虽然也是t的一次函数，但S随若t的增大而增大，而不是图壁中S随着t的增大而减小.因此点E的实际意义是点P运动到点B,而点Q仍在边BC上(未必到达点C).因此AB=3×2=6(cm).点F的实际意义是点P在BC边上追上点Q.设点Q的速度为Xc11s,则3x+6=3X3,解得x=l.当点P到点BJlPt=2s时,点Q在BC边上的前进距离为2cm,因此=i×6×2=6(cm2).(2)点P到达点D的时间为5s,到达点A的时间为6s,故对1分类：把坐标(6,450),(12,900)代入yco=kx+b中,得代=个y=75x(6Mx12),'O=U.(3)由题意得4.5(9004.5×75)÷150-0.75,4.5+6(900-4.5X75)÷150=6.75.第5讲基本几何模型【知识架构】一、对角互补模型(构造全等)(DCD=CEOD+OE=&CCS四边形DOEC=Sax+Sce-OC2(2)CD=CEOE-OD=20CSAOEC-S0lx.=OC2【注意】U)条件®和结论中的，任意替换其都能成为一个新的真命跑；(2)既可以过点C作“双垂”，即CMIOA于点M1CMOE于点N(利用用平分线构造双垂筝型),又可过点C作CG_1.0C,交OE的延长线于点G(围绕点C构造旋转全等形).【例题讲解】点C(6,450).设ycl=kx+b(kO,k,b为常数)若3<t5,则PQ=3t-t-6=2t-6,S=V2×(2t-6)×3=3t-9;若5<tW6,则AP=183t,DQ=(6+3)T=9-C,5=I×(18-3t)×(9-r)=tz-+81.3.(1)900.(2)由题意得慢车速度为900÷12=75(千米/时)，快车速度+慢车速度=900÷4=225(千米/时)，快车速度=225-75=150(千米/时).快车走完全程时间为900÷150=6(小时)，快车到达时慢车与快车相跑6X75=450(千米连接OB,0C,可构造两个三角形全等，进一步得到Sm=色正方柳B(S=25.(DCD=CEODH)E=OCS四边形DOEC=SoDC+SOEC=鼻。C?(2)CD=CEOE-OD=OCSZSOECSODC=BOC2【注意】(D条件©和结论中的，任意替换其都能成为个新的真命跑；(2)既可以过点C作“双垂”，即CM_1.oA于点M,CN_1.OE于点N(利用角平分线构造双垂筝型)，又可以OC为边，构造等边40CG,或将线段Co绕点C按逆时针方向旋转60°(闹绕点C构造旋转全等形).(1)E=AF,可证aABE且ZACF(ASA).(2)四边形AECF的周长-2AE+CE+CF2AE+BC=2AE+4.当AE_1.BC时，AE有最小值23,故四边形AECF周长的最小值为4、&+4;(在旋转过程中，四边形AECF的面枳不发生变化)(3)PE=PF(过点P利用角平分线构造双垂筝型全等).、用含半角模型(必旋转)结论:DF+BE=EF或DF-BE=EF.如题图,将AADF绕点A按顺时针方向旋转90°到AABG的位置,此时C.B.G共线;如题图，将ZXABE绕点A按逆时针方向旋转90°到AADG的位置,此时D,G,C共线.【注意】(1)但凡旋转，必然有边对应相等，只需用圆规将共旋转点、边旋转过去即可：(2)旋转后，往往涉及三点共线问题(须简单证明之)：(3)旋转后，-一般需要再证一对共旋转点的三角形全等S).(1M(22),(220).(提示:y=x与X轴的夹角是45。)(2)p的值不会发生变化，将4OAM绕点0按顺时针方向旋转90。到AOCG的位置,此时B1C,G三点共线,得MN=AM+CN,MBN的周长P=MN+BM+BN=AMRN+BM+BN=2AB=4.变式1：将ZiBDM绕点D按顺时针方向旋转120°到ACDE的位置,此时A,C,E三点共线,得MN=BM+CN,.AMN的周长为AM+MN+AN-AM+BM+CN+AN=2AB=6.变式2：过点A作AF_1.AD,交即的延号”于点F,则四边形AFCD是正方形,"二/刁CD=CF=4.设FB=11,则BC=孑必(=+AD,AB=8-m.在RtziAFBU)“的磁定理得(8-m)2=42+而,解得m=3,.AFB绕点A旋耕到AADG的位置,则DG=i=3,ZFAB-ZDG,¾iEBAEGAE,可得BE=GE.设DE=n,则CE=4n,BE=GE=3+n.在RlABCE中，根据勾股定理得(3+n)?=I2+(4-n/,解得n=i,GE=y,:SbeSAGE=×y×4=y.如图,揩CE绕点按顺时针方向旋转90°至AABF的位置,此时FBJ_BC,连接DF,可证AADFgZADE(SAS),于是DF=DE.在RtFBD中，由勾股定理可知FB2+BD2=DF21进一步得到BD2+CE2=DE2.变式1：法】：过点B作BlUAC于点F,如图所示,AAFEgMFC(ASA),二AE=BC=10.又由BDEADC,;,案=*二2=DECDDKAABDCEBDCFKKD图2法2：以点D为圆心、DA长为半径画孤，交直线BCT-E,F两点(以AD为高,构造等腰AAEF),如图所示，利用“角含半角模型”知道BE2+CF2=BC2,有.BE2+(BE+2)2=IO2,BE=6,AD=DE=12,SABC=60.变式2:将AABP绕点A按逆时针方向旋转60°至AACD的位置,过点D作DEIBC于点(3)如图,连接A0,作0G±BE,OD±EF,OH1CF,垂足分别为G1D,H,则NBGO=ZCHO=叫.VAB=AC,0是BC的中点,(：.ZB=ZC1OB=OC10BG0CH,0G-0H,GB-CH,由(2)城猜想应用EF=ED+DF=EG+FII,则CAEF=AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+H=2AG,设AB=m,则OB=mcos,GB二mcos2,=cABc=-G=m-mcs2=_CCS2(A84。仍一ABOBm+mcosa'八.7:5.简答：由翻折知等二需再由“一线三E.在RlDEC中，DC=BP=2,ZDCE=60°,CE=1,DE=5.在RtZkDEQ中，由勾股定理得DQ=19;又可证AAQPAQD(SAS),得PQ=OQ=11,.B=BC=5+19.三、一线三等角模型【例题U1.(D4：证明略.存在.如图,作DM_1.BE,DG_1.EF,DN_1.CF,垂足分别为M,G,N,VED平分/BEF且FD平分ZCFE1.,.DM=DG=DN.XVZiB=ZC=60°,ZBMD=ZCNDe-90*,m<D等角模型”可知AADEsSBFD,根据“相似三角形的周长之比等于相似比”得会ADE的用长=器,而AADE的周长=AC+AD=10,BFD的周长=BC+BD=14,.三=变式1:5:7.变式2:7:8.提示:先证()AB为等边：角形，后面方法同例2.四、K字模型【探究】略.D过点A作AD1.x轴于点D,过点B作BElx轴于点EJnHEAOMBE0,AD_OE'odbe'点B在直线y=-2x÷3上，可设B(m.-2m+3),=*故呜5BDMCDN,蛆产,二。£=2,则八)=12,SBc=60.BD=CD,即D是BC的中点，*=；.D1.Z:EG=2®BG=3,则点(5-33),易求tanzODB=等.变式4:5一点.提示:过点A作MNy轴，交X轴于点N,过点B作BMlMN于点M(构造“K字模型”)，有aBMA丝ZsANO(AAS).设点A(2,m)(m>0),则可得B(2叫2+m).根据“双曲线上的点的横、纵坐标的积相等得(2m)(2+m)-2m,解得m=代一1,二SAoB=(.m2+4)=5-5.3,法1:(1)过点Q作EFAB,分别交AD,BC于点E,F,如图(构造“K字模型”)，显然AAEQgZSQFP(AAS),二AE=Ql.又D=EF,则AD-AE=EF-QF,即ED=EQ".ZADQ=45°.(2)设DE=EQ=FP=m,又BP=1,则CF=3-m=DE=I1),m=去ii)过点E作FGy轴,过点D作DFJ.KG于点F,延长C,交FG于点G(构造“K字模型”)，有4EGCsaDFE,易得D(2,7),C(1.1).又由对称可知DE=DA=6,EC=CA=3,EGC与ADFE的相似比为1:2,设CG=X,则EF=2x,EG=62x,DF=12-4x,故12-4x=3+x,有X=，故点E(代)结论应用】y=-；.提示：分别过点A，B作y轴的垂线于点C,D,由“K字模型"11OCASABi),且知相似比为1:2.设A(m,AC=m,0C=京则OD=2m,BD=%BC，-2m)故点B在函数y=-，内图象上变式l:y=；提示：构造“K字模型”，其中2d=*KloB75变式2:y=-,提示：由反比例函数图象的中心对称性可知，OR=OB,故连接0C,后续步骤同变式1.变式3:(l)y=%-孚(2)B(8>-43).法1:在X轴上找点E,F,使NOEC=ZAFB=6.0°(构造“线三等角”)，如图所示,显然有AAEC丝ZiBRA(ARS).在RtOEC中.OC=23,ZOEC=60°,则OE=2.AAE=6.于是由全等得BF=AE=6.过点B作BG_1.X轴于点G1在RtFGB中，ZGFB=60°,BF=6,.FG三3.BG三3®DG-S.法2:过点B作BEI.AC丁点E,过点E作直线FG心轴点F,过点B作BG_1.FG丁点G1如图所示(构造“K字模型”)，有Segb,且熊=春由“三线合一”可知E为AC的中点，则EF为ZAOC的中位线,AAF=2,EF=3,则DQ=V2m=-.法2:连接C,如图circle2,=APAC则AAQDsAPC,ZADQ=ZACB=45".由AAQDsZAPC可得冬=春而.PC=3,五、双子型（一）全等双子里变式：135°.提示:过点E作FG_1.AD,分别交AD,BC于点G,3利用“等腰三角形腰上的面与底的夹角等于顶角的一半”，得NAEG=Zl=2,NBEF=42=*.而Z3+Z4=180o-2×45°=90°,.N1+N2=45°,故ZAEB=135°.4.(1)6.(2)D(14,8).存在，点N的坐标为偿莹)或(4,3).(1)结论：ZSBCEgAACD(SAS)BE=AD/AFB=60°(可补充FC平分/BFD)(2)结论：ZXBCE丝ZSACD(SAS)BE-ADZAFB=90"(可补充FC平分NBFD)(3)结论：ZSBC