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    A全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法.docx

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    A全等三角形之手拉手模型倍长中线截长补短法.docx

    手拉手模型要点一:手拉手模型特点:由两个等顶角的等腰三角形所组成,井且顶角的顶点为公共顶点结论:(1)ABDAEC(2)Z+ZBOC=180o(3)OA平分NE变形:例1.如图在直线ABC的同一侧作两三角形AABD与ABCE,连结人£与明(1) ABEI)BC(2) AE=DCAE与。C之间的夹角为60(4>AG三DF(5) AEGB言ACkB(6) BH平分gGFbAC变式精练1:如图两个等边三角形M3力与MCE,D连结AE与CD,C证明(1)ABE=DBC< 2>AE=DCE< 3>AE与DC之间的夹角为60.一B< 4)AE与OC的交点设为,8,平分NA"C变式精练2:如图两个等边三角形MBD与ABCE,连结AE与C。,证明(】)(2)AE=DC?(3)AE与。之间的夹角为60'(4)AE与DC的交点设为H,RH平分ZAHC例2:如图,两个正方形ABCD与。叮G,连结AaeE,二者相交于点H问:(1)ADG三ACUE是否成»/:?< 2>AG是否与CT相等?< 3>AG与CE之间的夹角为多少度?< 4>。是否平分/AHK?例3:如图两个等腰直角三角形A。与EDG,连结AGCE,二者相交于点,问:(1)ADG=ACDE是否成立?(2) AG是否与C?相等?(3) AG与CE之间的夹角为多少度?(4) 。是否平分/4HK?例4:两个等腰三角形8。与ABCE,其中A8=A。,CB=EB.ZABD=C"=,连结AE与CD,问:(】)4BDBC是否成立?D(5) AE是否与。相等?(3)人£与8之间的夹角为多少度?.(4)是否平分乙AHC?B例5:如图,点A.B.C在同一条直线上,分别以AB、BC为边在直线AC的同侧作等边三角形AABD、ABCE.连接AE、DC,AE与DC所在直线相交于F,连接FB.推断线段FB、FE与FC之间的数届关系,并证明你的结论。【练1】如图,三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形,点A,E,D,同在一条直线上,且角EBD=62°,求角AEB的度数倍长与中点有关的线段倍K中线类b考点说明:凡是出现中线或类似中线的线段,都可以考虑倍长中线,倍长中线的H的是可以旋转等长度的线段,从而达到将条件进行转化的H的:将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。【方法精讲】常用协助线添加方法_传长中瀛方式1:延长ADDE=AD,连接BE方式2:间接倍长作CFlAD于F,延长DN=MD,CD【例I】已知:8C中作BElAD的延长线干E连接BE八M是中线.求证:.连接【练1】在AASC中,AB=5,AC9t则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么?【练2】如图所示,在A8C的八8边上取两点E、F,使钻HF,连接CZ、Cl,求证:AC+tiC>EC+FC.E.求证:DE=EF(倍长中线、截长补短)【练3】如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D是点,F是AC延长线上的一点,且BD=CF,连结DF交【例2】如图,已知在MSC中,A。是8C边上的中线,E是A。上一点,延长股交AC于F,AF=EF,求证:AC=BE.【练1】如图,已知在"C中,AD是SC边上的中线,E是AD上一点,且抽=Ag延K,E交A。于F,求证:AF=EF【练2】如图,在aABC中,AB>AC,E为BC边的中点,AD为NBAC的平分线,过E作AD的平行线,交AB于F,交CA的延长线于G.求证:BF=CG.【练3如图,在M8C中,Ar)交BC于炊D,点E是BC中点,)/1。交CA的延长线于点尸,交A8于点G,若8Gb,求证:八。为M8C的角平分线.【练4】如图所示,已知MSC中,八。平分NZMC,£、F分别在/m、D±.DE=CDtEF=AC.求证:EFIlB【例3】已知AM为ABC的中线,ZAMB,ZAMC的平分线分别交AH于E、交八C于尸.求证:BE+CF>EF.【练1】在RlA八8C中,F是斜边,48的中点,。、£分别在边CA、C8上,满意ZD庄9O).若人0-3,BE=4,则线段OE的K度为.【练2】如图,AABC中,AB=2AC,AD平分Be旦AD_1.AC,则NBACHD【练3】在MBe中,点。为灰:的中点,点”、N分别为A8、AC上的点,且M"1W).(1)若4=9(尸,以线段8“、MV、CN为边能否构成个三角形?若能,该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝倒三角形?(2)假如8,+(押:=/?”+/加2,求证.tC【例4】如图,等腰直角A8C与等腰直角旬力£,P为CE中点,连接八、PD.探究/3、尸。的关系.(证角相等方法)【练1】如图,两个正方形A8"£和八CGF,点尸为改'的中点,连接/M交痔于点Q.探究AP与b的数量关系和位置关系.(证角相等方法)【练2】如图,在MBC中,CD=ABfNBAD=NBDa,AE是8。边的中线,求证:AC=IAE【例5】如图所示,在MBC中,AH=AC,延长A8到。,使僚)=A,E为AB的中点,连接CE、CD,求证C0=2EC.【练1】已知8C中,B=ACt8。为AB的延长线,且8/)=A8,CE为M8C的"边上的中线.求证:CD-2CE【练2如图,CB、CD分别是钝角AAEC和锐角ABC中线,且AC=B,ZACB=ZABC.求证CE=2CD.IW16如图,两个正方形ABZ"和AeG/,点P为8C的中点,连接PA交所于点。.探究AP与月尸的数量关系和位置关系.(倍长中线与手拉手模型综合应用)【练1】已知:如图,正方形ABC/)和正方形稔G”,点M是线段的中点.试说明线段A位与MC数啾关系和关系.如图,若将上题中正方形样Gb绕点B顺时针旋转度数(<9(F),其他条件不变,上述结论还正确吗?若正确,请你证明;若不正确,请说明理由.全等之事长补短:人教八年级上册课本中,在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质,这一性质在很多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特别方法(把K边截成两个短边或把两个短边放到一起;出现角平分线进行翻折;力详细角的度数说明要求角的度数,进而得到角相等,A全等)【例1。】如图所示,AAAC中,ZC=90n,ZB=45o,AD平分/MC交BC于Do求证:AB=AC+CDoAIk【练1】如图所示,在A8C中,ZB三60o,8C的角平分线AD、CE相交于点OC求证:AE+CD=ACo【练2】已知MBC中,ZA=60,BD、CE分别平分Z8C和ZAC8,BD、CE交于点。,试推断8£、C7)、8C的数豉关系,并加以证明.【练2】如图,在四边形ABCD中,ADBC,AE平分/BAD交DC于点E,连接BE,I1.AE1BE,求证:AB=AD+BC.【练3】已知:如图,在aABC中,NA=90。,AB=AC,BD是NABC的平分线。求证:BC=AB+AD.【练4】点M,N在等边三角形ABC的AB边上运动,BD=DC,ZBDC=1200,NMDN=60°,求证MN=MB+NC.【例11已知如图所示,在aABC中,AD是角平分线,且AC=AB+BD,试说明B=2ZC(不只是边,倍角也适用)【练H如图,在ZiABC中,AB=AC,BD,AC交AC于点D.求证:NDBC=INBAC.B2M【例12如图所示,已知Nl=N2,P为BN上一点,且PD1.BC于D,AB+BC=2BD,求证:【练1】如图,在四边形ABCD中,BOBA1AD=CD,BD平分NA8C,求证:Z+ZC=180"13如图所示,在MA8C中,B=AC,NMC=90",ZABD=CBDtCE垂直于BD的延长线于EC求证:BD=2CE<.【练1】已知:如图示,在RlAABC中,NA=90°,ZABC=2ZC,BD是NABC的平分线.求证:CD=2AD.【练2】如图所示,在A8C中,ZA8C=90°,AD为/04C的平分线,NC=30°,BE1.AD于E点,求证:AC-AB=2BEe【练3正方形ABCD1E是BC上一点,AEEF,交/DCH的平分线于点F,求证【练4】已知在AABC中,B=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,DE交BC于F,且DF=EF,求证:BD=CEIM14如图所示,已知AACD,/ABC,/BCD的平分线恰好交于AD上一点E,求证:BC=AB+CD0【练1】如图,已知AD/BC,NPAB的平分线与NCBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:AD+BC=AB.【练2如图,在正方形ABCD中,F是CD的中点,E是BC边上的一点,且AF平分/DAE,求证:AE=EC+CD.【练3】在AABC中,AD是BC边上的高,ZB=2ZC.求证:CD=AB+BD.【练4】如图所示,在二角形ABC中,NACB=90",AC=BC,D为二角形ABC外一点,且AD=BDjDEIAC交AC的延长线于点E.摸索求AE和BC之间彳何数1关系【练5】在四边形ABCD中,AB/DC,E为BC边的中点,ZBAE=ZEAF,AF与DC的延长线相交于点F。摸索究线段AB与AF、CF之间的数豉关系,井证明你的结【例15如图在AABC,AB>C,N1=N2,P为AD上随意一点,求证:AB-AC>PB-PC12【练1】已知M为MBC的中线,/AMB,ZAMC的平分线分别交AB于E、交AC于户.求证:BE+CF>EF.E如图,E是ZAOB的平分线匕一点,EC1.OA,ED1.OH,垂足为C、Do求证:(1)OC=OD;(2)DF=CFcIi构造答边三角彩1、如图,已知AABC中,AB=AC,D是CB延长线上一-点,NADB=60。,E是AD上一点,且有DE=DB.求证:AE=BE+BC.2、在等腰AASC中,AH=ACf顶角ZA=20。,在边A8上取点。,使A。=改?,求NSDC.练习1、如图,在AABC中,NACB=90°,BE平分/ABC,DElAB于D,假如AC=3cm,那么AE÷DE等于A、2cmB、3cmC、4cmD、5cm练习2、在AABC和AAEC中,AB=AB,AC=AC,点D,D分别是BC,BC的中点,且AD=AD',证明:MBC=AABC.(倍长中线)练习3、如图,在AABC中,BE是/ABC的角平分线,AD±BE,垂足为D,求证:Z2=Z1+ZC练习4、如图(1),已知AABC中,NBAC=90°,AB=AC,AE是

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