HIV与AIDS预测与防治模型.docx

你的模型和分析给报社写一篇短文，阐述问题的严峻性，提出相应的建议。二、问题的假设I、人群分为三类：患者或感染者，易感染人群（高发人群），不易感染人群。2,从病毒感染途径来考虑，仅考虑吸毒静脉注射，性活动混乱两个因素，因为通过这两者感染的病人在目前艾滋病人中占最大的比例。3、不同模型之中的参数量:不是确定的，而是会依据不同状况来设定的。即模型中的参数只在确定范围内有效，且当病情趋于恶化时，必需再适当调整其参数系数来对问题进行估计。4、患者包括病人和HIV感染者，由于人口的流淌，患者可与外界发生接触，并通过适当接触，使易感染者患病。实际中HlV感染者可以转变为病人,在本题中把他们化归为个统体，即患者。且忠者在目前的科技条件中，并无康纪的希里。5、5、符号说明：x（t）t时刻患者人数（单位:万）：y（t）t时刻易感染人群数目（单位：万）：z（）I时刻不易感染人群数目（单位：万）：表示易感染者由于与患者接触而成为患者的几率；表示由于病变所引起的病人死亡率；Y表示社会力气干预系数：e表示患者对易感染者造成的影响力，病人多时，易感染者也增多，增长率与当时病人人数成正比.三、模型的建立、求解及分析模型1：原理：在不考虑防疫措施和病人多寡对易感染者造成的影响，可建立如下微分方程组：dx.ndxn-x=ay-=ry-xdr,dy/y=-ax=-cavdt"即dl由于该方程组形式简洁，可干脆解得：dx,Idyay=>x（>>）=tl+y0-ln>'<,>2时，.初单调递减y<2时，My）单调递增亦可通过描纹素场来确定轨线的走向:y轴非负半轴各点均为奇点。分析：从图中可以看出，易感染人数y(l)不超过阀值时，病人X将趋丁0,2而当易感染人数y超过a时，则患者越来越多，即将发生一个时期的流行，£但易感染人数总是不断削减，当易感染人数削减至y=。时，病人数目起先卜降，且最终趋于0,可见上述模型对艾滋病简洁且乐观。若按这种模型，易感染者人数只有削减，没有增加，易感染者大部都要转变为患者，以至死亡。艾滋病患者的“生力军”的削减,使得随着时间的推移，死亡成了艾滋病患者的归宿，艾滋病也将自然消亡.而事实上正是患者的多春会对易感染者人数产生影响，才使得艾滋病得以扩散.鉴于此，建立模型Il如下:模型H：原理：考虑患者多寡对易感染者的影响,但不考虑防疫措施，即放任白流.可建立如下微分方程组：-=axy-x-axy+exn半=ZZA(其中M=2=£)力y-5,2a'a=Wy)=-v0+>'0-y-(y2-M)W>'一在没有实行防疫措施时，患者对易感染者的影响总要大于患者的死亡率,即此时y2>yl可由(X,y(t)的线索场来大致推断起凯迹走向：当小>X或居<为<>'2时，艾滋病必会发生大面积流行，以随时间的增长，K会近似直线上升：X(I)TR.当,&时，虽然易感染人群基数y较小，但因无防治措施，使得易感染人群渐渐增多，积累至确定数员(大于后)，也会发生大面积流行。此模型中，易感染人群超过了定量"(此量一般较大)为艾滋病的泛滥供应了滋兴的土堞，以至最终会产生亡国灭种的大灾难。鉴于无防疫措施产生的严竣后果，社会力气的干预对艾滋病的防治就显得特别重要。模型111：原理：既考虑患者对易感染者的影响，又考虑社会力气的影响。社会力气依据现有患者和易感染人群的规模来调协作理的资源进行防治。一方面对一部分患者实施隔离，另一方面大力宣扬艾滋病的预防留意事项。前者主要使得平均接触感染率变小，后者主要是使易感染人群的数目削减,dy在力的右方添加一个-A''（防治措施的强度与当时易感染人数成正比，与当时患者数目的平方成正比）。于是模型可修正为：dx_-=axy-xdtdv,=-vv+ix-xvv(<it先求稀奇点：(I)axy-x=0令-avv-r：3'+£v=0£由知:X=O或y=若X=0,代入（2）知，亦满意方程，说明y轴的非负半轴上的点均为奇占/»»若r°,则,此时由（2）解得:TfiC（%，.%）=当£.>/时，得到第一象限内唯一奇点定理（证明附后）：当时，记A=p'-4q若<（）,则（4,）'"）为稳定焦点：若A=O,则（Xit»，）为稳定单切结点。由大致图像知：，一>8时，其动点坐标X总会趋于%旁边，因此在社会力气的干预卜.，一般可将艾滋病限制在确定的范围内，这样便可限制艾滋病的扩散，进而为研制药物解决艾滋病问题供应了缓和时间。图形如左。当2?时，即第一象限内丫>2无奇点。a时，x=x(ay-)tx增大，乂：=-乂-£)-A，y,CN->->O即”°,即y削减.gv<时，x=aay-)t削减y=-必冲2在时，照旧会削减,£且在旁边照I曰会减小，可得到大致*时，患行I®时间的增尸2(1).易感染人数是疾病流行的阀值,当加而单调递增，艾滋病发生潦行.“2(2) .易感染人数时，若(x.y)在A区，艾滋病被渐渐歼灭，而当(x,y)在B区时，随着时间推移，(.y)趋于一个极限值，达到稳定平衡。(3) .易感染人数时，即使患者人数特别小，但由丁一部分人的生活习惯不文明，对道德不够敬至，为艾滋病的流行供应了肥沃的上塘；(4) .易感染人数«,即使患者人数相当多，但易感染人数较少,随着艾滋病患者大部分死亡，患者人数削减乃至歼灭。此种疾病就不会再潦行/.(5)当冽中/=(s-6)(方)，说明社会干预力气越大，飞越小，越易限制，反之将失控。五、总结：I、优点：本文建立了三个模型，逐个考虑一向易感染人群的因素，得出和实际较为符合的结论。结合模型I与实际说明患者对易感染人群影响较大。而模型11则进步确定了社会群体力气对艾滋病限制具有确定性的影响力,通过对社会干预系数的相识，模型III运用与大部分艾滋病的流行状况.2、模型HI可以再次调整X,y的次数，对模型作进一步好用性调整，有时仍可考虑线性近似。3、缺点:没有把z(l)即不易感染人群考虑进模型，并解除了Z对X,y的影响，在某种程度上照旧是可忽视的。而Z的增长速度教化社会力气的干预和y的人数有关。对总体人数也没有作个明确的假定，只是考虑了人群中两个比较重要的类别，而对不易感染人群做充分信任.六、附录：定理证明：证明：考察模型III的非线形微分方程组在(与，为)点的几乎线形系统。作如下替换：X-X。替换为X,替换为y,得：Why%=(£-tn0-2a1)'o卜-(v1)+uh'(%其特征方程为：dct(4-f)=j+(v0+4)A-ax,(-ayy-2x,yl,)形式简记为：+px+q=O其中：片5,+国>Oq=-r,G-2%yJ=5,(s-8)>。由常微分方程中初等奇点类型推断的理论可知：(%.打)必为稳定的奇点(焦点或结点)，而不会是鞍点。又由知，在(儿)正半平面，y>().X总是单调升的，故(XQ%)不会是双切结点或星形结点，即A°°又由几乎线形系统与原系统奇点类型相同可知：<0,(与为)为焦点，且焦点确定是顺时针绕向的：A=O,(X。"。)为单切结点。七、参考文献：1、数学建模杨启帆、方道元著2、£常微分方程及其应用一一方法、理论、建模、计算机周义仓等编著:-37¾fcRM美白引白茶.4：«数学建模竟彳一一最最简析与论文点评3郝孝良等编著：5、4常微分方程教程丁同仁、李承治合著6、4微分方程模里与混沌3王树未著；八、模型结论:我们认为这个模型的建立是比较胜利的，和实际状况也相当的吻合。得出的大致结论如卜：假如没有政府的外加有效措施，结果将是病情的日益严峻，对整个社会构成严峻威逼：假如政府能够实行比较大的力度,那么病情招会稳定在确定的数值上，我们可以等待科技的发展，最终铲除这种病毒,而且在这个等待的过程中我们的死亡人数达到了圾小的可能。因此，政府必须要切实实行有力和坚决的措施来限制疾病的扩散，使我们的社会健康的发展.对提出建议的支持数据：(I)假如政府不实行措施有效加以限制，其结果在2010年将达到100O万,M文件functionXdot=pan(t1x)xdi=-0.15*x(I)+0.0008*x(2)MO;.0.08*ex<2)*x(1)÷x(I)1:»1.finaI=8:X(HlOo:250):(.x)=ode45(,panO.ufinal).x>:plot(t,x).figure:plot(x(:J)vx(2);axis(O200002000):/卜7/一)-'-/I(2)FW如政府实行有效而大力措施,才能使艾滋柄患者在确定时间内限制在一个稳定数量，假如实行措魄特别有效,艾滋病毒将被完全限制住,数目极少.但须要比较长的段时间.M文件functionXdQl=xuawomijia<(.x)xdot=-O.OI5(l>M).(X)01(l)*x(2);-0.0000001*x(1)*x(1)x(2>-0.0001*x(I)*x(2>4O.0Px(1);>>l.final=5<X);x=85:2001:t.x=odc45('xuanaomijia'.0.t-final.x0);p!ot(t.x).figure:plot(x(:.l),x(：,2):axis(05(X)01(MK);2001000900800700600500400300200100°0501001502002503003504004505002001级混合8班周晨光(3013001233)2001级混合8班任宣(301300