应用矛盾对立统一的观点 论文.docx

应用矛盾对立统一的观点解题*9教学中充满矛盾也充满了对立统一的关系.数学问起解趋很好的处理了特殊性和一般性之间的关系，正面与反面之间关系数与形蚱换的美系等，常版达到事半功倍之效，印运用矛盾对立统一的现点解超。关健词数学问建解决矛盾对立统一对立统一规律是函数的三大规律之一，是啡物辩证法的根本规律，又称对立面的统和斗争的规律.它揭示了普遍陕系的根本内容和事物发展的内在动力，揭示了事物发展的动力和源泉，揭示了事物和联系的本质，它揭示出自然界,人类社会和人类思维等领域的任何事物都包含着内在的矛盾性，事物内部矛盾推动事物发展.任何事物都存在对立面和统面，他们相互斗争，相互依存，在定条件下相互转化.这在数学中俯拾皆是.本文研究运用数学中的矛盾转换，如对立与统一，正面与反面，正向思维与逆向思维，特殊与一般，数与形等的转换，正数与负数、常量与变量等对立统一等概念的教学,寻求解题思路和方法：分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比、化归、分类等数学思想方法的应用，一次又一次地证实了事物是普遍联系、对立统一、运动变化的。一、对立与统一的转换例1己知“+4+c=0,;R证J)+h,+1.)+c('+!)+3=ObcCaab解：0d+3+伏+3+cJ+3以字母形式为主，而3是数，为了“调和”字bccaab母与数的矛盾，用"2”、“乡”、“£”各替代一个un,就和谐了。abc(-+-)+b(-+)+c<-+-)+3bccaab1.a1.、b11.cbcacababc=(«+/>+(?)(-+-+-)abc=O例2设64SinA+8COSB+tanC=O,cos'B4SinAtanC=O求证：tanC=61sinA证明：若SinA-O,则tanC=O,且64SinAU0,从而tanO64sinA:若SinAH0,用什么方法来证？显然，直接由条件化结论不容易。但由条件cos'B4sinAtanC=0的形态，考虑64SinA+8cosB+tanC=0能否化成二次方程？可以。因为64=8：,所以64SinA+8cosB+IanC=。即是这样一个以8为主元的二次方程：sin82+CosB8+tanC=0。由8是实数，且这个二次方程的判别式=cos-B-4sinAtanC=0,知这个方程有两个相等的实数根8,从而8x8=64=粤£,SinA即有tanC=64sinAo总之，若64SinA+8cosB+tanC=0.cos-4SinAtanC=0.则tanC=64SinAo从例I与例2可以看到，集中精力解决主要矛盾是一种解题!策略。二、特殊与一般的转换例3如下左图，在半圆的直径AB上取一点C,分别以AC、BC为直径作半圆，过C作CD_1.AB交大的半圆于D,设CD的长为h,则阴账部分的面积为()（八）-,t'(B)-,'(C)-i<D)-3456解，C为AB上点,应包括AB的中点(即大的半圆的圆心)这特殊点，而J1.由题意，一般情况与特殊情况下，阴影部分面积的表达式是不变的，变的只是表达式中参数h的长短。如上右图所示。当C为AB中点时，阴影部分的面积是1-21(=-2.所以在一般情况下阴影部分的面积也是，万川.故选瓦22244例4比较V60与2+V7的大小解无法直接计律大小：倘若将海与2+5分别立方，又变得更为发杂，怎么办呢？考虑到版=y4(8+7),2+6=唬+5，既然要比较寸出与2+；/7的大小,不如索性一般化地比较平心+)，)与盯必<>oy>o)的大小。事实上，V4<t+V)WXW7。可以这样来证明:w三Vx>0.v=y>O,则R4(+>)'=4('+/),(V+y),=(M+v)而1.V'4(A+y)'-(V47),三4(/+v,)-(h+v)=3(m,+v,-wv<w+V)=3(“+v)(«-V)2>0,当且仅当x=y时，等号成立.令y<,即得4X(8+7)>唬+行也就是师>2+V7.特殊与般是对立的，也是统的，从例3与例4可以看到，“退中求进”与“先进后退”利用的恰好就是特殊与一般的对立统一思想。三、正面与反面的转换例5若a、4、C为互不相等的正数，则+%c+c=0,bx2+2cxa=0.ex2+20x+>=0这三个方程不能同时有等根。证明：假设这三个方程同时有等根，那么就同时有W-4c=0,4c2-4=0,4at-4hc(),将此三式两边分别相加并除以2,得(«-by+(b-c)2+(c-a)'=0,所以a=b=c,这与已知a、b、C为互不相等的正数矛盾，所以“三个方程同时有等根”的假设是错误的，正碑的结论是“三个方程不能同时有等根工例6判断命题“设a、4是方程a+t+c=o的两根，若a+2与a?均为整数，则a与外均为整数''是否正确.解：肯定一个结论要做严格的证明，而否定一个结论只须举出一个反例。这里，设a=2+6、=2->3,则a+=4,a尸=I0显然a、外是方程/-4x+1.=0的两根，J1.a+4与a夕均为整数，但a与夕均不是整数，故原命题是错误的。由例5与例6可以看到，当从正面若手考虑很难找到解题突破口时，尝试从侧面或反而去考虑问即往往总能得到好的思路，这种数学解题策略叫做正难则反，四、正向思雉与逆向思雉的转换逆向思维也是辩证思维的一种重要形式.利用逆向思维方法可以解决诸如下面例7、例8之类看似很难的问题。例7已知不等式/-4-bvO的解为2<x<3,求不等式五/一心_|<。的解.解，不等式/一<<()的解为"-+4C山/+砧，乂为2<x<3,22所以“7"+必=2,而竺红士竺=3,解之得*5、加6,而不等式Zu?-公-1<()22的解，即不等式61-5x-1<O的解为-1.VX<。6例8已知x+y=v+v,/+V=/+/,求证：X，+),，=”，+/(S为实数)证明：构造一元二次方程-(“+四+”=0,构造的目的是为了让其根确好是X和人事实上，验证并不难。假如X和是所构造的二次方程的根，则*-(M+v)+n,=0,y'-(u+v)y+«v=0,将两个方程左右两边分别相加，得X2+y-(it+1，XX+y)+2mV-O,再将已知中的x/y=#%x+y'=：+/代入，即得w2+v2-(w+v)(w+i)+2mv=O,所以X和y确实是一元二次方程/2-(“+V"+"V=O的两个根，从而x=u.y=v,或者%=hy”在这两种情况下都有*'+)，'=，+/(S为实数)。五、数与形的转换例9在半圆。中，力如是直径，。是半圆上任一点，CDkAB,圆。'与半圆切于点M与、.，出切于点M求证：AC=AK证明：证明线段相等常用的方法是，视这两条线段为两个全等三角形的对应边，但在这里此路难通。考虑再三，通过计算进行证明是个好主意。设半圆的半径为R*圆。的半径为,AD=a,则OP=a+r-R,O'P=r,O'O=R-r.在直角三知形加9'中，OP+O'P=Od即-(,-?)2+ZJ=(R-r)i.即尸+2ar-=0,解得=一”+、喃(已舍去负值)，所以八尸=八。+DP=-+石加=J五五：在直角:角形ACB>|<,QUd由射影定理得AC2=A8AD=2K,有AC=i而，从而力C二月凡例10求证Vx2+2+(c-x)2+b22y(a+b)2+C3证明：仅用初中代数方法，儿乎不能解决这个问题，但能否请几何来帮忙呢？如右图，作一条线段/厉=小于加上取一点M设/V=X,则必=C-X。又作线段"*1.，你且使“1=a:作线段BD1.t8,且使加=4,则FM=F77,MDy(c-x)2+b1v当尸、从三点共线时，网"初最小，延长四到6使然心则FD=J(a+b)2+d,这时，R+的一FD,其他情况下都FM+MD>FD,合起来就是FM+*FD,所以愉、标+Jg-)W27(«+)?+r1。上面的例9,用代数运算助几何证明，例10则是构造图形助代数运算。“用数助形”与“以形助数”合起来叫做“数形结合二从例9与例10可以看到“数形结合千般好，形数分开万般难六、已知与未知的转化例I1.已知x、y.Z满足方程组3x+7y+z=31.54x+10y=42-z.求x+y+z的值.解：把Z看作己知数，解关Fr,y的方程组3x+7y=31.5-z得x=IO.5-1.5z4x+IOy+z=42y=O.5z.x+y+z=(10.51.5z)+0.5z+z=10.5在这个问腮中，从表面上是无从下手的，不妨把其中的一个未知数看做己知的去表示另外的未知数，再代入求值，从而把题目简单化。例12.求满足52I2xy+8k-4x+4y+1.=0的实数X和y.解：把y看作已知数，则原方程可化为关于X的一元二次方程：5x24(3y+1.)x+(8yz+4y+1.)=0：x、y是实数=16(3y+1.)-20(8y2+4y+1)=-4(2y-1.)j0.-4(2y-1.)2=0,.y=21.把y=21.代入得x=1.在这个问题中，把y看做已知的，再利用方程中根的判别式求值代入。同样也可以把X看做己知的。从例I1.与例12可看出在解题是可以适当转换思想，把题目中未知的量看作是已知的，更加的便于解题。七、常量与变融的转换在运用函数与方程的思想解题时，如果是一个多元函数或方程,这时,我们应设定个或两个主元，即自变量,而视其它为次元,即常量：,然后再考虑如何解决问题。化归思想是中学数学最基本的思想方法之一。如下面的例题就是讲解常域与变增之间的转换。例13.已知关Tx的方程xi-Px2-2Px+P,-1.=0有且只有一个实数根，求实数P的取值范围.解：把X看作常量，原方程可化为关于P的元二次方程：P7-(x2+2x)P+(X,-1)=O解得P=X-1.或P=x、x+1Ax=P+1,或x2+x+1.P=OY原方程有且只有一个实数根，.方程X2+X+-P=O没有实数根由A=H4(I-P)<0,得PV4/3例14.已知a、b、C都是实数，且满足a+b+c=O,abcI求证：IaI+IbI+IcI>3.证明：由已知条件可知，a、b、C三个数中只能是一个正数和两个负数，由对称性，不妨设a>0,b>0,c>0,于"是IaI+IbI+IcI=abc=2a由b+c=-a.bc=a1.b、C是关于x的方程x2+ax+a1.=0的两个实数根.-a4>0及a>()得a>34>3827=23.IaI+IbI+IcI>3.例15.已知K为实数.求关于X的方程(K，+1.)X?+Kx-1=0的最大实数根和最小实数根.解：原方程可化为关于K的一元二次方程x2K2+xK+(x2-I)=()显然XWo,又K是实数，=x2-4x2(x2-1.)=x2(5-4x2)>0解得0x25(x0).最大实数根为25,最小实数根为0八、相等与不等的转换数学离不开相等和不等。从其意义来说,这是两个既统一乂对立的概念,没有相等就无所谓不等,没有不等也无所谓相等。它们之间有若内在的、本质的、密切的联系,在某种条件卜.可以相互转化。这种转化贯穿着数学基本方法,从而使我们能用整体观点去看待中学数学问题,并进而提高综合解题效率。如下例题：例16.求满足(2+2x+3>"+1.)=2的实数X和y.解：Vx2+2x+3=(x+1.)1+2>2,y2+1.1.,